函数--经典例题

（2） 函数与点关于直线对称 （3） 二次函数定义域值域相等 （4） 下翻上图象问题。 （5）抽象函数不等式问题：

定义在[0，正无穷）上的函数f(x)满足 （1） f(xy)=f(x)+f(y) （2） f(2)=1 （3）当x>y时，f(x)>f(y) 求1. f(1):f(4)

2. f(x)+f(x-3)<2时，求X的取值 一类典型问题。

1，f(21)f(2)f(1)f(1)0 令xy2f(4)2f(2)2

2，这种抽象函数不等式，一般都是利用函数单调性来解，就是将两边都弄成只有一个f，然后去掉就只剩下括号内的大小关系了。

目标明确，开始做，f(x)f(x3)f[x(x3)]合成一个f，右边是个数，呵呵，前面已经知道f(4)2所以原不等式就是f[x(x3)]f(4)，又因为条件3告诉我们函数是定义在[0,)的增函数，所以

x(x3)43x4 f[x(x3)]f(4)既等价于x0x30（高度注意大括号下面两个大于0，是因为函数定义于要求。很容易掉） （6）设定义域为R的函数f(x)= lgx1, x≠1

0, x=1 ,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 [答]( )

(A)b<0且c>0 (B) b>0且c<0 (C)b<0且c=0 (D)b≥0且c=0

难得写过程呀，首先第一你要知道最后一个方程的根是怎么来的，是先有二次方程

t2btc0解出了t1,t2再令f(x)t1,f(x)t2解出来的x才是根，那么几个根我们先来看看f（x）图象，

自己画了哈。先将对数函数图象舍左保右（既，舍弃左边的保留右边的就变成了lgx，再向右移动一单位得

，在最后下翻上得到lgx1的图象，lgx1的图象。

注意哪个A点，

是函数x=1时的点，所以图象上看，要交出七个点的话，那两根粗线也就是yt1,yt2一定要一个等于0，一个是正数，所以tbtc0一0一正根，所以b0,c0 （7）数型结合解决一个看似实根分布的问题。

f(x)=x^2+ax+a+1=0 在[0，2]上有唯一解，

2此问题等同于说x1a(x1)在[0,2]只有一个解，就是说抛物线和直线在[0,2]部分的图象只有一个公共点。

看图说话，那几个极限位置的斜率两个是由直线过的点（0，1）一个为1，（2，5）一个为

25，还有一个就是相切，自己联立判别市为0得222。 3所以很容易知道a222a222 或1a55a1 33我想说这感觉才最淋漓

（8）图象法解决方程根的个数 （9）函数周期性和奇偶性结合。

f (x)是定义在R上的偶函数,g (x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2006)的值为

（10）图象看根个数，4次方程 （11）函数不等式结合。

（12）一函数最值，利用奇偶性。 （13）图象解决根的个数 （14）求证2次方程根的分布

（15）定义法证明函数单调性及超越方程无根的说明一题。 教我做下这题，谢谢啊

已知函数f﹙x﹚=（a∧x）+（x-2）/(x+1)（a>1） （1） 证明：函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数 （2） 用反证法证明方程f(x)=0没有负数根

（16）一类常见的

抽象函数不等式求解

（17）数型结

合解一不等式知解求参数问题。

（18）分段函数讨论求最值 设a为实数,函数f(x)=x²+∣x-a∣+1,x∈R,求f(x)的最小值. （19）数型结合解决一图像交点个数问题（数型互换）

已知函数f(x)=x的绝对值/（x+2）与f(x)=kx2有四个交点,求k的取值范围

|x|kx2有四个解，因为x=0一定是一个解。 x2|x|当x0时，原方程既为2k(x2)要有三个解。

x|x|既图像y2与图像yk(x2)要有3个交点。

x|x|下面画图了，注意y2的图像是个分段函数。要

x1有3交点，则如图的极限位置是直线与y要相

xk=1，故k1

（20）二次函数两次跌带不动点问题

已知f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)且方程f(x)=x无实根，下列命题中

①方程f[f(x)]=x也一定没有实数根；

②若a>0，则不等式f[f(x)]>x对一切实数x都成立。

③若a<0,则必存在实数x0,使f[f(x0)]>x0。

④若a+b+c=0，则不等式f[f(x)]正确命题的序号是：

由题知，f(x)要么恒大于x，要么恒小于x。

当a>0时，f(x)x就要恒成立，所以令xf(x)也要成立，所以有f(f(x))f(x)x 同理可判断a<0时，则f(x)x要恒成立，所以f(f(x))f(x)x恒成立，

与yk(x2)切，得到此时的

当a+b+c=0即f(1)01，则可判断必须是f(x)x，则f(f(x))f(x)x恒成立，所以4也对。 综上，1，2，4对。

（21）08江西卷二次函数最小值讨论

已知函数f(x)2mx2(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是

2A． (0,2) B．(0,8) C．(2,8) D． (,0)

题意弄清楚，表示的是二次函数和一次函数至少有一个为正。突破口是那个直线，因为一定是一半正，一半负。 考虑若m<0，则二次函数开口向下，且直线当x<0时为正，x>0时为负，所以在x>0时二次函数就必须为正，但是一个开口向下的二次函数不可能在(0,)恒正，所以要不得， 同理m=0时也不行。

则m>0。对于直线，在(0,)时已经为正，故只需要二次函数在(,0]必须为正，

则要求f(x)2mx2(4m)x1在(,0]的最小值为正。含参二次函数求最值的问题来了。对称轴为

24m 2m4m当0时，即m4时，

2mxf(x)22mx2(4m的x)最小1值在顶点取为

8m4(4m)202m8，所以4m8

8m4m0时，即0m4时，f(x)2mx22(4m)x1的最小值为f(0)1为正 2m综上，0m8

当

（22）抽象函数，求和。

这种求和无外乎就是倒序加或者两两组合分组求和法，找出相加的规律就行。 注意到最后凑的那个题目多给的f(因为

这个头一开，那么这个f(1)实际上就是拿来起个头的。 n2111)一和又会出来个)再和倒数第三个数f(f()，依次下去。2(n1)3(n1)1n1n倒起加完最后到f()那里就是

（23）图象法解决一对数方程根的分布（二次方程结合）

原题既是y4x4ax的图象与l：y4xa1的图象在x轴上方部分只有一个公共点。 边看图边说话。

当a《0时，y4x4ax的对称轴在y轴右侧，x轴上方就是两段曲线，此时的y4xa1纵截距也非负，这样一来，不管直线怎么动，都一定会和那两段一段交一个点，所以

a>0．

看图说话，

显然我的l只能界于1，2两直线之间，还有就是3直线。

2215a11aa 45另外，l不能低于2直线，否则的话l和右边那段在x轴上部要么就没有交点，要么就有两交点。故l的纵截距

11-a>0则a<1故有a1

5又3直线的位置也是满足条件的直线，令l与抛物线相切得到a=2，但是此时切点横坐标为-1/2，该点不在x轴上

故直线l和x轴的交点要》-a，既部。

综上，

1a15

（24）分段周期函数、方程有解、图象法。 (25) 一个二次函数恒成立,思路巧妙

额,不妨假设f(x)ax,显然这个可以表示开口向上的首项系数为a的任意抛物线

211即可==>a

44111若区间不含原点,不妨假设在右边,则f(x)f(x2),x[2,)恒成立=>a(x1)a 综

44161上,a

4则若区间含原点,则由对称性,满足f(1)-f(0)(26)一个函数零点,递推,复合函数单调性

(27) 一个恼火的二次函数平移加不等式恒成立

什么意思呢,相当于就是能够将f(x)通过平移使得平移后的图像在区间[1,m]内的部分要处于直线的下方. 下边先做好基础图像如下.

注意这三个二次函数,把f(x)平移到g(x)位置后,很明显此时的m是由g(x)与直线的交点A的横坐标来确定的，是此时的最大值，若再将g（x）往右平移，交点的横坐标会继续增大， 但是注意那条粗的二次函数，也就是h（x），此时在x=1处已经和y=x在x=1重合，如果再往右平移的花这个点一定会跑到直线上方去，所以f（x）往右最多平移到h（x）处， 此时B点横坐标4为m的最大值。

另解:

(28)二次函数值域包含关系求参数

解:等同于说f(x)的值域包含于g(x)的值域.

易得f(x)值域为[-1,1/2],则要求g(x)=x-2ax+4在[1,2]内的值域包含[-1,1/2] 常规思路肯定避免不了对二次函数最值的讨论. 现在换一个角度.

相当于说在[1,2]内存在x使得g(x)?21，且存在x使得g(x)³1 25)min=9 2即存在xÎ[1,2]使得x-2ax+4?21成立，即2a?(xxx且存在xÎ[1,2]使得x?[1,2]9 422ax+4?1成立即2a?(x279)max= 2x2综上a=(29)11年重庆10题,看似实根分布

设m，k为整数，方程mxkx20在区间（0,1）内有两个不同的根，m+k的最小值为 （A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13 法一：即mx+22x=k在(0,1)有两个根 2若m为负,显然mx+x在(0,1)严格单调,所以m为正数。那就好办了.

由倒和函数图像性质可知,y=k与y=mx+2x能在(0,1)交出两点的冲要条件是

ìï2ïï<1?m2ï,那么现在只需要满足(22m,m+2)之间存在整数即可, ímïïïïî22m法二：前面同法一：接上

ìï2ïï<1?m2ï,那么现在只需要满足(22m,m+2)之间存在整数即可, ímïïïïî22m1?(30)实根分布判断函数值大小

m3+22，所以m》6，当m=6时，k=7

g(x)=x2+ax+2a+b=0在(-1,1)上有两根-1换个说法,把f(x)往左移2个单位,就是

g(-1),g(1)与1的大小问题.

设g(x)=(x-x1)(x-x2),

g(1)=(1-x1)(1-x2)g(-1)=(x1+1)(x2+1)

若两根都为正,则显然g(1)<1,g(-1)>1 若两根都为负,则显然g(1)>1,g(-1)<1 若一正一负,则

此时至少一个要比1小. 综上:选B.