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21.相似综合测试

来源：知库网

北师大版八年级下《第4章相似图形》2013年单

元测试卷（二）

一、填空题（每题3分，共30分） 1．（3分）在比例尺为1：20的图纸上画出的某个零件的长是32cm，这个零件的实际长是 _________ cm． 2．（3分）（2012•路北区一模）两个相似三角形的周长之比为4：9，那么它们的相似比为 _________ ． 3．（3分）（2002•重庆）如图，雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，在他前面2m远处有一块小积水，他看到了旗杆的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度为1.5m，则旗杆的高度是 _________ m．

4．（3分）在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①

；（2）

③∠A=∠A′④∠C=∠C′．如

果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有 _________ 组．

5．（3分）梯形ABCD中，AB∥DC，CD=8，AB=12，S四边形ABCD=90，两腰的延长线相交于点M，则S△MCD= _________ ． 6．（3分）（开放题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于

△ _________ ．

7．（3分）如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是 _________ ．

8．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC；（3）AB=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号） _________ ．

；（4）

9．（3分）如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC= _________ ．

10．（3分）平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N，则CN= _________ ．

二、选择题（每题3分，共30分） 11．（3分）（2004•北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 12．（3分）如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）

A．= B． = C． = D． = 13．（3分）下列判断中，正确的是（） A．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 B．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C． D．邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似 14．（3分）（2001•青岛）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（）

A．1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对 15．（3分）（2001•河北）如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）

1 4 3 2 A．B． C． D． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（）

A．9：4 B． 9：2 C． 3：4 D． 3：2 17．（3分）两相似三角形的相似比为2：3，其中较小三角形的面积为12，则较大三角形的面积为（） 8 16 24 27 A．B． C． D． 18．（3分）（2010•江苏二模）在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（） A．6条 B． 3条 C． 4条 D． 5条 19．（3分）（2007•南宁）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）

A． B． C． D． 20．（3分）（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）

24m 22m 20m 18m A．B． C． D．三、计算或证明题（21～25每题6分，26～28题每题10分） 21．（6分）已知：如图所示，图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位长度．（1）将图①中的格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）以点O为对称中心作出它的对称图形，请在图中画出；

（2）在图②中画一个与格点△ABC相似的格点三角形，且使它与△ABC的相似比为2：1．

22．（6分）如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC的长为 _________ cm．

23．（6分）如图，在长为10cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，留下的矩形的面积是多少？

24．（6分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．

求证：CF=GF•EF．

25．（6分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．

26．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．

（1）求证：OE=OF；

（2）若AD=3，BC=4，求EF的长．

27．（10分）（2010•鞍山）如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B⇒A，B⇒C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM= _________ 厘米；（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

28．（10分）（2007•武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F．（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB= _________ ；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB= _________ ；（2）如图③，若∠BAC=α，则∠AFB= _________ （用含α的式子表示）；（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤．在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°

；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是 _________ ．请你任选其中一个结论证明．

北师大版八年级下《第4章相似图形》2013年单

元测试卷（二）

参考答案与试题解析

一、填空题（每题3分，共30分） 1．（3分）在比例尺为1：20的图纸上画出的某个零件的长是32cm，这个零件的实际长是 640 cm．考点：比例线段．分析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式求得这个零件的实际长．解答：解：设这个零件的实际长是x（cm），则： 1：20=32：x，解得x=640 这个零件的实际长是640cm．故答案为：640．点评：理解比例尺的概念，注意单位的转换． 2．（3分）（2012•路北区一模）两个相似三角形的周长之比为4：9，那么它们的相似比为 4：9 ．考点：相似三角形的性质．分析：由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．解答：解：∵两个相似三角形的周长之比为4：9， ∴它们的相似比为4：9．故答案为：4：9．点评：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用． 3．（3分）（2002•重庆）如图，雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，在他前面2m远处有一块小积水，他看到了旗杆的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度为1.5m，则旗杆的高度是 30 m．

考点：相似三角形的应用．专题：转化思想．分析：因为学生和旗杆平行，且光的入射角等于反射角，所以有一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．解答：解：∵CD⊥BD，AB⊥BD ∴∠D=∠B=90° 又∠COD=∠AOB ∴△ABO∽△CDO ∴ ∴AB=30．点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆

的高度，体现了转化的思想． 4．（3分）在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①

；（2）

③∠A=∠A′④∠C=∠C′．如

果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有 3 组．考点：相似三角形的判定．分析：根据相似三角形的判定定理：三条对应边的比相等的三角形相似可得需①②组合，对应边成比例且夹角相等的三角形相似可得②④组合，有两角对应相等的三角形相似可得③④组合，则可求得答案．解答：解：①②组合， ∵∴，，， ∴△ABC∽△A′B′C′（三条对应边的比相等的三角形相似）； ②④组合， ∵，④∠C=∠C′， ∴△ABC∽△A′B′C′（对应边成比例且夹角相等的三角形相似）； ③④组合， ∵∠A=∠A′，∠C=∠C′， ∴△ABC∽△A′B′C′（有两角对应相等的三角形相似）． ∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故答案为3．点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是熟记相似三角形的判定定理，掌握定理的应用． 5．（3分）梯形ABCD中，AB∥DC，CD=8，AB=12，S四边形ABCD=90，两腰的延长线相交于点M，则S△MCD= 72 ．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．分析：首先根据题意画出图形，然后由AB∥DC，可得△ABM∽△DCM，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵AB∥DC， ∴△ABM∽△DCM， ∴=（）， 2∵CD=8，AB=12，S四边形ABCD=90， ∴=（）， 2解得：S△MCD=72．故答案为：72．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 6．（3分）（开放题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于

△ ACE ．

考点：相似三角形的判定．分析：根据两组对应角相等的两三角形相似即可解答．解答：解：因为在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，所以AD=DC，即∠C=∠DAC．又因为AE⊥AD，所以∠EAB=∠DAC=∠C，因为∠E是公共角，所以△BAE∽△ACE．点评：此题主要考查学生对有两组角对应相等的两个三角形相似的运用． 7．（3分）如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是 1：4 ．

考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：由于M、N是AB、BC的中点，那么MN是△ABC的中位线，由中位线所得MN、AC的位置关系，可判定△MNO∽△CAO，根据中位线得到的数量关系，可得到两个相似三角形的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比即可得解．解答：解：∵M、N是AB、BC的中点， ∴MN∥AC，且MN=AC； ∴△MON∽△COA， 22∴S△MON：S△COA=MN：AC=1：4．点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的综合应用． 8．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC；（3）AB=BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号）（2）（3）（4）．

；（4）

（4）由三角形；（4）由AB=BD•BC与∠B是公共角，可判定△CBA∽△ABD，△ABD是直角三角形，则可得△ABC是直角三角形．解答：解：（1）不能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠DAC， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴无法证明△ABC是直角三角形；（2）能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B=∠DAC， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B=90°；（3）能 ∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠CDA=90°， ∴Rt△ABD∽Rt△CAD，（因为都有一个直角，两组对应边成比例） ∴∠ABD=∠CAD；∠BAD=∠ACD ∵∠ABD+∠BAD=90° ∴∠CAD+∠BAD=90° ∵∠BAC=∠CAD+∠BAD ∴∠BAC=90°；（4）能， ∵能说明△CBA∽△ABD，又∵△ABD是直角三角形， ∴△ABC一定是直角三角形． ∴一定能够判定△ABC是直角三角形的有（2）（3）（4）．故答案为：（2）（3）（4）． 2与∠ADB=∠CDA=90°，即可判定Rt△ABD∽Rt△CAD，则可得∠B=∠DAC，则可得△ABC是直角点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相似三角形的判定与性质的应用． 9．（3分）如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC= 8：5 ．

分析：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F．由平行线分线段成比例和比例的性质求得EF：FC=BD：DC=2：3．AM：MD=AE：EF=4：1，由此求得AE：EC=8：5．解答：解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F． ∴EF：FC=BD：DC，AM：MD=AE：EF． ∵BD：DC=2：3， ∴EF：FC=BD：DC=2：3．设EF=2a，则CF=3a． ∵AM：MD=AE：EF， ∵AM：MD=4：1 ∴AE：EF=4：1 ∴AE=8a ∴AE：EC=8a：5a=8：5．故答案是：8：5．点评：本题考查平行线分线段成比例定理．解题时，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 10．（3分）平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N，则CN= 7 ．

考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：根据已知条件，先证明△AEM∽△CED，然后利用相似三角形的对应边成比例这一性质求得AM=AB；再来证明△AFM∽△CFN，依据相似三角形的性质求的CN的长度．解答：解：在△AEM和△CED中， ∠CAB=∠DCA（内错角相等）， ∠AEM=∠CED， ∴△AEM∽△CED， ∴=， ∵AE=EF=FC， ∴==， ∴AM=CD； ∵AB=CD， ∴AM=AB ①；在△AFM和△CFN中， ∠FAM=∠FCN（内错角相等），∠AFM=∠CFN（对顶角相等），

∴△AFM∽△CFN， ∴=∴CN==2， ②； ∵AB=28 ③ 由①②③解得，CN=7．点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理：两个三角形中，两个对应角相等，则这两个三角形相似，以及相似三角形的性质：对应边成比例．二、选择题（每题3分，共30分） 11．（3分）（2004•北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．等边三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形考点：中心对称图形；轴对称图形．专题：压轴题．分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，即可求解．解答：解：A、B都只是轴对称图形； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形； D、只是中心对称图形．故选C．点评：掌握好中心对称图形与与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形沿对称轴折叠后与原图可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 12．（3分）如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）

A．= B． = C． = D． = 考点：平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．分析：本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形．解答：解：根据题意，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，所以B不成立．故选B．点评：此题考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况． 13．（3分）下列判断中，正确的是（） A．各有一个角是67°的两个等腰三角形相似邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 B．各有一个角是45°的两个等腰三角形相似 C． D．邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似考点：相似三角形的判定． ©2010-2014 菁优网

专题：常规题型．分析：根据相似三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析即可．解答：解：A，C没有指明角是顶角还是底角无法判定； D没有指明谁是底边谁是腰，所以不相似； B中因为边的比值为2：1，所以大的一定是腰，否则不能组成三角形，所以对应边都成比例，相似．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 14．（3分）（2001•青岛）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有（）

A．1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对考点：相似三角形的判定．分析：根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．解答：解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD △ACD∽△CBD △ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形，故选C．点评：考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 15．（3分）（2001•河北）如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）

1 4 3 A．B． C．考点：相似三角形的判定与性质．分析：依题意，易证△BCD∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例解答即可．解答：解：∵在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB，BC与AC是对应边，CD与BC是对应边， ∵BC=，AC=3， 2 D． ∴△BCD与△ACB的相似比是故选：D．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形对应边的比相等． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（）

A．9：4 B． 9：2 C． 3：4 考点：相似三角形的性质．分析：根据直角三角形相似的判定，可证得△ACB∽△ADC∽△CDB，可得到D． 3：2 ，由已知AD：BD=9：4可求得CD=6，代入即可得AC：BC的值．解答：解：∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A为公共角， ∴△ACB∽△ADC，同理由∠B为公共角可得△ADC∽△CDB， ∴△ACB∽△ADC∽△CDB，即∵AD：BD=9：4， ∴即CD=6，， ∴AC：BC=9：6=3：2．故选D．点评：本题考查了直角三角形相似的判定，找到相应关系的边是正确解题的关键． 17．（3分）两相似三角形的相似比为2：3，其中较小三角形的面积为12，则较大三角形的面积为（） 8 16 24 27 A．B． C． D．考点：相似三角形的性质．分析：先根据相似三角形的相似比求出其面积比，再根据较小三角形的面积为12即可解答．解答：解：∵两三角形的相似比为2：3， ∴面积比就是4：9，又∵较小三角形的面积是12， ∴较大三角形的面积是×9=27．故选D．点评：本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 18．（3分）（2010•江苏二模）在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（） A．6条 B． 3条 C． 4条 D． 5条考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．专题：常规题型；分类讨论．分析： △AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直 ©2010-2014 菁优网

线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．解答：解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，所以共有四条．故选C．点评：本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 19．（3分）（2007•南宁）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）

A． B． C． D．考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：先找出图中的相似三角形，再根据相似比计算出各图形面积，然后计算．解答：解：设AC与DM的交点为G， ∵△AMG∽△CDG，AM=AB=CD． ∴AG=CG． ∵△AMC的面积为． ∴S△AMG= ∵S阴影=S△ADM+S△ACM﹣2S△AMG ∴S阴影=+﹣= 因此图中的阴影部分的面积是；故选B．点评：本题较复杂，考查了相似三角形，正方形等相关知识． 20．（3分）（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）

24m 22m 20m 18m A．B． C． D．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：压轴题．分析：过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．解答：解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．由题意得：．（2分） ∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．（1分） ∴GF=BD=CD=6m．（1分）又∵．（2分） ∴AG=1.6×6=9.6（m）．（1分） ∴AB=14.4+9.6=24（m）．（1分）答：铁塔的高度为24m．故选A．点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．三、计算或证明题（21～25每题6分，26～28题每题10分） 21．（6分）已知：如图所示，图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位长度．（1）将图①中的格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）以点O为对称中心作出它的对称图形，请在图中画出；（2）在图②中画一个与格点△ABC相似的格点三角形，且使它与△ABC的相似比为2：1．

解答：解：（1）如图所示，△DEF为所求的三角形；（2）如图所示，△PQR为所求的三角形．点评：此题考查了作图﹣旋转变换，位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 22．（6分）如图，△ABC中，BD是角平分线，过D作DE∥AB交BC于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC的长为 4.5 cm．

考点：相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：根据平行的条件可以证明△CDE∽△CAB，DE=BE，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长．解答：解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC． ∵DE∥AB， ∴∠ABD=∠BDE． ∴∠DBC=∠BDE． ∴DE=BE=3cm． ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB． ∴∴．．解得EC=4.5cm．点评：根据相似三角形的对应边的比相等，可以把本题转化为方程问题进行解决． 23．（6分）如图，在长为10cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，留下的矩形的面积是多少？

考点：相似多边形的性质．分析：利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 2解答：解：长为10cm、宽为6cm的矩形的面积是60cm，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是6：10=3：5，因而面积的比是9：25，因而留下矩形的面积是60×=21.6（cm）． 22答：留下的矩形的面积是21.6cm．点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形面积之比等于相似比的平方． 24．（6分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF=GF•EF．

考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴=∴=2，， =，即CF=GF•EF．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质． 25．（6分）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．

行计算即可得解．解答：解：设正方形的边长为xmm，则AI=AD﹣x=80﹣x， ∵EFHG是正方形， ∴EF∥GH， ∴△AEF∽△ABC， ∴=即=，，解得x=48mm，所以，这个正方形零件的边长是48mm．点评：本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键． 26．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．

（1）求证：OE=OF；

（2）若AD=3，BC=4，求EF的长．

考点：相似三角形的判定与性质；梯形．分析：（1）由△AOE和△ABC相似可得=，由△DOF和△DBC相似可得=，由△ACD和△OCF相似可得=，从而得到=，即可得证；，再求出，然后求出OE，根据EF=OE+OF即可．（2）根据△AOD和△BOC相似求出解答：（1）证明：∵AD∥BC， ∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC， ∴=，=，又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF， ∴=∴=，， ∴OE=OF；（2）解：∵AD∥BC， ∴△AOD∽△BOC， ∴=∴=

=， =，

∵BC=4， ∴==，， +=．解得OE=∴EF=OE+OF=点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键，也是本题考查的重点． 27．（10分）（2010•鞍山）如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B⇒A，B⇒C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=

厘米；

（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

考点：梯形；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的对应边成比例就可以求出PM；（2）若PNB∽△PAD，则，而，∴这样就可以求出t，也可以求出相似比；（3）首先利用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，然后就可以用t表示梯形PMBN与梯形PQDA的面积，根据已知可以得到关于t的方程，最后就可以根据t与a的关系式就可以讨论t的取值范围了；（4）根据（3）已经得到t的取值范围，再根据梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等得到关于t的方程，求出t，再求出a，这样就可以判断a的值是否存在．解答：解：（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=4﹣1=3， ∵PM∥BN ∴△ANB∽△APM， ∴∴，．（2）当t=2时，使△PNB∽△PAD， ∴∵∴，，这样就可以求出t，相似比为2：3．

（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，△AMP∽△ABN， ∴即，∵，， ∵PQ=3﹣当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即化简得∵t≤3， ∴，则a≤6，， =， ∴3＜a≤6．（4）∵3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等， ∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM， ∴（a﹣t）=3﹣t，两边同时乘以a，得at﹣t=3a﹣at， 2整理，得t﹣2at+3a=0，把代入，整理得9a﹣108a=0， 232∵a≠0，∴9a﹣108=0， ∴a=±2，所以a=2．所以，存在a，当a=2时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．点评：此题综合性比较强，考查了相似三角形的性质与判定，梯形的面积公式，列方程解方程等知识． 28．（10分）（2007•武汉）填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直线AE、BD交于点F．（1）如图①，若∠BAC=60°，则∠AFB= 60° ；如图②，若∠BAC=90°，则∠AFB= 45° ；（2）如图③，若∠BAC=α，则∠AFB= 90°

（用含α的式子表示）；

（3）将图③中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A、B重合），得图④或图⑤．在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是∠AFB=90°

；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是 ∠AFB=90°+

．请你任选其中一个结论证明．

考点：旋转的性质；三角形内角和定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；探究型．分析：（1）由题意易得△ABC∽△EDC，进一步证得△BCD∽△ACE，进而可得∠AFB=∠CBD+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=60°，同理可得，∠AFB的大小；（2）同（1）的证明可得；（3）图四，由前面步骤可得∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB=90°图5，与前面步骤相同，可求得∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED，代入数据求大小．解答：解：（1）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°， ∴△ABC∽△EDC， ∴∠CBD=∠CAE， ∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD =180°﹣∠BAC﹣∠ABC =∠ACB， ∴∠AFB=60°，同理可得：∠AFB=45°；（2）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED， ∴△ABC∽△EDC， ∴∠ACB=∠ECD，，；∴∠BCD=∠ACE， ∴△BCD∽△ACE， ∴∠CBD=∠CAE， ∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD， =180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB， ∵AB=AC，∠BAC=α， ∴∠ACB=90°﹣∴∠AFB=90°﹣，．．故答案为：∠AFB=90° （3）图4中：∠AFB=90°

；

图5中：∠AFB=90°+∠AFB=90°．的证明如下： ∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED， ∴△ABC∽△EDC， ∴∠ACB=∠ECD，， ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BCD∽△ACE， ∴∠CBD=∠CAE， ∴∠AFB=180°﹣∠CAE﹣∠BAC﹣∠ABD， =180°﹣∠BAC﹣∠ABC=∠ACB， ∵AB=AC，∠BAC=α， ∴∠ACB=90°﹣∴∠AFB=90°﹣ ∠AFB=90°+的证明如下：，． ∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED， ∴△ABC∽△EDC， ∴∠ACB=∠ECD，， ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BCD∽△ACE， ∴∠BDC=∠AEC， ∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF， =∠CDE+∠CED=180°﹣∠DCE， ∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α， ∴∠DCE=90°﹣，）=90°+． ∴∠AFB=180°﹣（90°﹣点评：根据图形旋转的变化规律，探究两个角之间的数量关系．本题突出考查从特殊与一般的数学思想和实验研究的能力，让学生经历了动手操作、观察猜想、合情推理、归纳证明等全过程． ©2010-2014 菁优网

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2014年6月17日

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