互逆变化法在求特征值与特征向量中的应用

科技创新与应用

应用科技互逆变化法在求特征值与特征向量中的应用*覃姜色，赵新暖

（广西科技大学鹿山学院，广西柳州5000）

摘要：矩阵特征值与特征向量的计算是线性代数的重要知识点。文章针对实对称矩阵的特征值与特征向量问题，介绍利用互逆

变换法如何求解此类问题。

特征向量；互逆变换关键词：实对称矩阵；特征值；中图分类号院O151.21

文献标志码院A

文章编号院2095-2945渊2020冤11-0179-02

aimingattheeigenvalueandeigenvectorproblemsofrealsymmetricmatrices,howtosolvesuchproblemsbyusingthereciprocaltransformationmethodisintroduced.

Keywords:realsymmetricmatrix;eigenvalues;eigenvectors;reciprocaltransformation

Abstract:Thecalculationofmatrixeigenvaluesandeigenvectorsisanimportantknowledgepointoflinearalgebra.Inthispaper,

1概述

矩阵计算是科学和工程计算的核心，特征值与特征向

得到导出组

量计算是矩阵计算的基本问题之一。在教材[1]特征值与特征向量章节中，先构造特征方程，通过计算化简行列式求出特征值，由于行列式中含有特征值这一未知数，对于行列式的计算就不是那么简便。而特征值所以对应的特征向量则需要将特征值回代至特征方程，通过求解齐次线性方在文献[2]中总结了Jacobi方法、程组得到。QR方法和分治法求特征值。但这些方法并不是那么简便。这也是学生在学习计算特征值中遇到的常见问题。为此，本文介绍利用互逆变换法求解实对称矩阵的特征值与特征向量。

2常见例题与解法

晌上

上上上上上上上上尚

向量。

因此k1p（）是矩阵A对应于特征值姿1=5的全部特征1k1屹0

（2）同理，当姿2越姿3=-1时，得齐次线性方程组（A+E）x=

嗓x2-x3=0

x1-x3=0

T

，解得基础结解系为p1=（1，1，1）。

0，对其系数矩阵进行行初等变换化为行最简形矩阵。

222111222000AE=222000

TT

1，1，0）和p2=（-1，0，1）。因此k2p2+k3p（）是矩阵A3k2k3屹0

得到导出组x1+x2+x3=0，解得基础结解系为p2=（-

例1[3]：求实对称矩阵A=212的特征值和特征方程。

221

122

裳梢

梢梢梢梢梢梢梢梢捎

对应于特征值姿2越姿3=-1的全部特征向量。

分析：此例题是利用教材中常用的通过计算特征方程

求解特征值，再通过将齐次线性方程的系数矩阵化简为行最简形矩阵求解出特征向量。计算步骤较多，对于三阶行列式中包含未知量的化简，这本身就不便利。对实对称矩阵为四阶或更高阶矩阵，则需要计算化简的行列式便更为

解：由矩阵A的特征方程，求特征值

1l

AlE

2

2

22

2

1l25l1l021l

复杂。为此将介绍互逆变换法求解实对称矩阵的特征值与特征向量。

3相关定义与理论证明

数矩阵进行行初等变换化为行最简形矩阵。

（1）当姿1越5时，得齐次线性方程组（A-5E）x=0，对其系

得所求矩阵特征值为姿1越5，姿2越姿3越-1。

定义：把矩阵的下列三种变换称之为行列互逆变换。（2）第i行乘非零数k，同时第i列乘1；

k列。

定理：设A为n阶对角化矩阵，且（1）互换i，j两行，同时互换i，j两列；

421012A5E=242011224000

（3）第i行k倍加到第j行，同时第j列-k倍加到第i

*基金项目院2017年广西科技大学鹿山学院校级项目渊编号院2017LSKY02冤

（19-）应用数学。作者简介：覃姜色，男，硕士，助教，研究方向：-179-

应用科技TechnologyInnovationandApplication

科技创新与应用

2020年11期AT

,E行列式互逆变换

D,P

T

其中，Dl1b1,PTOM

茁l

nbn

i=（bi1，…，bin）（i=1，2，…，n），则姿1，姿2，…，姿n为A的全部特征值，琢i证：由矩阵=茁iT

为属于姿i的特征向量。

行（列）初等变换等价于左（右）乘相应初等

矩阵，及行列互逆变换的定义，知积，从而可逆，且PTA（TPT）-1

=D，即PPT为若干初等矩阵的乘

-1AP=DT=D，AP=PD，

D

l1



,POa1,L,an。所以，

lnAaal1



1,L,an1,L,an,O



ln则Aa1,L,anl1a1,L,lnanAailiaii1,2,L,n因此该方法求出的姿特征值姿i为A的特征值，琢i为A的对应

（1）ri的特征向量。为了运算方便，约定：

（2）ci+krj表示矩阵第j行k倍加到第i行；4应用i-kc例题

j表示矩阵第j列-k倍加到第i列。例2：求如下实对称矩阵的特征值与特征向量。0111

A1011

11011110

解：

1000

0110100

AT,E1

10

411

11010010

11100001

11011

0

0

0rr2r14r3

01021100



c2cc14c3



0010

1110

02010011

110010

00r2r4

00111

1c2c4

3001100010



0201

0

011

-180-

r124r1

r124r3



110

01000r122

r4



030

01111

0110001

0

0201

0

011



00

311c1

14c2

c1441

443104c2



00c142

c2



031

1

1

1





00101131





4444



02011111



4222



1

0003111r2r4

01001

13

1c2c4

00101111



000311故特征值为姿的线性无关特征向1量=姿分2=姿别3=1为，：

姿4=31

1

。属于特征值姿1=姿2=姿3=1

aT

T13,1,1,1,a21,1,3,1,a31,1,1,1T

属于特征值姿4=-3的线性无关特征向量

aT

41,1,1,1。5本文结束语

介绍了通过互逆变换法求解实对称矩阵特征值

与特征向量具体求解方法。不仅可以求解教材练习中常见的三阶实对称矩阵的特征值与特征向量，对高阶（四阶及以上）实对称矩阵的特征值与特征向量求解同样适用。步骤较为简便，能同时求出实对称矩阵的特征值与特征向量。为今后计算此类问题提供了一新的简便方法。

参考文献院

[2][1]丁瑶莫京.兰实，对黄秋称矩阵和，宁特征桂英值.线的性若干代数求法[M].[J].北京重庆：机电械子出版社，2019.

学报，2009（02）：124-127.

工程职业学院[3]科学冯国教勇研）.浅谈，2007实（对11称矩阵）：410.

特征值的求法经验技巧[J].科技信息（