2020年“数学花园探秘”科普活动小高复赛(C)_解析

“数学花园探秘”科普活动

小高组复赛试卷C

（测评时间：2018年01月6日08:00~09:30）

一、填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）

125531236的计算结果是__________． 1.算式111233662【答案】 36 【解析】

3451255315319211366662361136

111111111111112336626636632

2.商店里有一件等待销售的服装，定价240，利润率20%．如果定价提高20%，利润率将变成__________%． 【答案】 44 【解析】

成本价是：240120%200元 提价后利润率：

100%200 288-200100%44%200240120%-200

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13.秋秋家养了一些鸡和一些兔子．如果再买来20只鸡，那么鸡的腿数比兔子的腿数多；

3如果卖掉10只兔子，那么兔子的腿数比鸡的腿数少【答案】 20 【解析】

1．秋秋家养了__________只鸡． 2不妨设原来鸡数为x只,兔子数为y只，那么依题意可得： 12x204y132x14y-102

该方程整理得 3x208y x4y-10x20解得

y15所以原来有鸡20只．

4.x表示不超过的最大整数，例如44，3.43．已知对于数a，有

5a5a2018.16，那么25a25a__________.

【答案】 10090 【解析】

显然5a的小数部分是0.16，则有5a的整数部分是201821009 因此

5a1009.16

a201.83225a25a25201.83225201.83250455045.810090

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二、填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）

5.一个正整数的4倍，5倍，6倍，7倍的因数个数都相同，那么这个正整数最小是__________. 【答案】 18

【解析】

因为这个数的乘4和乘6所得因数是一样多的，所以这个数质因数中必含2和3且的个数比2少1，经验证23218符合要求． 4182332；5182325；

6182233；7182327；均有12个因数，则18是最小的符合要求的数．

6.右图是由一个正方形和两个长方形拼成的对称图形．已知阴影部分的周长为36，线段AB的长度为2，那么大正方形的面积是__________.

【答案】 128 【解析】

P

R

C

S

N

Q

N

D

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连对角线MN，分别交CD、PQ于S、R 由对称性可以知道：

MCD与NPQ均是等腰直角三角形，MSSCSD,NRRPRQ所以对角线NM是这个组合图形的周长减掉2个AB长的一半NM36-22216正方形面积=16161282.

7.请将0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面算式的方格中，使得算式成立．现在1、6已经填好了，那么算式中被减数是 __________.

--2018

16【答案】 2037

【解析】

我们先分析分数形式的数，显然分子部分填入的数至少一共包含3个因数的2的数字 即必含8，且2和4至少有一个，又因为 4981618

16所以是2的多的数，那么，这个数

16分子部分必含4和8

2-2-2018，把0、3、5、7、9这5个数字填入进去，则0应该在被减数的百位

上，经验证2037-25-92018． 所以被减数是2037.

8. A至G这7个房间中，每个房间都有一个小精灵看守．现在有个小淘气，第1天在这7 个房间任选一个房间住一天，之后的每一天都沿着实线挪到相邻的房间住下，刚好7 天把所有房间都住过一次．

第1天，B、C、E、F房间的小精灵表示小淘气住在自己房间里，其余小精灵说小淘气不住在自己房间里；

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第2天，A、E、F房间的小精灵表示小淘气住在自己房间里，其余小精灵说小淘气不住在自己房间里；

第5天，只有E、F 房间的小精灵表示小淘气住在自己房间里，其余小精灵说小淘气不住在自己房间里；

已知这些小精灵中有4个小精灵始终说真话，2个小精灵始终说假话，剩下的1个小精灵时而说真话时而说假话．若小淘气是在第a、b、c、d天分别住进A、B、C、D号房间的，则四位数abcd为__________.

【答案】 2156

【解析】

7个精灵4个说真话，2个说假话，1个有时真有时假，那么第一天中说话的B、C、E、F一定有一个说真话的精灵，其它三个说假话，结合第二天出现A、E、F，第五天E、F，则E、F不是说真话的，A说的是真话，那么第二天小淘气入住A，与A房间相连的房间有F、B、G

若第二天从F过来，显然与第一天的对话矛盾，

若第二天从G过来，那么第三天可能是B或F，无论何种方式第五天都不住在E房间，则一定有说真话的人，矛盾；

所以第一天是B，第二天是A，那么C、E、F是说假话的人，ABDG是四个说真话的的人，入住顺序是：BAFGCDE 因此这四个数abcd为2156．

三、填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）

9.成老师在黑板上写出一个六位数abcade，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数

字，三位同学开始讨论：

甲：这个数恰好是各位数字和的4 次方；

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乙：如果把这个数分成3 个两位数ab、那么这3个两位数的和是一个完全平方数． ca、de，丙：如果把这个六位数的反序数也是分成3个两位数ed、ac、ba，那么这3个两位数的和还是同一个完全平方数．

如果这三位同学说的都是对的，那么五位数abcde是__________. 【答案】 23456 【解析】 由于：

abcadeedacba是同一个平方数，acd,abe

是对应的十位数字之和、个位数字之和（交换后变为个位数字之和、十位数字之和）则，acdabe11时，这个平方数是121，符合要求.而平方数225、256、289不符合题意. 则

11137146

11236245经验证234256322465121符合要求 那么abcde23456.

10.将右图中的8个圆圈涂成红、黄、蓝三色之一(每个圆圈只许涂一种额色，不许不 涂），要求每个圆圈都至少与一个红色圆圈相邻．不同的涂法共有__________.（不许翻转和旋转）

【答案】

289

【解析】 分情况讨论：

（1）8个都涂成红色：1种；

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（2）7个涂成红色：C782116种； （3）6个涂成红色：C2822112种；

4种

8种

(488)2280种 （4）5个涂成红色：

8种 8种

1623128种

（5）4个涂成红色：

4种

一共有：42464种

（6）3个及3个以下无法涂成符合要求的染色形式：0种总数所述一共有：1168012864289种.

8种

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311.甲、乙两人要从A地去往B地．甲比乙提前1时出发，结果当甲走了时被乙追上．乙

5到达B地后立即原速返回，结果乙离开B 地10 分钟后与甲相遇．那么当乙走到第一次追上甲的地点后，甲还要走__________分钟到达B地．

【答案】 20 【解析】

A 甲 乙

甲提前一个小时出发，乙需要走3份的路追上甲，那么当乙再走两份路时，两人差的距离甲

V甲10即V甲：V乙1:32需要走6040分钟，而两人合走仅需10分钟，则：V甲V乙40

31，易求甲走完全程需要6025150分钟，乙走完全程需要15050分钟，则乙走10

3分钟的路程甲需要30分钟，那么甲还需要走301020分钟.

B

四.解答题(每小题15 分，共30 分)

13.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为30 厘米，那么图中两个阴影三角形的面积差是多少平方厘米?

【答案】 450 【解析】

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M

连接AF，交BG于M点，求两阴影部分的面积就是求SABGSABCSABM的面积差（SABCSAHGSAMG）而三角形ABM是直角边为30的等腰直角三角形. SABGSABCSABM3030450. 2

14.在正六边形的六个顶点处放上六堆糖果，逆时针方向顺次分别为1、8、0、 1、0、6，然后对这六堆糖果行如下两种操作:

①选中某一堆糖果，从中取出1颗糖果，并在相邻两堆内放入共3颗糖果（若取出的那堆不1颗，则不能进行这种操作)；

②选中某一堆糖果，在其中放1颗糖果，并从其相邻两堆中取出共3颗糖果 (若取出的两堆 合计不足3颗，则不能进行这种操作)．

请问：若干次操作后，能否使糖果数量变为逆时针顺序为1、8、0、 2、0、3？请说明理由．

【答案】 不能

【解析】

我们可以考虑将六边形的六个顶点黑白间隔染色，考虑黑色点处的糖果数与白色点处的糖果数差，不管怎么操作，差除以4的余数不变. 起始81610014，14432， 变完之后82310012，1243 两次余数不同 所以不能.