数学与应用数学

一、 填空题

1.若AC,BC，则AB_____C.

2.若A{a,b}，则2A_______.

3.设f:XY，若f(X)Y，则称f为从X到Y上的 .

4.若复数x0是某个整系数多项式方程的根，则称x0是数.

5.设f(x)1nxn，则f(x)ln(_____). n16.设函数f(x)定义在开区间(a,b)内，对于

x1,x2(a,b),(0,1)，有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)，则称

f(x)是(a,b)内的 函数.

7若AB,AC，则A_____BC. 8.若A{甲,乙}，则2A_________.

9.设f:XY，若x1,x2X,x1x2，有

f(x1)f(x2),则称f为从X到Y上的 .

10.含有 的等式叫做函数方程. 11.

设

f(x)(1)n1，

则

n12n1)!x2n1(f(2)__. ___12.设函数f(x)定义在开区间(a,b)内，对于

x1,x2(a,b),(0,1)，有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)，则称

f(x)是(a,b)内的 函数.

13．A(BC)(AB) 。 14

．

设

f:XY,AX,BX，则

f(AB)____f(A)f(B)。

15．设E是非空实数集，supE当且仅当

1） ，2）0,x0E有x0。

二、单项选择题

1.设f:XY，AX，有A()f1(f(A)). A.  B.  C.  D.  2. 设R是X中的关系，若RR1，则称R为

（ ）

A. 反身的 B. 对称的 C. 反对称的 D. 传递的 3.

X是一集合，对于A,B2X，规定

ABAB,则(2X,)是一（ ）.

A. 全序集 B. 半序集 C. 有序

域 D. 序完备集

4. 集合Xa,b,c,d，则（ ）

A. X B. aX C.

aX D. aX

5. 函数f(x)在开区间(a,b)内可导，则f(x)在开区间

(a,b)内（ ）.

A. 有界 B. 连续 C. 导数有界 D. 有任意阶导数

6.设f(x)是(a,b)内充分光滑的严格下凸函数，则（ ）

A. f(x)在(a,b)内必取到最小值 B. f(x)在

(a,b)内必取到最大值

C. f(x)在(a,b)内有f(x)0 D. 前三个

结论都不对

7.设f:XY，BY，有B()f(f1(B)).

f2(x)sin2xcos2x，它们之间的关系

是（ ）

A．相等 B． 不相等 C．线性无关 D．相似

三、计算题

A.  B.  C.  D.  8自然数集N，是（ ）

A. 有限集 B. 可列集 C. 不可列集 D. 空集

9设f(x)定义在(a,b)上，x0(a,b)是f(x)的极小值点，则（ ） A.

f(x0)0

B. x(a,b)有f(x)f(x0)

C. 0, 当xx0时，有f(x)f(x0) D. f(x0)0

10.设P(x,y)是二元函数，且yf(x)使得

P(x,f(x))0，则函数f(x)是（ ）

A.有理函数 B. 无理函数 C. 代数函数 D. 超越函数

11.设f(x)是(a,b)内的严格上凸函数，则（ ） A. f(x)在(a,b)内必取到最大值 B. f(x)在(a,b)内必取到最小值

C. f(x)在(a,b)内有f(x)0 D. 前三个结论都不对

12. f(x)在(a,b)内连续可导，且x0(a,b)，使得

f(x0)0，则x0是（ ）

A. 稳定点 B. 极值点 C. 拐点 D. 临界点 13．f:XY，当f（ ）时，AX，有

f1(f(A))A

A．连续 B．可导 C．是满射 D．是单射 14．按教材中定义，0是（ ） A．自然数 B．整数而不是自然数 C．奇数 D．超越数

15．定义实数集R上的两个函数f1(x)1与

1.设zabi(xiy)(xiy)，求z 2.设f(2x)x2sinx，求f(x) 3.求函数f(x)1sinx2sinx的极值

4.已知an888(n重根号），求nliman 5设annn10,a20,a30，求limnna1a2a3.

6.已知yf(x)的曲线经过点(2,3)，且曲线上任意点的切线的斜率是该点横坐标的2 倍，求f(x). 7.已知x2xy4y2，求

dydx. 8.已知2f(2x)f(x)3x6，求f(x). 9．设

z1与z2是两个复数，求

zz222212z1z22(z1z2)，并说明几何意

义.

10．已知f(x)11x，求f(f(f(x))). 四、证明题

1.证明（1）A(BC)(AB)C （2）(AB)C(AC)(BC) 2.证明 设数集A与B均有上界，则集合

AB{xyxA,yB}有上界，且

sup(AB)supAsupB

3.证明 设x0,y0,xy,n1，有

12n(xy)n12(xy)n 4.证明 设f(x)是从[0,1]到[0,1]的连续函数，则存在点

5. x0[0,1],使得f(x0)x01）（ ）；

2）对于a0,a1,有(a)1,则(x)是以a为底的对数。

5．若函数s(t),c(t)是定义在R上的连续函数，且满足：

5设f(x)定义在R上，对于任意的x1,x2，有

f(x1)f(x2)(x1x2)2，则f(x)是常值函数.

6.证明（1） A(BC)(AB)(AC) (4分)

(2) (AB)(CB)(AC)B （4

分）

7.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且x1,x2,,xn皆属于[a,b]，则至少存在一点[a,b]，使得

1）（ ）；

2）0，当t(0,)时，c(t)0,s(t)0； 3）c(0)s()1,则分别称s(t),c(t)是正弦函数与余弦函数。

6．设F为从集合X到集合Y中的关系，若xX,有唯一的yY，使（ ），则称F为（从X到Y中的）映射。

7、集合X中满足（ ）的二元关系称为序关系。

8.

设

8、设E是非空数集，若存在实数，满足：1）xE,1f()[f(x1)f(x2)f(xn)]n有x；2）0,x0E，有（ ），则称是

数集E的上确界。

x0,y0,xy,xyxlnxylny 2证明

9、函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，设在x0处的改变量是x，相应的函数改变量

(xy)lny=f(x0x)f(x0)，若limf(x)在点x0（ ）。

9．R1,R2是集合A中的两个等价关系。证明：若R1R2是等价关系，则R1R2=R2R1。

y存在，则称函数

x0x10、若f(x)是定义在R上的非零连续函数，且满足方

10．证明方程x2x4x60在(1,1)内有且仅有一实根。

程（ ），则称f(x)是指数函数。 11、函数c(t)是R上的连续函数，且满足：

52分析学》练习题二

一、 填空题

1．集合X中的关系R同时为反身的、对称的、（ ），则称关系R为等价关系。 2．一个集合若不能与其一个真子集建立一个（ ），则称该集合为有限集。

3．函数f(x)在点a的邻域内有定义，若（ ），

1）（ ）；

2）c(t)0有最小正根；

3）c(0)0，则分别称c(t)是余弦函数. 12、既上凸又下凸的函数是f(x)（ ）. 13．致密性定理是：有界数列{xn}必

则称函数f(x)在点a处连续。

4．设(x)是从(0,)到R上的连续函数，满足：

有 。

14．对于x0，令L(x)x1dt，则对于x0,y0，有界

1t有L(xy)_________。

15．设

f(x)(1)n1n)!x2n，则

n0(2f()_____。 ______

二、单项选择题 1．ABB()A.

A．= B．  C． D． 2．实数集R是（ ）

A．有限集 B．可列集 C．不可列集 D．空集 3．f是从X到Y的映射，且AX，BX，则

f(AB)()f(A)f(B)

A．= B．  C． D．

4．函数f(x)xsin1,x0在点x0,x处（ ）0x0A．间断 B．连续 C． 可导 D．取得极小值 5．函数f(x)与(x)在[a,b]上有界，且(x)0，

则f(x)(x)在[a,b]上（ ）。 A．有界 B．无界 C．有下界而无上界 D．结论不定

6．下面结论（ ）是正确的。

A．若f(x)是单调函数，x(t)也是单调函数，则

(f)(t)是单调函数。

B．若f(x)在数集A上可导，且f(x)有界，则f(x)在

A上有界

C．若f(x)是周期函数，x(t)，则(f)(t)是周期函数

D．若f(x)在数集A上有界且可导，则f(x)在A上

7、(AB)B()A 。

A．= B．  C． D． 8、复数集C是（ ）。

A．可以成为有序域 B．不能成为有序域 C．不能成为有序集 D．前三个结论都不对

9、f是从X到Y的映射，且AX，BX，则

f(AB)()f(A)f(B)。

A． B． C． = D．

10、函数f(x)xsin1,x0，在点x0处x0,x0（ ）。

A．可导 B．连续 C．间断 D．前三个结论都不对

11、函数f(x)在开区间(a,b)内连续，则（ ）正确。

A．f(x)在(a,b)内有界 B．f(x)在(a,b)内可导

C．f(x)在(a,b)内取得极值 D．前三个结论都不对

12、函数f(x)定义在区间(a,b)内，且在点x0(a,b)处连续，则结论（ ）正确。

A． f(x)在点x0的某个邻域内有界 B． f(x)在(a,b)内有界

C． f(x)在点x0处可导 D．f(x)在点x0处取得极值.

13．设f(x)是其定义域内的严格单调增加函数，则（ ）

A．f(x)不一定有反函数； B．f(x)有连续的反函数；

C．f(x)有反函数且反函数严格单调增加； D．f(x)有反函数且反函数严格单调减少。 14．设f(x)是其定义域内可导，则（ ）.

A． f(x)在其定义域内有界； B．f(x)在其定义域内有界 C．1f(x)在其定义域内有界 D．前三个结论都不对

15．设SRn是一非空有界闭凸集，f:SR是严

格下凸函数，x0S是极小值点，则（ ）.

A．x0是最小值点. B．x0不一定是最小值点

C．还可能有其他的极小值点 D．前三个结论都不对

三、计算题

1．求过抛物线y4x23上的点M(2,19)的切线方程。

2．已知2f(x)f(1x)3x，求f(x)。 3．已知x0，y0，xy2，求sinxsiny的

最小值。

4．若aib(xiy)(xiy)((x,y)(0,0))，求

ab。 5、求过椭圆

x218y22281上的点M(3,2)的切线方程。 6、已知f(x)11x，求f(f(f(x)))。 7、已知zz1z21与z2是复数，且z1z21，求1z 。

1z28、已知x0,y0，且xy2，求cosxcosy的最大值。

9．求a为何值时，f(x)1x2ax是严格单调增加函数？.

10．在第一象限内有定点A(a,b)，过点A做线段MN，点M在X轴的正半轴上，点N在Y轴的正半轴上，O

为坐标原点。求点M与点N的坐标各为多少时MON的面积最小，最小面积是多少？.

四、证明题

1．设有映射f:AB,g:BC，证明： （1）若gf是满射，则g是满射．

（2）若gf是满射，且g是单射，则f是满射．

2．若f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处也连续．3．证明：方程x52x24x60在区间(1,1)内有且仅有一个实根。

4．证明f(x)xsinx不是周期函数。

5、设有映射f:AB,g:BA，若对于任意的

aA，有(gf)(a)a，则f是单射，g是满射。6、若f(x)在[a,)上连续，且xlimf(x)1，则f(x)在[a,)上有界。 7、证明：两个多项式

f(x)a0xna11xnan1xan,

(x)bm10xb1xmbm1xbm

在区间(a,b)内相等（f(x)(x)）当且仅当

nm,a0b0,a1b1,,anbn

8、证明：若x0，则x12x2ln(1x)x 。 9．证明：当x0时，有x12x2ln(1x)x.

10．设A,B,C为三角形三内角，则

siAnsiBnsiCn323.