初二数学经典题型练习
1． 已知：如图， P 是正方形 ABCD内点，∠ PAD＝∠ PDA＝ 150．求证：△ PBC是正三角形．
证明如下。
首先， PA=PD，∠ PAD=∠ PDA=（180° - 150°）÷ 2=15°，∠ PAB=90° - 15°=75°。
A 在正方形 ABCD之外以 AD为底边作正三角形 ADQ， 连接 PQ， 则
P
D
∠ PDQ=60°+15°=75°， 同样∠ PAQ=75°， 又 AQ=DQ,，PA=PD，所以△ PAQ≌△ PDQ， 那么∠ PQA=∠PQD=60°÷ 2=30°，在△
PQA中，
B
C
∠ APQ=180° - 30° - 75°=75°=∠ PAQ=∠ PAB，于是 PQ=AQ=AB， 显然△ PAQ≌△ PAB，得∠ PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC，∠ PBC=90° - 30°=60°，所以△
PBC是正三角形。
2. 已知：如图，在四边形 ABCD中， AD＝ BC，M、N 分别是 AB、CD的中点， AD、 BC的延长线交 MN于 E、
F．求证：∠ DEN＝∠ F．
F
E
证明 : 连接 AC,并取 AC的中点 G,连接 GF,GM.
又点 N为 CD的中点 , 则 GN=AD/2;GN∥ AD,∠GNM=∠ DEM;(1)
N
D
C
同理 :GM=BC/2;GM∥ BC,∠ GMN=∠ CFN;(2)
又 AD=BC,则 :GN=GM,∠ GNM=∠ GMN故. : ∠ DEM=∠ CFN.
A
B
M
3、如图，分别以△ ABC的 AC和 BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG，点 P 是 EF
的中点．求证：点
P 到边 AB的距离等于 AB的一半．
证明：分别过 E、 C、 F 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、 O、 N， 在梯形 MEFN中， WE平行 NF 因为 P为 EF 中点， PQ平行于两底
所以 PQ为梯形 MEFN中位线，
D
所以 PQ＝（ ME＋ NF） /2
G
C
E
P
又因为，角 0CB＋角 OBC＝90°＝角 NBF＋角 CBO 所以角 OCB=角 NBF 而角 C0B＝角 Rt＝角 BNF
F
AQB
CB=BF
所以△ OCB全等于△ NBF △ MEA全等于△ OAC（同理）所以 EM＝ AO， 0B＝ NF
所以 PQ=AB/2.
4、设 P 是平行四边形 ABCD内部的一点，且∠ PBA＝∠ PDA．求证：∠ PAB＝∠ PCB．
过点 P作 DA的平行线，过点 A 作 DP的平行线，两者相交于点 E；连接 BE
因为 DP2a3a个圆柱形容器的容积为
V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，
水面高度达到容器高D A A
D
P t 分。求两
P
度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间
根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为
由题意得：
x，则大水管进水速度为 4x。
B
C
B
v v
解之得： x
2x 8x 5v 8t 5v
8t
t
C
经检验得： x
是原方程解。
∴小口径水管速度为
5v
8t
，大口径水管速度为 5v 。
2t
M
7．如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点
（－ 2，
- 1 P - 1
），且 （ ，－ 2）为双曲
线上的一点， Q为坐标平面上一动点， PA垂直于 x 轴， QB垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．
（ 1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（ 2）当点 Q在直线 MO上运动时，直线 MO上是否存在这样的点 Q，使得△ OBQ与△ OAP面积相等如果
存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（ 3）如图 12，当点 Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以
OP、OQ为邻边的平行四边形 OPCQ，求平
行四边形 OPCQ周长的最小值．
Q
B
A
AO
x
B O
Q
y
y
x
M
M
P
C
P
图
解：（ 1）设正比例函数解析式为
M
图
y kx ，将点 （ 2 ， 1）坐标代入得
1 2
k = ，所以正比例函数解
析式为 y = 1 x
2
同样可得，反比例函数解析式为
y =
2
x
（2）当点
在直线 上运动时，
Q DO
1
设点 Q的坐标为 Q (m， m) ，
2
于是 S△ OBQ = OB? BQ
而
11创1 1
2
m
2
= 1 ，
2
m = m2 ，
4
1 S△OAP = (- 1)? ( 2)
所以有， m2 = 1 ，解得 m
1
2
2
4
所以点 Q的坐标为 Q1(2 ，1) 和 Q2 (- 2，- 1) （3）因为四边形
是平行四边形，所以 ＝ ， ＝ ，
OPCQ
OP CQ OQ PC
而点 P（ 1 ， 需求
2 ）是定点，所以 OP的长也是定长，所以要求平行四边形
OPCQ周长的最小值就只
的最小值．
OQ
因为点 Q在第一象限中双曲线上，所以可设点
Q的坐标为
Q( n， ) ，
2 n
由勾股定理可得 OQ = n + 42 = (n - ) + 4 ，
22
22
n n
22
所以当 ( n - 2 ) = 0 即 n - 2 = 0 时， OQ 有最小值 4，
n n
又因为 OQ为正值，所以 OQ与 OQ 2 同时取得最小值，
所以 OQ有最小值 2．
由勾股定理得 OP＝ 5 ，所以平行四边形
OPCQ周长的最小值是
8. 如图， P是边长为 1 的正方形 ABCD对角线 AC上一动点（ P 与 A、 C不重合），点 E 在射线 BC上，且
PE=PB.
（ 1）求证：① PE=PD； ② PE⊥ PD； （ 2）设 AP=x, △ PBE的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出
x 的取值范围；
② 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值
.
解：（ 1）证法一：
① ∵ 四边形 ABCD是正方形， AC为对角线，
∴ BC=DC, ∠ BCP=∠ DCP=45° .
∵ PC=PC，
∴ △ PBC≌△ PDC（ SAS） .
∴ PB= PD， ∠PBC=∠ PDC. 又∵=
PB PE
，
∴ PE=PD.
② （ i ）当点 E在线段 BC上( E 与 B、C不重合 ) 时，
∵ PB=PE，
∴ ∠ PBE=∠ PEB，
∴ ∠ PEB=∠ PDC，
∴ ∠ PEB+∠ PEC=∠ PDC+∠ PEC=180°，
∴ ∠ DPE=360°-( ∠ BCD+∠ PDC+∠ PEC)=90 °，
∴ PE⊥ PD.
）
（ ii ）当点 E 与点 C重合时，点 P 恰好在 AC中点处，此时，（ iii ）当点 E在 BC的延长线上时，如图 .
PE⊥ PD.A
D
P
1
H
2
B
CE
∵ ∠ PEC=∠ PDC，∠ 1=∠2，
∴ ∠ DPE=∠ DCE=90°，
∴⊥ .
PE PD
综合（ i ）（ ii ）（ iii ） , PE⊥ PD.
（ 2）① 过点
作 ⊥ ，垂足为 ，则 = .
P PF BC F BF FE
∵ AP=x， AC= 2 ， ∴ PC= 2 - x ， PF=FC=2
( 2 x) 1
2 x .
2
2
BF=FE=1- FC=1-( 1
2 x )= 2
x .
2 2
∴△ PBE S
=· BF
PF
=
2
x
( 1
2 x )1 x 2
2 x .
2
2
2
2
即 y
1 x2 2 x (0
＜x＜ 2 ).
2 2
② y
1 x 2 2 x 1
( x
2 )2 1 .
2
2
2 4
∵ a
1
2
＜ 0，
2
∴ 当 x
2 时， y 最大值 1 .
2
4
（ 1）证法二：① 过点 P作 GF∥ AB，分别交 AD、 BC于 G、F. ∵ 四边形 ABCD是正方形，
∴ 四边形 ABFG和四边形 GFCD都是矩形，
△ AGP和△ PFC都是等腰直角三角形 .
∴ GD=FCFP， GP=AGBF，∠ PGD=∠ PFE=90° .又∵ PB=PE，
∴ BF=FE， ∴ GP=FE，
∴ △ EFP≌△ PGD（ SAS） . ∴ PE=PD.
② ∴ ∠ 1=∠ 2.
A
D
P
B F E C
如图所示 .
A
G
D
3
2
P
1
B
F E
C
∴ ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 3=90° .
∴ ∠ DPE=90° .
∴ PE⊥ PD.
（ 2）①∵ AP=x，
S
∴ BF=PG=
BF
PF
22
x ， PF=1-
2 x .
∴△ PBE=·
= x ( 1
2
2
2 x )
2
1 x2 2 1 x 2 2
2
1 x 2 2
2 x .
2
即 y
2 x 2
(0
＜x＜ 2 ).
② y
∵ a
1
2
2
2 x 2
1
( x
2
2 )2 1 . 2 4
＜ 0，
2
∴ 当 x
时， y 最大值
1 . 4
9、如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于 A（ 1， 6）， B（a， 3）两点． （ 1）求 k1、 k2 的值．
（ 2）直接写出 k1x+b-k2x ＞ 0 时 x 的取值范围；
（ 3）如图，等腰梯形 OBCD中， BC∥OD，OB=CD，OD边在 x 轴上，过点 C 作 CE⊥ OD于点 E，CE和反比例函数的图象交于点 P，当梯形 OBCD的面积为 12 时，请判断 PC和 PE的大小关系，并说明理由．
10、如图 12，已知直线
1
x 与双曲线 y y
2
k x
(k 0) 交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 ．
（ 1）求 k 的值；
（ 2）若双曲线 y
k
(k 0) 上一点 C 的纵坐标为
8，求 △ AOC 的面积；
x
（ 3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y
k
(k
0) 于 P， Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点
x
A， B， P， Q 为顶点组成的四边形面积为 24 ，求点 P 的坐标．
y
A
O
B
图 12
x
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