【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练7 函数与导数 理

(建议用时30分钟)

1．曲线y＝x－2x在(1，－1)处的切线方程为( ) A．x－y－2＝0 C．x＋y－2＝0

B．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0

3

2

3

解析：选A.由已知，得点(1，－1)在曲线y＝x－2x上，所以切线的斜率为y′|x＝1＝(3x－2)|x＝1＝1，由直线方程的点斜式得x－y－2＝0，故选A. 12

2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )

2A．(－1,1] C．[1，＋∞)

B．(0,1] D．(0，＋∞)

1

解析：选B.由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0x所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]．

3．已知函数f(x)＝x－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( ) A．1 C．0

2

2

2

B．2 D.2

解析：选B.∵函数f(x)＝x－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.

2

又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.

4.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )

aax2

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：选B.依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，

x3，x4，当a0；当x15．(2015·哈六中模拟)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d(b，c，d为常数)，当x∈(0,1)时，

3

2

1

22

f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，f(x)取得极小值，则b＋＋(c－3)的取值范围是( )

2



1

A.C.

37

，5 237，25

4

2

B．(5，5) D．(5,25)

解析：选D.因为f′(x)＝3x＋2bx＋c，f′(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以

c>0，f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，即3＋2b＋c<0，

12＋4b＋c>0，

1

作出可行域如图中阴影部分所示(不

b＋12＋(c－3)2表示可行域内一点到点P－1，3的距离的平方，

包括b轴)，由图象可知，22

P－，3到直线3＋2b＋c＝0的距离最小，即b＋2＋(c－3)2的最小值为22







1

|3－1＋3|2

＝5

19122

5，P－，3到点A－，6的距离最大，此时b＋＋(c－3)＝25，因为可行域的临界线

222

为虚线，所求范围为(5,25)，故选D.

6．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e·f(x)>e＋1的解集为( ) A．{x|x>0}

C．{x|x<－1，或x>1}

xxxxB．{x|x<0}

D．{x|x<－1，或0xxxx解析：选A.构造函数g(x)＝e·f(x)－e，因为g′(x)＝e·f(x)＋e·f′(x)－e＝e[f(x)＋f′(x)]－e>e－e＝0，所以g(x)＝e·f(x)－e为R上的增函数．又因为g(0)＝e·f(0)－e＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.

7．(2015·高考福建卷)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足

0

xxxxx0

f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )

11A．f<

kkC．f

11 B．f>

kk－1

D．f

1<1

k－1k－11>k k－1k－1

2

解析：选C.构造新函数并求导，利用函数单调性求解． 令g(x)＝f(x)－kx＋1，则g(0)＝f(0)＋1＝0，

gf

1＝f1－k·1＋1＝

k－1k－1k－11－1. 

k－1k－1

11>g(0)＝0， >0，∴gk－1k－1

∵g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在[0，＋∞)上为增函数． 又∵k>1，∴∴f

1－1>0，即f1>1.

k－1k－1k－1k－1

xx∴C一定错误．

8．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e·f(x)>e＋1的解集是( ) A．{x|x>0} C．{x|x<－1或x>1}

xxB．{x|x<0}

D．{x|x<－1或0xxx解析：选A.构造函数g(x)＝e·f(x)－e－1，求导得g′(x)＝e·f(x)＋e·f′(x)－e

x＝e[f(x)＋f′(x)－1]．由已知f(x)＋f′(x)>1，可得g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e·f(0)－e－1＝0，e·f(x)>e＋1，所以g(x)>0的解集为{x|x>0}． 9．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为( ) A．33 C．26

B.3 D．23

2

0

0

xx解析：选D.设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a＋＝9，即a＝9－，那么正

4433h33hh39－h＝六棱柱的体积V＝6×a2×h＝·－＋9h，令y＝－＋9h，则y′4224443h＝－＋9，令y′＝0，得h＝23.易知当h＝23时，正六棱柱的体积最大．

410．如图所示，曲线y＝x－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为( )

2

2

2

3

3

h2

2

h2

A.2|x－1|dx

2

0

3

B．|2(x2－1)dx|

0

C.2(x2－1)dx

00

D.1(x2－1)dx＋2(1－x2)dx

1

解析：选A.由曲线y＝|x－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图图形的面积相等，即2

2

0

|x－1|dx，选A.

2

11．(2015·武汉调研)设函数f(x)＝x－4x＋a,03

A．x1>－1 C．x2>0

B．x2<0 D．x3>2

3

解析：选C.函数f(x)的零点就是函数g(x)＝4x－x的图象与直线y＝a的交点的横坐标．而2323232

g′(x)＝4－3x，令g′(x)＝0得x＝±，所以g(x)在－∞，－，，＋∞上

333单调递减，

2323232323

在－，上单调递增，注意到03，

33

结合选项知应选C.

1f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为( )

12.已知函数y＝2

A．(－∞，1)

B．(－∞，0)和(2，＋∞) C．R

D．(1,2)

4

1x1f′(x)<1，

解析：选B.因为函数y＝是R上的减函数，所以f′(x)>0的充要条件是0<

22

f′(x)

f′(x)<0的充要条件是f′(x)>1.由图象，可知当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，0<<1，

22

1

2

1

即f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)． 13．(2015·高考湖南卷)ʃ0(x－1)dx＝__________. 解析：利用微积分基本定理直接计算．

122122ʃ0(x－1)dx＝x－x|0＝×2－2＝0.

22

答案：0

14．已知函数f(x)＝mx＋nx的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若

3

2

f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．

解析：由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上， 故－m＋n＝2.①

又f′(x)＝3mx＋2nx，则f′(－1)＝－3， 故3m－2n＝－3.②

联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x＋3x， 令f′(x)＝3x＋6x≤0，解得－2≤x≤0， 则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0， 所以t∈[－2，－1]． 答案：[－2，－1]

1x15．(2015·高考陕西卷)设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切

2

3

2

2

x线垂直，则P的坐标为________．

解析：利用导数表示切线斜率，根据切线垂直列方程求解．y′＝e，曲线y＝e在点(0,1)1110

处的切线的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－2(x>0)，曲线y＝(x>0)

xxxxx1

在点P处的切线斜率k2＝－2(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，

m则点P的坐标为(1,1)． 答案：(1,1)

12

16．设函数f(x)＝ln x－ax－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为

2__________．

1

解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.

x 5

1

∴f′(x)＝－ax＋a－1

x－ax＋1＋ax－xax＋1x－1＝＝－.

2

xx①若a≥0，当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以x＝1是f(x)的极大值点． ②若a<0，由f′(x)＝0， 得x＝1或x＝－1a.

因为x＝1是f(x)的极大值点， 所以－1

a>1，解得－1综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞)

6