2019-2020学年度最新高二数学上学期期末考试试题 理

 ——教学资料参考参考范本—— 2019-2020学年度最新高二数学上学期期末考试试题 理 ______年______月______日 ____________________部门 1 / 19 数学试卷（理科） 时量：120分钟 总分：150分 命题人： 班级__________ 姓名___________ 考号___________ 一．选择题 （每小题5分，共60分） 1．已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ）za24a2iaRa2z A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 2．已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方x2y2程为( )1y28x 3bA. B. C. D. 3．已知，如果，，则( )A. B. C. D. 4．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）1222n1n2n12222122n2n2132nk1nk 2A. B. C. D. k12k2k1k2k1122k11 k13 2 / 19 5．命题， ，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）.p:xRx2axa20q:xRx12 xA. B. C. D. pqpqpqpq 6．已知若三个向量共面，则实数（ ）a(2,1,3),b(1,4,2),c（4，5，）a,b,c A．-1 B．0 C．1 D．5 7．学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:a,b,c,d 甲说:“是或作品获得一等奖”;cd 乙说:“作品获得一等奖”;b 丙说:“两项作品未获得一等奖”;a,d 丁说:“是作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是：（ ） A. B. C. D. cd 8.若函数f（x）=，则是（ ）f(x) A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 9．直三棱柱中， ， ，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）ABCA1B1C1BCA90CACC12CBBC1AB1 A. B. C. D. 25535 5535 3 / 19 10．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为，则等于( )999ana2a3a3a4a4a59 a2015a2016 2012201320142014 2013201220152013A. B. C. D. 11．已知函数f（x）=，给出下列结论：①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间； ②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点； ③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点． 其中正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四2点，则的最小值为（ ）y24xFlFx1y21A,B,C,D4AB4CD A. B. C. D. 4 / 19 11131517 2222 二.填空题 （每小题5分，共20分） 13．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则_____izaiaRa 12i14．由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是__________． 15．点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱x2y2形，则双曲线的离心率为__________．FC:221a0,b0FOCabA、BOAFBC 16．已知函数满足，且的导函数，则的解集为_____________fxxRf11fxf(x)满足fx 1x2fx 333三．解答题 （ 17题10分，18题至22题每小题12分，共 70分） 17．设函数.fx2x2x2 （1）求不等式的解集；fx2 2（2）， 恒成立，求实数的取值范围.xRfxttt 72 5 / 19 18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒． （1）试用表示方盒的容积，并写出的范围；（2）求方盒容积的最大值及相应的值． 19．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为xoy{x3cos sin42 4ysin(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程. (2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标. 20．如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与面成角， 与面成角. PABCDABCDPDABCDPB2PBPCD450PBABD300 （1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；PBEPCADEE （2）当为中点时，求二面角的余弦值. EPBPAED 6 / 19 3x2y231, e21.已知椭圆经过点，离心率。C:221ab0P2ab2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；C （Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，0为坐标原点，求的面积的最大值。E0,2lCP、QOPQ 22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）． （1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性； （3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围． 7 / 19 20xx年下学期醴陵一中高二年级期末考试 数学试卷参考答案 一选择题。 1．已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ）za24a2iaRa2z A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 2．已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. y3x 【答案】C 3．已知，如果，，则( )A. B. C. D. 【答案】B 4．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）1222 n1nn122221222n2n2132nk1nk1 2A. B. C. D. k12k2k1k2k1122k11 k13【答案】B 5．命题， ，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）.p:xRx2axa20q:xRx12 x 8 / 19 A. B. C. D. pqpqpqpq 【答案】C 6．已知若三个向量共面，则实数（ ）a(2,1,3),b(1,4,2),c(4,5,),a,b,c A．-1 B．0 C．1 D．5 【答案】D 7．学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:a,b,c,d 甲说:“是或作品获得一等奖”;cd 乙说:“作品获得一等奖”;b 丙说:“两项作品未获得一等奖”;a,d 丁说:“是作品获得一等奖”.c 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 A. B. C. D. abcd 【答案】B 8．若函数f（x）=，则是（ ）f(x) A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数 C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】C 9．直三棱柱中， ， ，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）ABCA1B1C1BCA90CACC12CBBC1AB1 A. B. C. D. 【答案】D 25535 5535 9 / 19 10．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于( )999a2a3a3a4a4a59 a2015a2016 2012201320142014 2013201220152013A. B. C. D. 【答案】C 11．已知函数f（x）=，给出下列结论：①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间； ②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点； ③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点． 其中正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①② 【答案】C 12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四2点，则的最小值为（ ）y24xFlFx1y2C．①③ D．②③ 1A,B,C,D4AB4CD 10 / 19 11131517 2222A. B. C. D. 【答案】B 二.填空题 13．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则_____【答案】 iza5iaRa 312i14．由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是__________． 【答案】 15．点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为x2y2__________．FC:221a0,b0FOCA、BOAFBC ab【答案】2 16．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）fxxRf11fxf'x1x2fx 333【答案】 xx1 11 / 19 三．解答题 17．设函数.fx2x2x2 （1）求不等式的解集；fx2 2（2）， 恒成立，求实数的取值范围.xRfxttt 72x4,x1【答案】 (1) f(x)= ,当x<-1时，解得x<-6;{3x,1x2 x4,x2.2x2 3当时，解得；-1x2当x>2时，x>2. 2（-，-6）（，） 综上：x。 ……………………5分3 （2）由（1）f（x）最小值为f(-1)=-3,即： 解得 t2t3723t2 2……………………10分 18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒． 12 / 19 （1）试用表示方盒的容积，并写出的范围；（2）求方盒容积的最大值及相应的值． 【答案】（1），；（2）方盒容积的最大值为16，相应的值为1.试题解析： （1）由题意，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为，从而有： 其中，满足：， ……………………6分 （2）由（1）知：， 若，则；若，则 在上单调递增，在上单调递减 在处取得极大值，也是最大值 故方盒容积的最大值为16，相应的值为1。……………………12分 19．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为xoy{x3cos sin42 4ysin 13 / 19 (1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程. (2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标. 31x22PC:y1;C:xy80【答案】(1) (2) ， 132, 2223试题解析： (1) 对于曲线有C1 x2cosx222{3 ，即的方程为： ；ycossin1C13ysinx2y21 32Csincossin42cossin8 对于曲线有 242xy80，所以的方程为. ……………………6分C2xy80 (2) 显然椭圆与直线无公共点，椭圆上点到直线的距离为： ，C1C2P3cos,sinxy80d2sin83cossin83 22当时， 取最小值为，此时点的坐标为.…………12分sin1d331P32, 22 20．如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与面成角， 与面成角. PABCDABCDPDABCDPB2PBPCD450PBABD300 14 / 19 （1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；PBEPCADEE （2）当为中点时，求二面角的余弦值. EPBPAED 【答案】（1）见解析（2）试题解析： 3 3（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点 DEPC0DPPEPC0DPPCPEPC0PE1 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，，CE2 设， ，PEPBPEPB2,1,1 PC0,1,1, 1由，得，PCDEPC(DPPE)0,1,12,,10 2即存在点E为PC中点。 ……………………6分 （2）由（Ⅰ）知， ， ， D0,0,0A2112,0,0E2,2,2P0,0,1  15 / 19 DA2112,0,0， ， ， DE2,2,2PA2112,0,1PE2,2,2 设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为n1x1,y1,z1n2x2,y2,z2 由的法向量为得， 得{n1DA0n1DE0 { n10,1,1 112x1y1z10222x10同理求得 所以n21,0,2cosn1n1n1|n1|3 33 3故所求二面角P－AE－D的余弦值为. ……………………12分 3x2y23P1, e21．已知椭圆经过点，离心率。C:221ab02ab2（1）求椭圆的标准方程；C （2）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。E0,2lCP、QOPQ 试题解析： 3（Ⅰ）由点在椭圆上得， ①P1,2 ② 由①②得，故椭圆的标准方程为………………4分 16 / 19 （II）当lx轴时不合题意，故设l:y=kx2,Px1,y1,Qx2,y2. x222将ykx2代入y21得 4k1x16kx120. 4 144k23SOPQ=dPQ. 224k1设4k23t,则t0,SOPQ4t4.t24t4t47因为t4,当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.t2OPQ的面积最大值为1 ……………………12分 22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）． （1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性； （3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）y﹣1=0； （2）见解析； （3）a≥﹣1 解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，∴f′（x）=2x﹣2•， ∴f′（1）=0，又f（1）=1，∴，所求切线方程为y﹣1=0；……………………2分 17 / 19 （2）求导数可得，x∈[1，e]， 当即a≤2时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，此时，f（x）在[1，e]上单调增； 当即2＜a＜2e时，时，f′（x）＜0，f（x）上单调减； 时，f′（x）＞0，f（x）在上单调增； 当即a≥2e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，此时，f（x）在[1，e]上单调减；…7分 （3）当a≤2时，∵f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）的最小值为f（1）=﹣a﹣1，∴﹣1≤a≤2 当2＜a＜2e时，f（x）在上单调减，在上单调增，∴f（x）的最小值为，∵，∴，∴2＜a＜2e 当a≥2e时，f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）的最小值为f（e）=e2﹣（a+2）e+a， 18 / 19 ∵，∴f（e）＜0，∴a≥2e 综上可得a≥﹣1． ……………………12分 19 / 19