一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．﹣2的倒数是（ ） A．﹣ B．
C．﹣2 D．2
2．下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．五一假期，黄石市退出了东方山休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、佛教文化体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 00人次，将9 608 00用科学记数法表示为（ ） A．9608×10 B．960.8×10 C．96.08×10 D．9.608×10 4．下列计算正确的是（ ） A．a+a=a
3
2
52
3
4
5
B．a﹣a=a C．a•a=a
32326
D．a÷a=a
32
5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
6．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
7．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 频数（单位：名）
13 5
14 15
15 x
16 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A．平均数、中位数
B．平均数、方差
C．众数、中位数 D．众数、方差
8．已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（ ） A．30cm
2
B．15cm
2
C．30πcm
2D．15πcm
2
2
9．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ） A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3
10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：mx﹣2mx+m= ． 12．分式方程=
的解是 ．
2
2
13．若一元二次方程2x﹣3x+k=0有两个相等实数根，则k的值是 ． 14．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数的和是9的概率为 ．
15．如图，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为 米（结果保留根号）
16．如图，正方形ABCD的面积为2cm，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边做平行四边形
2
AO1C1B，对角线交于点O2，以AB、AO2为邻边做平行四边形AO2C2B，…，以此类推，则平行四边形AO6C6B的面积为 cm．
2
三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（）﹣（3﹣
﹣1
0
）﹣2sin60°+|
﹣2|
18．先化简，再求值：÷+，其中a=，b=+1．
19．求不等式组的整数解．
20．已知关于x的方程x﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且
2
+=﹣，则m的值是
多少？
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）请说明DE是⊙O的切线； （2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
22．某校260名学生参加植树活动，要求每人植4﹣7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）补全条形图；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）请你计算平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？
23．某商场经营A种品牌的玩具，购进时间的单价是30元，但据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请用含x的代数式表示该玩具的销售量； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
（3）该商场计划将（2）中所得的利润的一部分资金采购一批B种玩具并转手出售，根据市场调查并准备两种方案，方案①：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；方案②：如果只到月末出售可直接获利30%，但要另支付他库保管费350元，请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？
24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．
25．如图，点A在函数y=（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E． （1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．﹣2的倒数是（ ） A．﹣ B．
C．﹣2 D．2
【考点】17：倒数．
【分析】根据倒数的定义即可求解． 【解答】解：﹣2的倒数是﹣． 故选：A．
2．下列图标，既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、可以看作是中心对称图形，不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； B、既可以看作是中心对称图形，又可以看作是轴对称图形，故本选项正确； C、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； D、既不可以看作是中心对称图形，又不可以看作是轴对称图形，故本选项错误． 故选B．
3．五一假期，黄石市退出了东方山休闲娱乐、传统文化展演、游园赏景赏花、佛教文化体验等精品文化活动，共接待旅游总人数9 608 00人次，将9 608 00用科学记数法表示为（ ） A．9608×10 B．960.8×10 C．96.08×10 D．9.608×10 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将9 608 00用科学记数法表示为：9.608×10． 故选：D．
4．下列计算正确的是（ ） A．a+a=a
3
2
5
5
n
2
3
4
5
B．a﹣a=a C．a•a=a
32326
D．a÷a=a
32
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．
【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a与a不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、a与a不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、应为a•a=a，故本选项错误； D、a÷a=a，正确． 故选D．
3
2
3
2
5
3
2
2
3
5．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．
【解答】解：根据所给出的三视图得出该几何体是长方体； 故选B．
6．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【考点】S4：平行线分线段成比例． 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到度，再根据BC=BO+CO即可解决问题． 【解答】解：∵AB∥CD，
=
；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长
∴=；
∵AO=2，DO=4，BO=3， ∴
=，解得：CO=6，
∴BC=BO+CO=3+6=9． 故选B．
7．某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 频数（单位：名）
13 5
14 15
15 x
16 10﹣x
对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A．平均数、中位数
B．平均数、方差
C．众数、中位数 D．众数、方差
【考点】W7：方差；V7：频数（率）分布表；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数． 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．
【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10， 则总人数为：5+15+10=30，
故该组数据的众数为14岁，中位数为：
=14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选C．
8．已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（ ） A．30cm
2
B．15cm
2
2
C．30πcm D．15πcm
2
【考点】MP：圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm．
2
故选D．
9．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ） A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解． 【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0， ∴抛物线有最小值，函数图象开口向上， ∴a＞0；∴25a﹣5b+c＞9a+3b+c， ∴
＜1，
2
∴﹣＞﹣1，
∴x0＞﹣1
∴x0的取值范围是x0＞﹣1． 故选：B．
10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）
A． B． C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象；PB：翻折变换（折叠问题）；S9：相似三角形的判定与性质． 【分析】根据翻折变换的性质可得∠CPD=∠C′PD，根据角平分线的定义可得∠BPE=∠C′PE，然后求出∠BPE+∠CPD=90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CPD+∠PDC=90°，从而得到∠BPE=∠PDC，根据两组角对应相等的三角形相似求出△PCD和△EBP相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出y与x的关系式，再根据二次函数的图象解答即可． 【解答】解：由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD， ∵PE平分∠BPC1， ∴∠BPE=∠C′PE， ∴∠BPE+∠CPD=90°， ∵∠C=90°，
∴∠CPD+∠PDC=90°， ∴∠BPE=∠PDC， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△PCD∽△EBP，
∴=，
即=，
∴y=x（5﹣x）=﹣（x﹣）+∴函数图象为C选项图象． 故选：C．
2
，
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：mx﹣2mx+m= m（x﹣1） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式m，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【解答】解：mx﹣2mx+m=m（x﹣2x+1）=m（x﹣1）． 故答案为：m（x﹣1）．
12．分式方程=
的解是 x=﹣2 ．
2
2
2
2
2
2
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x+4=2x， 解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解，
故答案为：x=﹣2
13．若一元二次方程2x﹣3x+k=0有两个相等实数根，则k的值是 【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣3）﹣4×2×k=0，然后解方程即可． 【解答】解：根据题意得△=（﹣3）﹣4×2×k=0， 解得k=．
2
2
2
．
故答案为．
14．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数的和是9的概率为 【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两枚骰子点数的和是9的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：
．
共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是9的结果数为4， 所以两枚骰子点数的和是9的概率=
=，
故答案为：．
15．如图，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为 （7+
） 米（结果保留根号）
【考点】SA：相似三角形的应用．
【分析】过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再根据勾股定理求出CE，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF，再求出BF，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可． 【解答】解：如图，过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F， ∵CD=4米，CD与地面成30°角， ∴DE=CD=×4=2米， 根据勾股定理得，CE=∵1米杆的影长为2米， ∴
=，
=
=2
米，
∴EF=2DE=2×2=4米， ∴BF=BC+CE+EF=10+2
+4=（14+2
）米，
∴=，
∴AB=（14+2故答案为：（7+
）=（7+）．
）米．
16．如图，正方形ABCD的面积为2
cm，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边做平行四边形
2
AO1C1B，对角线交于点O2，以AB、AO2为邻边做平行四边形AO2C2B，…，以此类推，则平行四边
形AO6C6B的面积为 cm．
2
【考点】LE：正方形的性质；L5：平行四边形的性质．
【分析】设平行四边形ABC1O1的面积为S1，推出S△ABO1=S1，又S△ABO1=S正方形，推出S1=S正方
形
；设ABC2O2为平行四边形为S2，由S△ABO2=S2，又S△ABO2=S正方形，推出S2=S正方形，观察探究
规律后即可解决问题．
【解答】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1， ∴S△ABO1=S1，
又∵S△ABO1=S正方形，
∴S1=S正方形，
设ABC2O2为平行四边形为S2， ∴S△ABO2=S2，
又∵S△ABO2=S正方形，
∴S2=S正方形， …，
同理：设ABC6O6为平行四边形为S6，S6=•S正方形=×2=．
故答案为．
三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（）﹣（3﹣
﹣1
）﹣2sin60°+|
0﹣2|
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（）﹣（3﹣
﹣1
0
）﹣2sin60°+|
﹣2|
=2﹣1﹣2×=1﹣=3﹣2
+2﹣
+2﹣
18．先化简，再求值：÷+，其中a=，b=+1．
【考点】6D：分式的化简求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将a、b的值代入求解可得．
•
【解答】解：原式=+
=+
=当a=原式=
， ，b=
+1时， =1．
19．求不等式组的整数解．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式的解，然后根据大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小解不了，的口诀求出不等式组的解，进而求出整数解．
【解答】解：
解不等式①得x≤3； 解不等式②得x≥；
∴不等式组的解集为：≤x≤3； ∴不等式组的整数解是3
2
20．已知关于x的方程x﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且+=﹣，则m的值是
多少？
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），再变形已知条件得到=﹣，
则=﹣，然后解方程求出m，再利用判别式的意义可确定m的值．
【解答】解：根据题意得x1+x2=3m，x1x2=2（m﹣1），
∵+=﹣，
∴=﹣，
∴=﹣，
解得m=， ∵△＞0，
∴m的值为．
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）请说明DE是⊙O的切线； （2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
【考点】MD：切线的判定；T7：解直角三角形．
【分析】（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可． （2）利用直角三角形和等边三角形的特点来求DE的长． 【解答】解：（1）连接OD，则OD=OB， ∴∠B=∠ODB． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴∠ODB=∠C． ∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠DEC=90°． ∴DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴
又∵AB=AC， ∴CD=BD=∴
，∠C=∠B=30°． ．
．
22．某校260名学生参加植树活动，要求每人植4﹣7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）． 回答下列问题： （1）补全条形图；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）请你计算平均数，并估计这260名学生共植树多少棵？
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】（1）利用总人数20乘以对应的百分比即可求得D类的人数，从而补全直方图； （2）根据众数、中位数的定义即可直接求解；
（3）首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260即可． 【解答】解（1）D类的人数是：20×10%=2（人）．
；
（2）众数为5棵，中位数为5棵 （3）=
=5.3（棵）．
估计260名学生共植树5.3×260=1378（棵）
23．某商场经营A种品牌的玩具，购进时间的单价是30元，但据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请用含x的代数式表示该玩具的销售量； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
（3）该商场计划将（2）中所得的利润的一部分资金采购一批B种玩具并转手出售，根据市场调查并准备两种方案，方案①：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资C种玩具，到月末又可获利10%；方案②：如果只到月末出售可直接获利30%，但要另支付他库保管费350元，请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？ 【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据销售量由原销量﹣因价格上涨而减少的销量可得；
（2）根据利润=销售量×每件的利润，即可解决问题，根据题意确定自变的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题；
（3）设取用资金为a元，先表示出两种方案的获取利润表达式，再分类讨论可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：销售单价为x元时，销售量为600﹣10（x﹣40）=1000﹣10x；
（2）由题意可得，
w=（x﹣30）[600﹣（x﹣40）×10] 化简，得w=﹣10x+1300x﹣30000
即w与x的函数关系式是：w=﹣10x+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）+12250， ∵
∴44≤x≤55，
∴当x=55时，Wmax=11250；
，
2
2
2
（3）设取用资金为a元，则： y1=a（1+15%）（1+10%）﹣a=0.265a； y2=a（1+30%）﹣350﹣a=0.3a﹣350；
当y1=y2时，即0.265a=0.3a﹣350，解得a=10000，此时获利相同； 当y1＞y2时，即0.265a＞0.3a﹣350，解得a＜10000，此时①获利多； 当y1＜y2时，即0.265a＜0.3a﹣350，解得10000＜a＜11250，此时②获利多．
24．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；当
点M在AC上，且AM=2时，AM=AB；当点M在AC上，且AM=BM时，AM=的中点时，AM=BM；△ABM为等腰三角形；
时；当点M为CG
（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2
时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM=
t，求出
S=AF•FM=t；当t=2
2时，即可求出S的最大值； ＜t＜4
时，先证明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出
t，得出S=S△ACG﹣S△CMJ
②当M在CG上时，即2
∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MG•cos45°=4﹣﹣S△FMG，S为t的二次函数，即可求出结果．
【解答】（1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形； 当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形； 当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形； 当点M在AC上，且AM=BM时，AM=AC=×2
=
时，则△ABM为等腰三角形；
当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；
（2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°，AB=AD， ∴∠CDG=90°，
∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN， ∴BK=DN， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH=45°，
∴∠NDH=90°+45°=135°， ∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°， ∴∠BKN=∠NDH，
在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°， 又∵BN⊥NH， 即∠BNH=90°，
∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°， ∴∠ABN=∠DNH， 在△BNK和△NHD中，
，
∴△BNK≌△NHD（ASA）， ∴BN=NH；
（3）解：①当M在AC上时，即0＜t≤2∵AM=t， ∴AF=FM=
t，
时，△AMF为等腰直角三角形，
∴S=AF•FM=×t×t=t；
2
当t=2时，S的最大值=×（2
＜t＜4﹣t，
）=2；
时，如图2所示：
2
②当M在CG上时，即2CM=t﹣AC=t﹣2
，MG=4
在△ACD和△GCD中，
，
∴△ACD≌△GCD（SAS）， ∴∠ACD=∠GCD=45°， ∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°， ∴∠G=90°﹣∠GCD=45°， ∴△MFG为等腰直角三角形， ∴FG=MG•cos45°=（4
﹣t）•
=4﹣
t，
∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG=×4×2﹣×CM×CM﹣×FG×FG
=4﹣（t﹣2）﹣（4﹣
2
）=﹣
2
+4t﹣8
=﹣（t﹣）+，
2
∴当t=时，S的最大值为．
25．如图，点A在函数y=（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E． （1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y=可求得B点坐标； （2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；
（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF． 【解答】解：
（1）∵点C在y=的图象上，且C点横坐标为1， ∴C（1，1），
∵AC∥y轴，AB∥x轴， ∴A点横坐标为1，
∵A点在函数y=（x＞0）图象上， ∴A（1，4）， ∴B点纵坐标为4， ∵点B在y=的图象上，
∴B点坐标为（，4）；
（2）设A（a，），则C（a，），B（，），
∴AB=a﹣=a，AC=﹣=，
∴S△ABC=AB•AC=××=，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为；
（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，
∵AB∥x轴， ∴△ABC∽△EFC，
∴=，即=，
∴EF=a，
由（2）可知BG=a， ∴BG=EF， ∵AE∥y轴， ∴∠BDG=∠FCE， 在△DBG和△CFE中
∴△DBG≌△CEF（AAS）， ∴BD=EF．
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