三 反证法与放缩法
学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)
教材整理1 反证法
阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A．两个都是偶数
B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数
C [假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．]
教材整理2 放缩法
阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是( ) A．|a－b|＜2h C．|a－b|＜h
B．|a－b|＞2h D．|a－b|＞h
A [|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.]
利用反证法证“至多”“至少”型命题 【例1】 已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
1
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2. [精彩点拨] (1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论． (2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论． [自主解答] (1)由于f(x)＝x2＋px＋q， ∴f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
1
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于2，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*) 又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2， ∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立． 1
故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2.
1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．
[证明] a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误，
故a，b，c，d中至少有一个是负数． 即a，b，c，d中至多有三个是非负数.
利用放缩法证明不等式 1
2
n
111【例2】 已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有a＋a＋…＋a3＜2. [精彩点拨] 针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项． [自主解答] ∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)， 11111111－， ∴a＝2n2＜＝·＝2nn－12nn－12n－1nn1111111
∴a＋a＋…＋a＜1＋2＋＋…＋ 1×22×3nn－112n111111
1－＋－＋…＋－＝1＋2 223n－1n13131＝1＋21－n＝2－2n＜2，
1113即a＋a＋…＋a＜2. 1
2
n
1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．
2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．
1111
2．求证：1＋2＋2＋…＋2＜2－(n≥2，n∈N＋)．
23nn
[证明] ∵k2＞k(k－1)， 1∴k2＜111
＝－k(k∈N＋，且k≥2)．
kk－1k－1
分别令k＝2,3，…，n得
1111111＜＝1－，＜221·22322·3＝2－3，…， 1111
＝－2＜nnn－1n－1n. 111
因此1＋2＋2＋…＋2
23n
11111－1－－＋…＋n－1n ＜1＋＋22311
＝1＋1－n＝2－n.
1111
故不等式1＋22＋32＋…＋n2＜2－n(n≥2，n∈N＋).
[探究问题] 1．反证法的一般步骤是什么？
[提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
2．反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？
[提示] 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：
常见词语 否定假设 至少有一个 至多有一个 唯一一个 没有或有两个或两个以上 是 不是 有或存在 不存在 全 不全 不都是 都是 利用反证法证明不等式 一个也没有 有两个或两个以上 【例3】 已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.
211
[精彩点拨] 本题中的条件是三边间的关系b＝a＋c，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．
211
[自主解答] ∵a，b，c的倒数成等差数列，∴b＝a＋c.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，
∴b＞a＞0，b＞c＞0， 1111∴b＜a，b＜c， 211∴b＜a＋c，
211
这与＝＋相矛盾．
bac
∴假设不成立，故∠B＜90°成立．
1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．
2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．
3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. [证明] 法一 假设a＋b>2， 2
13
a2－ab＋b2＝a－2b＋4b2≥0，
故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立， ∴a2－ab＋b2>0.
则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)， 而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1， ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1， ∴a2＋b2<1＋ab<2，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4， ∴a＋b<2.
这与假设矛盾，故a＋b≤2.
法二 假设a＋b>2，则a>2－b， 故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3， 即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0， 这显然不成立，从而a＋b≤2.
法三 假设a＋b>2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8. 由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2. 又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2， ∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)， ∴a2－ab＋b2 D [实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.] 2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为( ) A．a＜0，b＜0，c＜0 C．a，b，c不全是正数 B．a≤0，b＞0，c＞0 D．abc＜0 C [a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.] 3．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是( ) A．综合法 C．分析法 B．放缩法 D．反证法 C [由分析法的证明过程可知选C.] 4．A＝1＋ 111 ＋＋…＋与n(n∈N＋)的大小关系是________． 23n n ＝n＝n. 1111 [解析] A＝1＋2＋3＋…＋n≥[答案] A≥n 1＋x1＋y 5．若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：y<2和x<2中至少有一个成立． 1＋x1＋y [证明] 假设y<2和x<2都不成立， 1＋x1＋y 则有y≥2和x≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>21＋x1＋y 矛盾，因此y<2和x<2中至少有一个成立． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容