一、实验目的
1.熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法,研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。
2.通过响应曲线观测特征参量和n对二阶系统性能的影响。 3.熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、基础知识及MATLAB函数
(一)基础知识
时域分析法直接在时间域中对系统进行分析,可以提供系统时间响应的全部信息,具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性,经常采用瞬态响应(如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应)。本次实验从分析系统的性能指标出发,给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。
用MATLAB求系统的瞬态响应时,将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n,所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐,不足部分用零补齐,缺项系数也用零补上。
1.用MATLAB求控制系统的瞬态响应
1)阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有:
step(num,den) 时间向量t的范围由软件自动设定,阶跃响应曲线随
即绘出
step(num,den,t) 时间向量t的范围可以由人工给定(例如t=0:0.1:10)
[y,x]=step(num,den) 返回变量y为输出向量,x为状态向量
在MATLAB程序中,先定义num,den数组,并调用上述指令,即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。
考虑下列系统:
C(s)252 R(s)s4s25该系统可以表示为两个数组,每一个数组由相应的多项式系数组成,并且以s的降幂排列。则MATLAB的调用语句:
num=[0 0 25]; %定义分子多项式 den=[1 4 25]; %定义分母多项式
step(num,den) %调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲
线
grid %画网格标度线 xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’) %给坐标轴加上说明 title(‘Unit-step Respinse of G(s)=25/(s^2+4s+25)’) %给图形加上标题名 则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示:
图2-1 二阶系统的单位阶跃响应
图2-2 定义时间范围的单位阶跃响应
为了在图形屏幕上书写文本,可以用text命令在图上的任何位置加标注。例如:
text(3.4,-0.06,’Y1’) 和 text(3.4,1.4,’Y2’)
第一个语句告诉计算机,在坐标点x=3.4,y=-0.06上书写出’Y1’。类似地,第二个语句告诉计算机,在坐标点x=3.4,y=1.4上书写出’Y2’。
若要绘制系统t在指定时间(0-10s)内的响应曲线,则用以下语句:
num=[0 0 25];
den=[1 4 25];
t=0:0.1:10;
step(num,den,t)
即可得到系统的单位阶跃响应曲线在0-10s间的部分,如图2-2所示。
2)脉冲响应
① 求系统脉冲响应的指令有:
impulse (num,den) 时间向量t的范围由软件自动设定,阶跃响应曲线
随即绘出
impulse (num,den,t) 时间向量t的范围可以由人工给定(例如t=0:0.1:10)
[y,x]=impulse(num,den) 返回变量y为输出向量,x为状态向量 [y,x,t]=impulse(num,den,t) 向量t 表示脉冲响应进行计算的时间 例:试求下列系统的单位脉冲响应: 在MATLAB中可表示为
num=[0 0 1]; den=[1 0.2 1]; impulse(num,den) grid
title(‘Unit-impulse Response of G(s)=1/(s^2+0.2s+1)’)
由此得到的单位脉冲响应曲线如图2-3所示: 图2-3 二阶系统的单位脉冲响应 ② 求脉冲响应的另一种方法
应当指出,当初始条件为零时,G (s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应,因为对于单位脉冲输入量,R(s)=1所以
C(s)1s1C(s)G(s)22 R(s)s0.2s1s0.2s1sC(s)1 G(s)2R(s)s0.2s1因此,可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。
向MATLAB输入下列num和den,给出阶跃响应命令,可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图2-4所示。
num=[0 1 0];
den=[1 0.2 1];
step(num,den) grid
title(‘Unit-step Response of
sG(s)=s/(s^2+0.2s+1)’)
3)斜坡响应
MATLAB没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。在求取斜坡响应时,通常利用阶跃响应的指令。基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/s,而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。因此,当求系统G(s)的单位斜坡响应时,可以先用s除G(s),再利用阶跃响应命令,就能求出系统的斜坡响应。
例如,试求下列闭环系统的单位斜坡响应。
C(s)12 R(s)ss1图2-4 单位脉冲响应的另一种表示法
对于单位斜坡输入量,R(s)=1/s2 ,因此 C(s)1111 s2s1s2(s2s1)ss在MATLAB中输入以下命令,得到如图2-5所示的响应曲线: num=[0 0 0 1]; den=[1 1 1 0];
step(num,den)
title(‘Unit-Ramp Response Cuve for System G(s)=1/(s^2+s+1)’)
图2-5 单位斜坡响应
2. 特征参量和n对二阶系统性能的影响 标准二阶系统的闭环传递函数为:
2nC(s) 22R(s)s2nsn二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
1)对二阶系统性能的影响
设定无阻尼自然振荡频率n1(rad/s),考虑5种不同的值:
=0,0.25,0.5,1.0和2.0,利用MATLAB对每一种求取单位阶跃响应曲线,分析参数对系统的影响。
为便于观测和比较,在一幅图上绘出5条响应曲线(采用“hold”命令实现)。 num=[0 0 1]; den1=[1 0 1]; den2=[1 0.5 1]; den3=[1 1 1]; den4=[1 2 1]; den5=[1 4 1]; t=0:0.1:10; step(num,den1,t) grid
text(4,1.7,'Zeta=0'); hold step(num,den2,t) text (3.3,1.5,'0.25') step(num,den3,t) text (3.5,1.2,'0.5') step(num,den4,t) text (3.3,0.9,'1.0') step(num,den5,t) text (3.3,0.6,'2.0')
title('Step-Response Curves for G(s)=1/[s^2+2(zeta)s+1]')
由此得到的响应曲线如图2-6所示:
图2-6 不同时系统的响应曲线
2)n对二阶系统性能的影响
同理,设定阻尼比0.25时,当n分别取1,2,3时,利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线,分析参数n对系统的影响。
num1=[0 0 1]; den1=[1 0.5 1]; t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold on text(3.1,1.4,'wn=1')
num2=[0 0 4]; den2=[1 1 4]; step(num2,den2,t); hold on text(1.7,1.4,'wn=2')
num3=[0 0 9]; den3=[1 1.5 9]; step(num3,den3,t); hold on text(0.5,1.4,'wn=3')
由此得到的响应曲线如图2-7所示:
3.系统稳定性判断 1)直接求根判稳roots()
控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此,为了判别系统的稳定性,就要求出系统特征方程的根,并检验它们是否都具有负实部。MATLAB中对多项式求根的函数为roots()函数。
若求以下多项式的根s410s335s250s24,则所用的MATLAB指令为:
>> roots([1,10,35,50,24])
图2-7 n不同时系统的响应曲线
ans =
-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000
特征方程的根都具有负实部,因而系统为稳定的。 2)劳斯稳定判据routh()
劳斯判据的调用格式为:[r,info]=routh(den)
该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中,den为系统的分母多项式系数向量,r为返回的routh表矩阵,info为返回的routh表的附加信息。
以上述多项式为例,由routh判据判定系统的稳定性。
den=[1,10,35,50,24]; [r,info]=routh(den) r=
1 35 24 10 50 0 30 24 0 42 0 0 24 0 0 info=
[ ]
由系统返回的routh表可以看出,其第一列没有符号的变化,系统是稳定的。
注意:routh()不是MATLAB中自带的功能函数,须自编一个routh
()函数,即将下面函数保存为routh.m文件,在command Window窗口输入“den=[1,10,35,50,24]; [r,info]=routh(den)”上述命令即可运行成功。 function [rtab,info]=routh(den) info=[];
vec1=den(1:2:length(den)); nrT=length(vec1); vec2=den(2:2:length(den)-1);
rtab=[vec1; vec2, zeros(1,nrT-length(vec2))]; for k=1:length(den)-2, alpha(k)=vec1(1)/vec2(1); for i=1:length(vec2),
a3(i)=rtab(k,i+1)-alpha(k)*rtab(k+1,i+1);
end
if sum(abs(a3))==0 a3=polyder(vec2);
info=[info,'All elements in row ',... int2str(k+2) ' are zeros;']; elseif abs(a3(1)) rtab=[rtab; a3, zeros(1,nrT-length(a3))]; vec1=vec2; vec2=a3; end 三、实验内容 1.观察函数step( )和impulse( )的调用格式,假设系统的传递函数模型为 s23s7 G(s)4 s4s36s24s1可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线?试分别绘制。 方法一: num=[1 3 7]; den=[1 4 6 4 1]; t=0:0.1:10; step(num,den,t); grid ; xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’) 方法二: s23s7 G(s)4对G(s)/s再求脉冲响应即可 s4s36s24s1 num=[1 3 7]; den=[1 4 6 4 1 0]; impulse(num,den) grid 2.对典型二阶系统 n2 G(s)22s2nsn1)分别绘出n2(rad/s),分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线,分析参数对系统的影响,并计算=0.25时的时域性能指标 p,tr,tp,ts,ess。 num=[4]; den1=[1 0 4]; den2=[1 1 4]; den3=[1 2 4]; den4=[1 4 4]; den5=[1 8 4]; t=0:0.1:10; step(num,den1,t); grid ; text(1.5,2,'Zeta=0'); hold step(num,den2,t); text (1.5,1.4,'0.25') step(num,den3,t); text (1.5,1.2,'0.5') step(num,den4,t); text (2,0.9,'1.0') step(num,den5,t); text (2,0.6,'2.0') =0.25时 超调量=44% 上升时间=0.946 峰值时间=1. 调节时间(0.02)=7.06 2)绘制出当=0.25, n分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线,分析参数n对系统的影响。 num1=[0 0 1]; den1=[1 0.5 1]; t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold on text(3.1,1.4,'wn=1') num2=[0 0 4]; den2=[1 1 4]; step(num2,den2,t); hold on text(1.5,1.5,'wn=2') num3=[0 0 16]; den3=[1 2 16]; step(num3,den3,t); hold on text(0.5,1.47,'wn=3') num4=[0 0 36]; den4=[1 3 36]; step(num4,den4,t); hold on text(0.1,1,'wn=4') 3.系统的特征方程式为2s4s33s25s100,试用三种判稳方式判别该系统的稳定性。 方法一 roots([2,1,3,5,10]) ans = 0.7555 + 1.4444i 0.7555 - 1.4444i -1.0055 + 0.9331i -1.0055 - 0.9331i 可见系统不稳定 方法二 利用劳斯稳定判据routh()要先编程序 >> den=([2,1,3,5,10]); [r,info]=routh(den) r = 2.0000 3.0000 10.0000 1.0000 5.0000 0 -7.0000 10.0000 0 6.4286 0 0 10.0000 0 0 info = [] 可见系统不稳定 4.单位负反馈系统的开环模型为 G(s)K 2(s2)(s4)(s6s25)试分别用劳斯稳定判据判断系统的稳定性,并求出使得闭环系统稳定的K值范围。 K = 0; den=[1 12 69 198 200+K]; [r,info]=routh(den) r = 1.0000 69.0000 200.0000 12.0000 198.0000 0 52.5000 200.0000 0 152.2857 0 0 200.0000 0 0 因此系统稳定。 改变K值,可得k在0 1.根据内容要求,写出调试好的MATLAB语言程序,及对应的MATLAB运算结果。 2. 记录各种输出波形,根据实验结果分析参数变化对系统的影响。 3.总结判断闭环系统稳定的方法,说明增益K对系统稳定性的影响。 4.写出实验的心得与体会。 五、预习要求 1. 预习实验中基础知识,运行编制好的MATLAB语句,熟悉MATLAB指令及step( )和impulse( )函数。 2. 结合实验内容,提前编制相应的程序。 3.思考特征参量和n对二阶系统性能的影响。 4.熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。 实验心得 通过本次实验我熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法,通过响应曲线观测了特征参量和n对二阶系统性能的影响同时也学会了如何判断系统的稳定性。 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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