实验4 线性系统时域响应分析

一、实验目的

1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。

2．通过响应曲线观测特征参量和n对二阶系统性能的影响。 3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。 二、基础知识及MATLAB函数

（一）基础知识

时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。

用MATLAB求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n，所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。

1．用MATLAB求控制系统的瞬态响应

1）阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有：

step(num,den) 时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随

即绘出

step(num,den,t) 时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）

[y，x]=step(num,den) 返回变量y为输出向量，x为状态向量

在MATLAB程序中，先定义num,den数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。

考虑下列系统：

C(s)252 R(s)s4s25该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列。则MATLAB的调用语句：

num=[0 0 25]; %定义分子多项式 den=[1 4 25]; %定义分母多项式

step(num,den) %调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲

线

grid %画网格标度线 xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’) %给坐标轴加上说明 title(‘Unit-step Respinse of G(s)=25/(s^2+4s+25)’) %给图形加上标题名 则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：

图2-1 二阶系统的单位阶跃响应

图2-2 定义时间范围的单位阶跃响应

为了在图形屏幕上书写文本，可以用text命令在图上的任何位置加标注。例如：

text(3.4,-0.06,’Y1’) 和 text(3.4,1.4,’Y2’)

第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=-0.06上书写出’Y1’。类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=1.4上书写出’Y2’。

若要绘制系统t在指定时间（0-10s）内的响应曲线，则用以下语句：

num=[0 0 25];

den=[1 4 25];

t=0:0.1:10;

step(num,den,t)

即可得到系统的单位阶跃响应曲线在0-10s间的部分，如图2-2所示。

2）脉冲响应

① 求系统脉冲响应的指令有：

impulse (num,den) 时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线

随即绘出

impulse (num,den,t) 时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）

[y,x]=impulse(num,den) 返回变量y为输出向量，x为状态向量 [y,x,t]=impulse(num,den,t) 向量t 表示脉冲响应进行计算的时间 例：试求下列系统的单位脉冲响应： 在MATLAB中可表示为

num=[0 0 1]; den=[1 0.2 1]; impulse(num,den) grid

title(‘Unit-impulse Response of G(s)=1/(s^2+0.2s+1)’)

由此得到的单位脉冲响应曲线如图2-3所示： 图2-3 二阶系统的单位脉冲响应 ② 求脉冲响应的另一种方法

应当指出，当初始条件为零时，G (s)的单位脉冲响应与sG(s)的单位阶跃响应相同。考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R(s)=1所以

C(s)1s1C(s)G(s)22 R(s)s0.2s1s0.2s1sC(s)1 G(s)2R(s)s0.2s1因此，可以将G(s)的单位脉冲响应变换成sG(s)的单位阶跃响应。

向MATLAB输入下列num和den，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图2-4所示。

num=[0 1 0];

den=[1 0.2 1];

step(num,den) grid

title(‘Unit-step Response of

sG(s)=s/(s^2+0.2s+1)’)

3）斜坡响应

MATLAB没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。在求取斜坡响应时，通常利用阶跃响应的指令。基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/s，而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。因此，当求系统G(s)的单位斜坡响应时，可以先用s除G(s)，再利用阶跃响应命令，就能求出系统的斜坡响应。

例如，试求下列闭环系统的单位斜坡响应。

C(s)12 R(s)ss1图2-4 单位脉冲响应的另一种表示法

对于单位斜坡输入量，R(s)=1/s2 ，因此 C(s)1111 s2s1s2(s2s1)ss在MATLAB中输入以下命令，得到如图2-5所示的响应曲线： num=[0 0 0 1]; den=[1 1 1 0];

step(num,den)

title(‘Unit-Ramp Response Cuve for System G(s)=1/(s^2+s+1)’)

图2-5 单位斜坡响应

2. 特征参量和n对二阶系统性能的影响 标准二阶系统的闭环传递函数为：

2nC(s) 22R(s)s2nsn二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。

1）对二阶系统性能的影响

设定无阻尼自然振荡频率n1(rad/s)，考虑5种不同的值：

=0,0.25,0.5,1.0和2.0，利用MATLAB对每一种求取单位阶跃响应曲线，分析参数对系统的影响。

为便于观测和比较，在一幅图上绘出5条响应曲线（采用“hold”命令实现）。 num=[0 0 1]; den1=[1 0 1]; den2=[1 0.5 1]; den3=[1 1 1]; den4=[1 2 1]; den5=[1 4 1]; t=0:0.1:10; step(num,den1,t) grid

text(4,1.7,'Zeta=0'); hold step(num,den2,t) text (3.3,1.5,'0.25') step(num,den3,t) text (3.5,1.2,'0.5') step(num,den4,t) text (3.3,0.9,'1.0') step(num,den5,t) text (3.3,0.6,'2.0')

title('Step-Response Curves for G(s)=1/[s^2+2(zeta)s+1]')

由此得到的响应曲线如图2-6所示：

图2-6 不同时系统的响应曲线

2）n对二阶系统性能的影响

同理，设定阻尼比0.25时，当n分别取1,2,3时，利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线，分析参数n对系统的影响。

num1=[0 0 1]; den1=[1 0.5 1]; t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold on text(3.1,1.4,'wn=1')

num2=[0 0 4]; den2=[1 1 4]; step(num2,den2,t); hold on text(1.7,1.4,'wn=2')

num3=[0 0 9]; den3=[1 1.5 9]; step(num3,den3,t); hold on text(0.5,1.4,'wn=3')

由此得到的响应曲线如图2-7所示：

3．系统稳定性判断 1）直接求根判稳roots()

控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB中对多项式求根的函数为roots()函数。

若求以下多项式的根s410s335s250s24，则所用的MATLAB指令为：

>> roots([1,10,35,50,24])

图2-7 n不同时系统的响应曲线

ans =

-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000

特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。 2）劳斯稳定判据routh（）

劳斯判据的调用格式为：[r,info]=routh(den)

该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中，den为系统的分母多项式系数向量，r为返回的routh表矩阵，info为返回的routh表的附加信息。

以上述多项式为例，由routh判据判定系统的稳定性。

den=[1,10,35,50,24]; [r,info]=routh(den) r=

1 35 24 10 50 0 30 24 0 42 0 0 24 0 0 info=

[ ]

由系统返回的routh表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。

注意：routh（）不是MATLAB中自带的功能函数，须自编一个routh

（）函数，即将下面函数保存为routh.m文件，在command Window窗口输入“den=[1,10,35,50,24]; [r,info]=routh(den)”上述命令即可运行成功。 function [rtab,info]=routh(den) info=[];

vec1=den(1:2:length(den)); nrT=length(vec1); vec2=den(2:2:length(den)-1);

rtab=[vec1; vec2, zeros(1,nrT-length(vec2))]; for k=1:length(den)-2, alpha(k)=vec1(1)/vec2(1); for i=1:length(vec2),

a3(i)=rtab(k,i+1)-alpha(k)*rtab(k+1,i+1);

end

if sum(abs(a3))==0 a3=polyder(vec2);

info=[info,'All elements in row ',... int2str(k+2) ' are zeros;']; elseif abs(a3(1))info=[info,'Replaced first element;']; end

rtab=[rtab; a3, zeros(1,nrT-length(a3))]; vec1=vec2; vec2=a3; end

三、实验内容

1．观察函数step( )和impulse( )的调用格式，假设系统的传递函数模型为

s23s7 G(s)4

s4s36s24s1可以用几种方法绘制出系统的阶跃响应曲线？试分别绘制。

方法一：

num=[1 3 7];

den=[1 4 6 4 1]; t=0:0.1:10;

step(num,den,t); grid ;

xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’)

方法二：

s23s7 G(s)4对G（s）/s再求脉冲响应即可

s4s36s24s1 num=[1 3 7];

den=[1 4 6 4 1 0];

impulse(num,den) grid

2．对典型二阶系统

n2 G(s)22s2nsn1）分别绘出n2(rad/s)，分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数对系统的影响，并计算=0.25时的时域性能指标

p,tr,tp,ts,ess。

num=[4];

den1=[1 0 4]; den2=[1 1 4]; den3=[1 2 4]; den4=[1 4 4]; den5=[1 8 4];

t=0:0.1:10; step(num,den1,t); grid ;

text(1.5,2,'Zeta=0'); hold

step(num,den2,t);

text (1.5,1.4,'0.25') step(num,den3,t);

text (1.5,1.2,'0.5') step(num,den4,t);

text (2,0.9,'1.0') step(num,den5,t);

text (2,0.6,'2.0')

=0.25时

超调量=44% 上升时间=0.946 峰值时间=1.

调节时间（0.02）=7.06

2）绘制出当=0.25, n分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数n对系统的影响。

num1=[0 0 1]; den1=[1 0.5 1];

t=0:0.1:10; step(num1,den1,t); grid; hold on text(3.1,1.4,'wn=1')

num2=[0 0 4]; den2=[1 1 4]; step(num2,den2,t); hold on text(1.5,1.5,'wn=2')

num3=[0 0 16]; den3=[1 2 16]; step(num3,den3,t); hold on text(0.5,1.47,'wn=3')

num4=[0 0 36]; den4=[1 3 36]; step(num4,den4,t); hold on text(0.1,1,'wn=4')

3．系统的特征方程式为2s4s33s25s100，试用三种判稳方式判别该系统的稳定性。

方法一

roots([2,1,3,5,10])

ans =

0.7555 + 1.4444i 0.7555 - 1.4444i -1.0055 + 0.9331i -1.0055 - 0.9331i 可见系统不稳定

方法二

利用劳斯稳定判据routh（）要先编程序 >> den=([2,1,3,5,10]); [r,info]=routh(den) r =

2.0000 3.0000 10.0000 1.0000 5.0000 0 -7.0000 10.0000 0 6.4286 0 0 10.0000 0 0

info =

[]

可见系统不稳定

4．单位负反馈系统的开环模型为

G(s)K 2(s2)(s4)(s6s25)试分别用劳斯稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环系统稳定的K值范围。

K = 0;

den=[1 12 69 198 200+K]; [r,info]=routh(den) r =

1.0000 69.0000 200.0000 12.0000 198.0000 0 52.5000 200.0000 0 152.2857 0 0 200.0000 0 0

因此系统稳定。

改变K值，可得k在0四、实验报告

1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的MATLAB运算结果。

2. 记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。 3．总结判断闭环系统稳定的方法，说明增益K对系统稳定性的影响。 4．写出实验的心得与体会。 五、预习要求

1. 预习实验中基础知识，运行编制好的MATLAB语句，熟悉MATLAB指令及step( )和impulse( )函数。

2. 结合实验内容，提前编制相应的程序。 3．思考特征参量和n对二阶系统性能的影响。 4．熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。

实验心得

通过本次实验我熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，通过响应曲线观测了特征参量和n对二阶系统性能的影响同时也学会了如何判断系统的稳定性。