【书城】2017年高考通关讲练高考数学(理科)课标通用第3辑：一、导数的概念及几何意义.doc

一、导数的概念及几何意义

考纲要求

1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 命题规律

导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式考查，有时也会出现在解答题中的关键一步．

1．导数的定义：f(x)limyf(x+x)f(x)lim.

x0xx0x2．导数的几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数fx0就是曲线yf(x)在点

(x0,f(x0))处的切线的斜率k，即kf(x0).

3．基本初等函数的导数公式

函数 f(x)＝C(C为常数) 导数 f(x)＝0 f(x)=xn(nN*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)=nxn1(nN*) f(x)=cosx f(x)=sinx f(x)ax(a>0且a1) f(x)ex f(x)logax(a0且a1) f(x)＝ln x f(x)axlna(a>0且a1) f(x)ex f(x)=1xlna(a0且a1) 1f(x)= x

求函数y=【答案】1在x1处的导数. x1 2【解析】记f(x)=11，则yf(1x)f(1)=1

1xx11x11x11xx， 1x1x11x1x(11x)y1， =x1x(11x)∴limy11=lim=.

x0xx01x(11x)21. 2∴y|x1【考点定位】导数的概念.

【方法规律】由定义求导数的方法及解题思路：（1）导数定义中，x在x0处的增量是相对的，可以是∆x，也可以是2∆x，解题时要将分子、分母中的增量统一；（2）导数定义x0limf(x0+x)f(x0)f(x)f(x0)=f(x0)等价于lim=f(x0)；（3）求函数y=f(x)在x=x0处的xx0xxx0yf(x0x)f(x0)；③xx导数的求解步骤：①求差：yf(x0x)f(x0)；②求比：f(x0)limy. x0x一质点运动的方程为s83t2.

（1）求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）. 【答案】（1）63t；（2）6.

【解析】（1）∵s=8−3t2，∴∆s=8−3(1+∆t)2−(8−3×12)= −6∆t−3(∆t)2，

∴v=s63t. tslim(63t)6.

t0tt0（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度v=lim求导法：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)(83t2)6t，当t=1时，v=−6×1=−6. 【考点定位】求导的步骤及导数的概念. 【名师点睛】导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系.对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系.根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，应按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求. x若曲线f(x)＝2sin x(x∈[0,π])在点P处的切线平行于曲线g(x)＝2x·(＋1)在点Q处3的切线，则直线PQ的斜率为 A．1 【答案】C

【解析】f(x)＝2cos x，x∈[0,π]，∴f(x)∈[−2,2]，g(x)当x＝1时，等号成立，

设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则由题意知，2cosx1B．18 C． D．2 32x12，当且仅xx21， x2∴2cosx12且x21=2， x28yy18，∴kPQ2. 3x2x13∵x1∈[0,π]，∴x1＝0，∴y1＝0，x2＝1，y2＝【考点定位】导数的几何意义.

【名师点睛】设出切点是本题解题的关键，再利用导数的几何意义进行求解即可．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0＝f ′(x0)(x−x0)；(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y−f(x1)＝f ′ (x1)(x−x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y−f(x1)＝f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．

1．过曲线yf(x)x上一点(2，2)及邻近一点(2x,2y)作割线，则当1xx0.5时割线的斜率为

125 B． C．1 D． 333f(1x)f(1x) 2．已知函数f(x)在x1处的导数为1，则limx03x2A．3 B．

313C． D．

32A．3．设曲线y＝ax−ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝

A．0 B．1 C．2 4．曲线y＝e−5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.

5．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3−10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________. 6．设点P是曲线y＝x3−3x＋

D．3

2上的任意一点，且该曲线在点P处的切线的倾斜角为α，3参考答案

则角α的取值范围是________.

1．B 【解析】

2x(2)yf(2x)f(2)121(2x)limlim=limlim.故Bx0.5xx0.5x0.5x0.51xxx3正确.

f(1x)f(1x)2f(1x)f(1x)2lim=.

x03x32x02x313．D 【解析】y′＝a−，当x＝0时，y′＝a−1＝2，∴a＝3，故选D.

x12．B 【解析】lim4．5x＋y−3＝0 【解析】由y＝e−5x＋2⇒y′＝−5e−5x⇒切线的斜率k＝y′|x=0＝−5，于是切线方程为y−3＝−5(x−0)⇒5x＋y−3＝0.

5．(−2,15) 【解析】由C：y＝x3−10x＋3，得y′＝3x2−10＝2，即x2＝4，又切点在第二象限，∴ x＝−2，y＝15,即点P(−2,15).

6．[0,)[π22ππ,π) 【解析】y′＝3x2−3≥−3，∴ tan α≥−3，由0≤α＜π且α≠，结32π22π,π). 3合正切函数图象可得α的取值范围为[0,)[

1．导数的几何意义

函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f (x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f ′(x0)．

2．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P(x0, y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

求切线方程时忽略导数的几何意义 已知曲线f(x)x上的一点P(0,0)，求曲线在点P处的切线方程.

【错解】切线不存在.

11f(x)x2,因为f ′(0)不存在，所以曲线f (x)在点P处的切线不存在.

2【错因分析】错解中误认为曲线在点P处的导数不存在，则曲线在该点处的切线不存在.

【正解】

f(0x)f(0)x1，根据切线的定义，当Δx→0时，割线的xxxπ，斜率不存在，故曲线在点P处的切线为y轴，即切线方程为x=0. 2倾斜角无限逼近于

【归纳总结】在求曲线上某点处的切线方程时，要注意区分切线、切线的斜率和该点处的导数这三者之间的关系，函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件.因此，在求曲线在某点处的切线方程时，如果导数不存在，可由切线的定义来求切线方程.

求切线方程时混淆“某点处”和“过某点” 已知曲线f(x)2x33x，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，求切线的方程. 【错解】y＝−3x+32.

因为f(x)6x23，所以切线的斜率k＝f ′(0)＝0−3＝−3.所以切线方程为y＝−3x+32.

【错因分析】错解中没有验证点M与曲线的位置关系，而是直接把它当作是曲线上的切点.

【正解】显然点M不在曲线 f (x)上，设切点坐标为N(x0,2x033x0)，又f ′(x)＝6x2−3，所以切线的斜率kf(x0)6x023，所以切线方程为y(6x023)x032.又点N在切线上，所以有2x033x0(6x023)x032,解得x0=2.故切线方程为y＝21x+32. 

【易错警示】在求曲线y=f(x)的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线f(x)的图象上）的切线方程，前者的切线方程为y−f (x0)=f ′(x0)(x−x0)(切点(x0,f (x0))，后者一般先设出切点坐标，再求解.

有一位国外的学者（搞数学研究的）到我们学校访问，住在学校外宾招待所。

他要走的时候，我问他对我们学校的印象如何。

他说：“你们学校的招待所太差了，以后再也不敢住了！”

我急忙问其原因，教授说道：“那吃饭的碗，碗口处处不可导，这哪是给人用的！” 我听了，大笑，这教授比喻得还真形象！ 虽说是笑话，但是能加深对连续、可导概念的理解哟.