第二章 《一元二次方程》测试题
时间：100分钟 满分 120分 姓名 等级 。
一、选择题（本题一共10个小题，每个小题中有四个选项，只有一个选项是正确的，选错或
不选都不得分，每小题3分，满分30分）
1．下列方程，一定是一元二次方程的是 （ ） A.
+bx+c=0 B.
+bx+c=0 C.
2.（2019•浙江金华）用配方法解方程-6x-8=0时，配方结果正确的是 （ ）
A.
=17 B.
=14 C. =1
3.（2019•浙江宁波）能说明命题“关于x的方程x﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的
反例
为 （ ） A．m＝﹣1
B．m＝0
C．m＝4
D．m＝5
2
+bx+c=0 D.+bx+c=0
=44 D.
4.（2018•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为 （ ） A．9人 B．10人 C．11人
D．12人
22
5.（2019年山东省威海市）已知a，b是方程x+x﹣3＝0的两个实数根，则a﹣b+2019的
值是
（ ） A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
2
6．（2019年湖北省鄂州市）关于x的一元二次方程x﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，
且x1+3x2＝5，则m的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．0
答案：A.解析：因为x1+x2＝4，所以x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，所以x2＝， 把x2＝代入x﹣4x+m＝0得：（）﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．
2
2
7.(2019年四川省达州市)某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，
则下列方程正确的是
（ ）
A．2500（1+x）＝9100 B．2500（1+x%）＝9100
22
C．2500（1+x）+2500（1+x）＝9100 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）＝9100
22
8.（2019年四川省遂宁市）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x﹣2x+a﹣1＝0有一个根
为x
=0，则a的值为 （ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
9.（2019•河北省）小刚在解关于x的方程ax+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解 出其中一个根是x=﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况
是
（ ）
A．不存在实数根 C．有一个根是x＝﹣1
B．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
22
22
10.（2019•广东广州）关于x的一元二次方程x﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
若
（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值 （ ） A．0或2
B．﹣2或2
C．﹣2
D．2
二、填空题（本题一共6个小题，每小题3分，满分18分）
211.已知关于x的一元二次方程axbxc0a0的系数满足a+b+c=0，则此方程
必有一根为 .
2
12.（2019年山东省威海市）一元二次方程3x＝4﹣2x的解是 ．
13.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿
线
某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民
年人均收入平均增长率为 ．（用百分数表示）
14.（2019•甘肃庆阳）关于x的一元二次方程x+
取值
为 ．
2
15.（2019年山东省济宁市）已知x＝1是方程x+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根 是 ．
2
x+1＝0有两个相等的实数根，则m的
16.（2019•湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x+（3k+1）x+2k+1＝0的两个不相
等实
数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k，则k的值为 ． 三、解答题（本题一共9个小题，满分72分） 17. （满分8分） 解下列方程：
（1）（2019•黑龙江省齐齐哈尔市）解方程：x+6x＝﹣7；
（2）（2019湖南常德）解方程：x﹣3x﹣2＝0．
18.（满分8分）
（2019年浙江省绍兴市）x为何值时，两个代数式x+1，4x+1的值相等？
19．（满分8分）
下列解方程的过程是否出现错误？若有，请指出错误的地方病改正． 解方程：x-8x-4=0．
解： 这里a=1，b=-8 ， c=-4，
22
2
2
2
22
bb24ac848因为b4ac(8)41(4)=48，所以x==．
2a222即x1848848，x2．
22
20.（满分8分）
先从①②③④备选项中选出合适的一项填在横线上，将题目补充完整后再解答： 如果a是关于x的一元二次方程x+bx+a=0的根，且a≠0，则可以求出的值．
① ab ②
2b③ a+b ④a-b. a
21. （满分8分）（2019·广西贺州·8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元． （1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200
元？
22.（满分8分）（2019•湖北省随州市）已知关于x的一元二次方程x-（2k+1）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=3，求k的值及方程的根．
23.（满分8分）
（2019•湖北省鄂州市）已知关于x的方程x﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且值．
24.（满分8分）
（2019•四川省广安市）已知关于x的一元二次方程x(k4)x4k0. （1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足
22
2
2
+＝x1•x2，试求k的
113，求k的值； x1x24
25. （满分8分）
已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝若存在，
求出这样的k值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 一、选择题 1.答案：C.
解析：二次项系数不为0，才能确保方程为一元二次方程，只有2.答案： A
解析：因为x2-6x-8=0， 所以x2-6x+9=8+9，所以（x-3）2=17.故答案为：A.
3.答案：D
解析：当m＝5时，方程变形为x﹣4x+m＝5＝0，因为△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
所以方程没有实数解，所以m＝5可作为说明命题“关于x的方程x﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．故选：D． 4.答案C.
解析：设参加酒会的人数为x人，根据题意得： x（x﹣1）=55，整理，得：x﹣x﹣110=0，解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．所以参加酒会的人数为11人．故选：C． 5.答案：A.
22
解析：a，b是方程x+x﹣3＝0的两个实数根，所以b＝3﹣b，a+b＝﹣1，ab﹣3，
2222
所以a﹣b+2019＝a﹣3+b+2019＝（a+b）﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．
6．答案：A.
解析：因为x1+x2＝4，所以x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，所以x2＝， 把x2＝代入x﹣4x+m＝0得：（）﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A． 7.答案：D
解析：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
2
2
2
2
2
成立？
0,符合条件.
2500+2500（1+x）+2500（1+x）＝9100．故选：D．
8.答案：D
22
解析：因为关于x的一元二次方程（a﹣1）x﹣2x+a﹣1＝0有一个根为x＝0，
2
所以a﹣1＝0，a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．
9.答案：A
解析：因为小刚在解关于x的方程ax+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其
中
一个根是x＝﹣1，所以（﹣1）﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5， 则b﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．
10.答案：D
解析：根据题意，得x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
因为（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
所以（k﹣1）+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．因为△＝[﹣（k﹣1）]﹣4×1×（﹣k+2）≥0，检验，得k＝2．所以选：D．
二、填空题
11.答案1 解析：利用根的定义求解.
12.答案为：x1＝
2
2
2
2
2
2
2
2
，x2＝．
，解得：x1＝
，x2
解：b﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝＝
．
13.答案：40%．
2
解析：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）＝39200， 解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），所以该地区居民年人均收入平均增长率为40%，
14.答案 4 解析：由题意，△＝b﹣4ac＝（
2
）﹣4＝0，解得m＝4.
2
15.答案：-2． 解析：因为x＝1是方程x+bx﹣2＝0的一个根，所以x1x2＝＝﹣2， 所以1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．
16.答案：1 解析：根据题意，得x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k+1．因为（x1﹣1）（x2﹣
1）
＝8k，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k，所以2k+1+3k+1+1＝8k，整理，得：2k﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．因为△＝（3k+1）﹣4×1×（2k+1）＞0，所以k＝1．
三、解答题 17.解下列方程：
（1）解：因为x+6x＝﹣7，所以x+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）＝2， 则x+3＝±
，所以x＝﹣3±
，即x1＝﹣3+
（2）
解：因为a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
所以b﹣4ac＝（﹣3）﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17； 所以x＝
=
，所以x1＝
18.解：x2+1＝4x+1，所以x2﹣4x＝0，所以x（x﹣4）＝0，所以x1＝0，x2＝4． 所以当x等于0或4时，两个代数式的值相等.
19．解：上述解题过程中，出现了三处错误：
2（1）b4ac(8)41(4)=48有错，-4×1×（-4）应等于16，所以应该是加上
216，而不是减去16，正确计算为：b4ac(8)41(4)=64+16=80；
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，x2＝﹣3﹣．
，x2＝．
bb24ac848（2）套用公式x==时有错误，-b应该是-（-8）=8，而不是-8，
2a2bb24ac88048应该是80．正确计算是x==；
2a2（3）分别写成x1848848，x2时有错误，48应该是80，且没有化
22成最简形式．正确的计算是
x1880845880845425，x2425． 2222
20.解：
（1）可以求出ab的值．
因为a是关于x的一元二次方程x+bx+a=0的根，所以a+ba+a=0，所以ab= -（a+a）． （2）可以求出
222b的值． a22因为a是关于x的一元二次方程x+bx+a=0的根，所以a+ba+a=0，且a≠0，
ba11a2a1． 所以b=-=-a-1，所以=
aaaa（3）可以求出a+b的值．
因为a是关于x的一元二次方程x+bx+a=0的根，所以a+ba+a=0，且a≠0，
22a2a所以b=-=-a-1，所以a+b= -a-1+a=-1. a（4）可以求出a-b的值．
因为a是关于x的一元二次方程x+bx+a=0的根，所以a+ba+a=0，且a≠0，
22a2a所以b=-=-a-1，所以a-b= a -（-a-1 ）= 2a +1. a
21. 解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）． 答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%． （2）3600×（1+20%）＝4320（元），4320＞4200． 答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
22.解：（1）因为关于x的一元二次方程x-（2k+1）x+k+1=0有两个不相等的实数根，所以△＞0，所以（2k+1）-4（k+1）＞0，
整理得，4k-3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞； （2）因为方程的两个根分别为x1，x2，所以x1+x2=2k+1=3，解得：k=1，所以原方程为x2-3x+2=0，所以x1=1，x2=2．
23.解：（1）因为原方程有实数根，所以b﹣4ac≥0所以（﹣2）﹣4（2k﹣1）≥0，所以k≤1； （2）因为x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1，又因为
2
22
2
2
2
2
2
2
+＝x1•x2，所以
2
2
，
所以（x1+x2）﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）所以2﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1），解之，得：
．经检验，都符合原分式方程的根，因为k≤1，所以
24.解：
（1）证明：因为(k4)16kk8k16(k4)0， 所以无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根.
222．
（2）由题意得：x1x2k4，x1x24k，因为1x11x23，4所以
k43x1x23，即，解得：k2.
x1x244k425. 解：
（1）因为关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根， 所以-4ac＞0，所以
-4×1×(k2－2k＋3)＞0，整理，得4k-11＞0，解得k
＞;
(2)存在这样的k.理由如下： 根据题意，得+= 2k-1,
=-2k+3=
+2＞0，所以
是同号的，
因为|x1|－|x2|＝得：
，当是为正号时，得-4
=5,所以
=，两边同时平方，
-4×1×(k2－2k＋3)=5,
=5,所以
所以4k-11=5,解得k=4＞，所以符合题意；
根据题意，得+= 2k-1, =-2k+3=+2＞0，所以是同号的，
因为|x1|－|x2|＝得：
，当是为负号时，得-4
=5,所以
=，两边同时平方，
-4×1×(k2－2k＋3)=5,
=5,所以
所以4k-11=5,解得k=4＞，所以符合题意.综上所述，存在这样的k，使得|x1|－|x2|＝成立.
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