二次函数的图象与性质_教案

二次函数的图象与性质

【教学目标】

1．知识与技能

能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质 2．过程与方法

经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法。 3．情感、态度与价值观

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感。

【教学重难点】

1．函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质。 2．用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

导语一 回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？

导语二 展示具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？ 导语三 用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？ 二、合作交流，解读探究

1．函数y=ax2的图象画法及相关名称 [探究 l]画yx2的图象

学生动手实践、尝试画yx2的图象

教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出yx2的图象，如图22-1-1．

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[共同探究]次函数图像有何特征？特征如下： （1） 形状是开口向上的抛物线 （2） 图象关于y轴对称 （3） 由最低点，没有最高点。

结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向。

O 图22-1-1

x

O 图22-1-2

x

y y=x2 y=2x2 y y=x2 y=12 x22．函数y=ax2的图象特征及其性质

1[探究2]在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象。

2学生自己完成此题。教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象。如图22-1-2

比较图中三个抛物线的异同。

相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）。 ②对称轴相同，都为y轴

③开口方向相同，它们的开口方向都向上。 不同点：开口大小不同。

1[练一练]画函数y=x2，y=x2，y=2x2的图象。（分析：仿照探究1的实施过程）

21比较函数y=x2，y=x2，y=2x2的图象。找出它们的异同点。

2相同点：①形状都是抛物线。 ②顶点相同，其坐标都为（0，0）。 ③对称轴相同，都为y轴

④开口方向相同，它们的开口方向都向下。 不同点：开口大小不同。

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【归纳】y=ax2的图象特征：

（1）二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

（2）抛物线y=ax2的对称轴是y轴。顶点时原点。a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点。a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点。

（3）|a|越大，抛物线y=ax2的开口越小 三、应用迁移 巩固提高

类型之一 如何画好二次函数的图象

[点拨]画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行。①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免。

[易错点1]表格中，取值过多或过少。画函数y=ax2图象，取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可。

[易错点2]连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线。 例1 下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y2x2的图象。请你帮助修改。

解：图甲中有两个错误的地方。①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接。②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止。修改见图甲中虚线。

图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错。（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线。

图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性。 修改见图丙中虚线。

[点评]此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意。 类型之二 函数yax2的图象特征的应用

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例2（1）填空：函数y(2x)2的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 。

（2）函数yx2，y12x，y2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称。 2

解：（1）y(2x)2可化为y2x2．它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上。

[点评]解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误。

（2）根据抛物线yax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为yx2，中间的为

y12x，x轴下方的为y2x2。 2[点评]抛物线yax2中a>0时，开口向上。a<0时，开口向下。|a|越大，开口越小。 四、总结反思 拓展升华

[总结]

22yaxyax1．本节所学知识：①二次函数的图象的画法。②二次函数的图象特征及其

性质。

2．本节所用的方法：实践比较法

[反思]函数yax2与yax2的图象之间有何关系？（它们关于x轴对称） [拓展]

已知函数yax2经过(1，2)。 （1）求a的值。

（2）当x<0时，y的值随x的增大而变化的情况

解：（1）将x=1，y=2代入yax2中，得2=a×1 ∴a=2．

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（2）根据函数y2x2知x<0时y随x的增大而减小。

[点评]①通常用待定系数法函数yax2中只有一个待定系数a，故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式。②结合图象知：x<0时，x的值增大时，图像上的点的位置越来越低，故y的值越来越小，即y随x的增大而减小。。 五、当堂检测反馈

1．抛物线y4x2中的开口方向是 向上 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 。

1抛物线yx2的开口方向是 向下 ，顶点坐标是 （0，0），对称轴是 y轴 。

42．二次函数yax2与y2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a= 2 。 [分析]a与-2互为相反数 3．在同一坐标系中：①yy12x，②yx2，③y2x2这三个函数图象开口最大的是①212x，最小的是③y2x2，开口向下的是②yx2． 2解： ∵|

1|<|-1|<|2|，∴抛物线①的开口最大，抛物线③开口最小。 22yx∵函数中，二次项系数为-1<0.∴此函数图象的开口向下。

4．二次函数y2x2，y2x2，y②对称轴相同，都是y轴。

12；x的图象共同点是①顶点相同，都是原点（0，0）

25．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3，2)。求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况。

解：设此抛物线的解析式为yax2， ∵此抛物线过点（-3，2）， ∴2=a·(3)2，即a=

22，。∴yx2， ∴当x>0时，y随x的增大而增大。 99 5 / 5