精品推荐年高中数学 2.4.2二次函数的性质教案 北师大版必修1

4.2二次函数的性质

一、教材的地位与作用

初中学习了一元二次函数yax2bxc(a0)图象、开口方向、对称轴最大、最小值，有了初步的感性认识。在高一阶段将进一步从“数和形”两个方面研究一般二次函数的图象和性质，二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。可以以它为素材来研究函数的单调性，奇偶性，最值等问题。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。 二、教学目标

1、知识与技能：掌握研究二次函数的一般方法——配方法，进而研究其性质。 2、过程与方法：进一步培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、

分析、归纳概括能力,进一步向学生渗透数形结合的数学思想方法。

3、情感态度与价值观：通过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，和谐的数学美。 三、教学重难点

教学重点：掌握研究二次函数图象的重要方法---配方法，能够较快求出二次函数的开口方向对称轴，

单调区间、最值及顶点坐标。

教学难点：运用配方法研究二次函数的性质。 四、教法学法和教具

教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美，有助于学生对问题的理解和认识。

教具：多媒体 五、教学过程 一、问题提出

1.画出函数y2x4x3的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

2.画出函数yx4x5的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、

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最大值和最小值.

3.讨论函数yax2bxc(a0)图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

y2(x1)25 y(x2)29

（1，）-5， y2x24x32(x1)25，开口向上，对称轴x1，顶点坐标

（-,1)递减，(1,+)递增，f(x)min5

（2,9）， yx24x5(x2)29开口向下，对称轴x2，顶点坐标

（-,2)递增，(2,+)递减，f(x)max9

设计意图：从具体到抽象，从简单到复杂的认知，概括yax2bxc(a0)的 开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.渗透分类讨论和数形结合的思想。

探究：函数yax2bxc(a0)图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

b24acb2yaxbxca(x)

2a4a2

a0 a0

性质： (1)定义域：R.

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(2)值域：当a＞0时，为f－，＋∞，当a＜0时，为－∞，f－.

2a2a(3)单调性：

当a＞0时，单调递减区间是－∞，－，单调递增区间是－，＋∞；

2a2a



b



b



b

b

当a＜0时，单调递减区间是－，＋∞，单调递增区间是－∞，－.

2a2a

(4)最值：当a＞0时，有最小值f－，没有最大值；

2a

当a＜0时，有最大值f－，没有最小值．

2a

(5)f(0)＝c.

例1：求函数f(x)＝x－2x，x∈[－2,3]的最大值和最小值．

思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出． 解：画出函数f(x)＝x－2x，x∈[－2,3]的图像，如图所示，

观察图像得，函数f(x)＝x－2x在区间[－2,1]上是减函数， 则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1； 函数f(x)＝x－2x在区间(1,3]上是增函数， 则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；

则函数f(x)＝x－2x，x∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.

点评：因此可见，求二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)在闭区间[p，q]上的最值的关键是看二次项系数a的符号和对称轴x＝－

2

22

2

22

bb

b



bb的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值． 2a例2.某企业生产一种仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足

12400xx,函数：R(x)280000,0x400,x400,

其中x是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

解：（1）设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，从而

12x300x20000,0x400,f(x)2

x400,60000100x,（2）当0≤x≤400时，f(x)（x300）25000. 当x=300时，有最大值25 000；

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当x>400时，f(x)60000100x是减函数， 又f(x)600001004002000025000, 所以，当x=300时，有最大值25 000.

即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25 000元.

练习3.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又

R(Q)4Q知总收入R是单位产量Q的函数：

这时产品的生产数量为_______. 解：L(Q)4Q六、课堂小结

12Q， 则总利润L(Q)的最大值是____________万元，20012121Q(200Q)Q3Q200(Q300)2250 2002002001.二次函数的性质（1）开口方向；（2）顶点坐标；（3）对称轴；

（4）单调区间；（5）最大值和最小值.

2.解决二次函数的实际应用问题：求最值. 七、作业布置 P47B 1,2,3

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