第１１卷第３期 ２０１２年５月 杭州师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈａｎｇｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｆｕｒａＩ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＶｏＬ１１ ＮＯ．３ Ｍａｙ ２０１２ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４—２３２Ｘ．２０１２．０３．０１２ 全变换半群的奇异部分的自同态 黄丽丽，杨秀良 （杭州师范大学理学院，浙江杭州３１００３６） 摘 要：文章通过对同态核的讨论和研究来刻画有限全变换半群的奇异部分的所有自同态，从而对全变换 半群的理论进行有效补充． 关键词：同态；同态核；同余 中图分类号：Ｏ１５２．７ ＭＳＣ２０１０：４３Ａ２２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—２３２Ｘ（２０１２）０３—０２４９—０６ ０ 引 言 集合Ｘ上所有全变换构成的集合称作ｘ的全变换半群，记作 ．集合ｘ上所有置换构成的集合称作 ｘ的置换群，记作＆．其运算均为映射的合成（本文规定合成运算从右到左进行）：对任意的 Ｅ Ｘ，都有 ｇｏｔ（ｘ）一ｇ（￡（．ｚ））．为简化记法，可将ｇｏｔ记作ｇ ．全变换半群是半群理论中很重要的一部分，它的许多性 质已被前人所研究．如Ｓｃｈｒｅｉｅｒ＿１ 得到这样的结果：设 是由定义在Ｘ上的所有常量变换构成的半群， 的所有自同态．但至今尚未有人 若变换半群。 包含巩，则 的所有自同构均为内自同构（即对任意的自同构 ，存在唯一确定的ｇ∈Ｓｘ，使 得对任意的ｔＥ。Ｓ都有ａ（￡）一ｇｔｇ ）．在此基础上，Ｓｃｈｅｉｎ等 讨论了 考虑全变换半群 的奇异部分 ＼ ｘ的自同态．本文将试图填补这一空白．这里只讨论ｘ是有限的情 况．不妨设Ｘ一｛１，２，…，ｎ），其中ｎ≥２．此时， ＼＆记作 ＼＆，巩记作 ． 以下介绍一些符号和名词．半群 ＼ 上的所有自同态构成的集合记作Ｅｎｄ（ ＼ ）．半群 ＼＆上 的所有自同构构成的集合记作Ａｕｔ（ ＼＆）．特别的，Ｅｎｄ（ ＼ ）是一个半群，Ａｕｔ（ ＼＆）是一个群．称非 自同构的自同态为真自同态．定义自同态￡Ｅ Ｅｎｄ（ ＼ ）的同态核ｋｅｒ（ｅ）如下：对任意的Ｓ，ｔ∈ ＼Ｓ ，（ｓ， ￡）Ｅ ｋｅｒ（ｅ）当且仅当￡（ｓ）一￡（￡）．特别的，愚Ｐｒ（￡）是 ＼＆上的一个同余．称ｐ＝＝＝Ａ ＵＡ：Ｕ…ＵＡ 是Ｘ的一 个划分，如果Ａ。ＵＡ Ｕ…Ｕ Ａ 一Ｘ且Ａ ，Ａ。，…，Ａ 是无序并不相交的．设Ｐａｒｔ 是由ｘ的所有划分构 成的集合．在Ｐａｒｔ 上定义一个偏序如下：设ｐ＝Ａ ＵＡ Ｕ…ＵＡ ，ｒ—Ｂ ＵＢ。Ｕ…ＵＢ ，则ｐ≤ｒ当且仅当 Ｐ的任意一个划分区块Ａ 均是ｒ的若干个划分区块的并．ｔＥ ＼＆的值域ｉｍ（ ）即为集合￡（ｘ）．特别的， ｉｍ（ｓｔ）￣ｉｍ（ ）．称ｉａ（ｔ）的基数为ｔ的秩，即ｒａｎｋ（ｒ ）一ｆｉｍ（ ）Ｉ．任取ｚＥＸ，０ 表示 ＼＆的一个常量变 换，即 。 一（ ２ ｎ ）． 收稿日期：２０１１－０９—２１ 通信作者：杨秀良（１ ９６３一），男，教授，主要从事半群代数研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｘｌ＠ｈｚｎｕ．ｅｄｕ．ＣＩ＇Ｉ ２５Ｏ 杭州师范大学学报（自然科学版） ２０１２芷 ＼ 的每个理想都具有形式 一｛ａＥ ＼＆：ｒａｎｋ（ａ）≤志），１≤走≤ 一１嘲 ．特别的， ＼＆的所有理想 关于包含关系形成一条链： ＣＩｚ ｃ…ｃ ～ 一 ＼＆．记 ＼＆的秩为是的 一类为 一｛ａ Ｅ ＼＆：ｒａｎｋ （口）一是｝，１≤志≤ 一１（具体见［３］６２—６５）． 每个半群Ｓ上都有两个平凡同余：恒等同余ｃ （对任意的ｓ， ∈Ｓ，（５，￡）Ｅ ｃ 当且仅当ｓ一 ）以及泛同余 ｃｕｓ（对任意的ｓ，ｔＥ ，都有（５，￡）Ｅ ｃｕｓ）．任取是Ｅ｛１，２，…， 一１｝，且对任意一个正规子群Ｒ ＆，在 ＼＆ 上定义一个同余三 如下： （ｉ）若ｒａｎｋ（ａ）＜是，则口三Ｒ 当且仅当ｒａｎｋ（ｐ）＜忌； （ｉｉ）若ｒａｎｋ（ａ）＞是，则ａ三Ｒ 当且仅当口一卢； （ｉｉｉ）若ｒａｎｋ（￣）一是，则 三 Ｊ８当且仅当ａ邓，并当ａ，卢具有以下形式时有 ∈Ｒ． ｌｆ【 Ａｌ Ａ２ … Ａ １… Ｊ ｆ — Ａ１ Ａ２ … Ａ １ ａ１ ａｚ …ａｋ【ｌ ａ （１ ） ａ …ａ（２） … （ Ｊ ） Ｊ 。 特别的， ＼ 上的任意一个同余或者是泛同余 ＼ｓ ，或者具备形式三 ，其中Ｒ ＆，１≤志≤ 一１Ⅲ ． １ 主要结果 定理 （Ａ）任取７ｒＥ＆．定义以 ： ＼＆一 ＼＆如下： （Ｖ ａＥ ＼ ）Ａ （口）一册７ｆ， 则Ａ 是 ＼＆的一个自同构． （Ｅ）任取￡Ｅ ＼＆，且￡为幂等元．定义＠Ｅ： ＼ 一 ＼＆如下： （ＶａＥ ＼Ｓ ）＠ （ａ）一￡， 则 是 ＼ 的一个自同态． 反之， ＼＆上的每个自同构都具有形式（Ａ），并且每个真自同态都具有形式（Ｅ）． 为证明上述定理，先从以下命题开始进行． ２ ＼ 的自同态核 命题１ 设 ∈Ｅ （ ＼ｔ ），贝０ ｋｅｒ（￣ｏ）一ｃｕ ＼ｓ 或ｋｅｒ（ ）一幻 ｓ ． 为证明该命题，先叙述以下引理． 引理１ 若 ∈Ｅｎｄ（ ＼＆）限制到 ～ 上为单射，则 （ 一 ）一 一。． 证明 因同态保持 类，故 （ ）应包含于 ＼＆的某个 类中，不妨设为 ，其中１≤ｚ≤ 一１。 任取 的一个 类，设为Ｈ．因同态保持 类，故 （Ｈ）应包含于 的某个 类中，不妨设为Ｈ ，即 （Ｈ） Ｈ ．从而ｌ （Ｈ）ｌ≤『Ｈ １．又 ｌ 一 为单射，则ｌ （Ｈ）ｌ—ｌ Ｈ Ｊ．故Ｉ Ｈ ｌ≤Ｉ Ｈ Ｉ，即（ｎ－－１）！≤ｚ！，也 即 ≥ 一１．而１≤ｚ≤ 一１，故ｚ一 一１，则 （ 一 ） 一 ．又因 ｛￣ｎ－－１为单射，故Ｉ （ 一 ）Ｉ一１ 一 １，从 而 （ １）一 一１． 引理２ ＼＆中不存在这样的元ａ，使得对任意的７Ｅ 一 都有（Ｖ ７Ｅ ～。） 一ａ． 证明 任取 ∈ ＼＆，ｚＥ Ｘ．不妨令ａ（ｚ）一３，．现取７Ｅ 满足以下条件：ｙ（ｙ）＝＝＝ｚ，其中ｚ≠ Ｅ Ｎ． 则 （ｚ）一），（ ）一ｚ≠ —ａ（ｚ），故ｙａ≠ａ．从而引理２得证． ／”一１、 任取ｉＥｘ．则在 一 的所有 类中，其元的值域含有ｉ的 类共有（ 。）个，也即（ｎ－－１）个．在每个 这样的 类中分别取一个幂等元，不妨记为 ， ，…， ， ＋ “， ，满足以下条件：对任意的Ｊ∈｛１，２， …，ｉ一１，ｉ＋１，…， ｝，都有 （ ）一ｉ． 设Ｘ 一｛ ， ，…， Ｈ， …，…， ｝，则可得以下结论： 引理３任取 ≠ ∈Ｘ ，贝０ 一 ＥＺ 一ｚ． 证明不失一般性可设 ＞ ＞ｉ，则 第３期 黄丽丽，等：全变换半群的奇异部分的自同态 ２５１ 嘁 ■三二 （ ＝＝＝ 二 同理可得， ，… ｉ … 一１ ｚ ｚ＋１ … ｙ一１ ｙ ｙ＋１ … 、 ６ｙ 一＼…ｉ… 一１ ｉ ｚ＋１…ｖ一１ ｉ ｖ＋１… 故 １ ２一 ２ ｌ ＥＺ 一２． 引理４任取ｉ＝／＝ｊ Ｅ ｘ，则ｘ ｎ Ｘ 一０． 证明 假设ｘ ｎＸ，≠ ，则存在 ＥＸ，且ｚ≠ｉ，ｚ≠ ，使得 ∈ｘ ｎｘ，．由 ∈ｘ 可知 （ｚ）一ｉ．而 由 ∈Ｘ，可知 （＿ｚ）一｛歹）．因睁 ，故矛盾，则假设不成立．从而Ｘ ｎＸ 一０． 引理５ 设 ∈Ｅｎｄ（、Ｊ ｙ ● ＼＆）且忌Ｐｒ（ ）一三 ，其中Ｒ ＆～ ．令 （ ～ｚ）＝｛ｒ｝且ｒ如下所示： 一 ●¨ １ 一～ １ ～一 ．Ｚ ．Ｚ ｙ．Ｚ ｒ—ｆ ｌＡ Ａ２…Ａ ］ｌ， Ｌｌ … 【ａｌ ａｚ … ａｍ Ｊ 其中Ａ ＵＡ。Ｕ…ＵＡ 一Ｘ，一． ． ¨ ａ ＥＡ ，１≤ ≤ ｍ．则 （ｉ）任取ａ∈ （ｚ １ 一 ），都有ａ（ａ ）＝＋＋ １ ＝＝。 ， ＞ ，并且对任意的 Ｅ ｘ，ａ（Ｌｚ）ＥＡ 当且仅当ｚ ＥＡ ，以上ｉＥ ｛１，２，…， ｝；¨ ¨ ¨ ¨ （ｉｉ） （Ｘ ）是由 （一 ）中的（ 一１）个幂等元构成的集合，并且对任意的ａ ≠ａｚ∈ （Ｘ ），都有ａ ａｚ— ａ２口１一ｒ； 一 一 （ｉｉｉ）任取 ≠ＪＥＸ，ｙ．Ｚ 则 （Ｘ ）ｎ （Ｘｊ）一０． 证明 （ｉ）任取口Ｅ （ 一 ），则存在ｐＥ ，使得ａ＝＝＝ （卢）．任取７Ｅ —ｚ，则ｒ一 （ｙ），且 ， ∈ ｚ，故 ｒ— （卢）＋＋ （ｙ）一 （ ）一ｒ— （ ）一 （ｙ） （卢）一砸，也即对任意的ａ∈ （ 一 ），都有ａｒ—ｒ —ｒ． 由ａｒ—ｒ可知，对任意的ｚＥ ｘ，都有 （ｒ（ ｚ））一ｒ（ｚ）．即ａ Ｉ ㈤为恒等变换． 任取 ，ｙＥ Ｘ．若＆（ｚ）＝ａ（ ），则由￣－０／ｚ Ｚ，，可知，ｒ（ｚ）一ｒａ（ｚ）一ｒａ（ ）一ｒ（ ），故ｐｏ≥ 假设 一 因ａＩ 为恒等变换，故ａ—ｒ，这与Ｚ ｚ是ｋｅｒ（ｑ￣）的一个同余类矛盾，则假设不成立．从而ｐｏ＞ ． 又阳一ｒ，故对任意的 Ｅ ｘ，都有ｒ（ａ（ｚ））一ｒ（ｚ），从而ａ（ｚ）ＥＡ 甘ｚＥ Ａ ，其中ｉ∈｛１，２，…，ｍ｝． （ｉｉ）由于 类至多含有一个幂等元，故Ｘ 中的元应分别取自 所包含的（ｎ～１）个不同的 类．因 ｋｅｒ（ｑ￣）一三 ，其中Ｒ ＆ ，故由；Ｒ的定义知， 所包含的不同的 类在 下的像也是不同的，则 １ Ｘｉ 为单射．从而ｌ （Ｘ ）ｌ—ｌｘ ｌ—ｎ一１，也即 （ｘ ）是由 （ 一 ）中的（ｎ－－１）个幂等元构成的集合． 任取ａ ≠ａｚ Ｅ （Ｘ ），则存在卢ｔ≠ Ｅ ｘ ，使得ａ 一 （卢 ），ａ。一 （ ）．由引理３可知 一 Ｅ 一。， 故ａ ａ 一 （ ） （ ）一 （ ）一ｒ一 （ ）一 （ ） （ ）一ａ ａ ，也即ａ ａｚ—ａｚａ 一ｒ． （ｉｉｉ）假设 （ｘ ）ｎ （ｘ ）≠ ，则存在ａ∈Ｘ ，ｐ∈Ｘ，，使得 （ ）一 （ｐ）．由引理４可知ｘ ｎ Ｘ 一 ，故 ａ≠ 又 ，为单射，则 （ａ）≠ （ ）．故矛盾．从而假设不成立，也即 （ ）ｎ （ ）一０． 由于同态保持 类，故 （ ）应包含于 ＼＆的某个 类，不妨设为 ，其中１≤￡≤”一１．由引理５ （ｉ）可知，任取口∈ （ 一 ），都有Ｐｄ＞ ，则ｒａｎｋ（ａ）＞ｒ鲫是（ｒ），从而ｔ＞ｍ．即 （ １） ，其中ｍ＜￡≤ ，ｚ—１． 设Ｍ是由 中的幂等元构成的集合，且满足： （ｉ）任取ａＥＭ，都有ａｒ：阳一ｒ； （ｉｉ）任取ａ≠ ∈Ｍ，都有ａｐ一 一ｒ． 其中ｒ如式（１）中所示．易见，集合Ｍ不是唯一确定的．设ｙ是由 的所有形如Ｍ的子集构成的 集合． 引理６设ａＥ ９ 为幂等元且满足Ｏ／Ｚ＂一砸＝：＝ｒ，其中ｒ如式（１）中所示．定义集合Ｇ（ａ）如下：Ｇ（ａ）一｛ ２５２ 杭州师范大学学报（自然科学版） ２０１２矩 ∈ ：卢２一 ， 一印＝ｚ－， 一 一ｒ｝．则当且仅当ａ具备以下形式时（不妨设为形式（２）），集合Ｇ（ａ）所含元 素最多： ｆＡ ｂ ｂｉ ２ … ｂ … Ａ ｂ ｂ … ｂ Ａ … Ａ １ 【口 １ ｂｉ１１ ｂｉ１ ２ … ｂｉ１ １ … 口 ｂｌ＾１ ｂｉ ２ … ｂｉ 口 ＋ｌ … 口 Ｊ 其中｛ｉｌ，ｉ２，…，ｉ ，ｉｋ＋ｌ，…，ｉ ｝一｛１，２，…， ｝，１≤尼≤ ；ｚ１＋ｘ２＋…＋ｘｋ—ｔ— ；口 ∈Ａ １，Ａ Ｕ｛ｂ ｌ， ６ ，… ｂ ）＝Ａ １≤ ≤志． 证明 因ａ∈ 为幂等元且ａｒ—ｒ —ｚ．，故根据引理５（ｉ）可设 ｆＡ Ｂ Ｂ ｌ ２ … Ｂ １ … Ａ Ｂ ｌ Ｂ … Ｂ Ａ １ … Ａ ］ ｌ口 １ ｂｉｌｌ ｂｉｌ ２ … ｂｉｌ ｌ … 口 ｂｉ １ ｂｉｋ ｚ … ｂｉ＾ ＆ ＋１ … 口 Ｊ 其中（ｉｌ，ｉ２，…，ｉ ， ＋１，…，ｉ ｝一｛ｌ，２，…，ｍ｝，１≤ ≤ ；ｚ１＋ｘ２＋…＋ 一 一 ；口 ｐ∈Ａ ｐｌ，ｂｉｐ ∈Ｂ ，Ａ ｐｌ ＵＢ ＵＢ ｚ Ｕ…ＵＢ 一Ａ ，１≤ ≤忌，１≤Ｚ≤ ｐ． 任取 ∈Ｇ（ａ），则卢∈ 为幂等元，且 一印一ｒ，ａ 一 一ｒ．故不失一般性可设 ｆＡ １１ Ｄｌ１ Ｄ１２…Ｄｌ １ …Ａ Ｊｌ Ｄｊｌ Ｄｊ２…Ｄ Ａ Ｊ＋１ …Ａ １ ｌ ｎ …九 …口， … ， …ｎ Ｊ’ 其中１≤Ｊ≤ｍ，Ｙ ＋ ｚ＋…＋ ，一ｔ－－ｍ；Ａ １ Ｕ Ｄ Ｕ Ｄ Ｕ…Ｕ Ｄ 一Ａ ，ａ ∈Ａ ，ｄ ∈Ｄ ，１≤ｑ≤ ，１≤ ≤ ． （ｉ）若｛ｉ ，ｉ：，…，ｉ ）ｎ｛１，２，…，Ｊ｝一 ，则ａ 一 一ｒ显然成立； （ｉｉ）若｛ｉ ，ｉ。，…，ｉ ｝ｎ｛１，２，…，Ｊ｝≠ ，则存在“∈｛１，２，…，ｋ｝，ｖＥ｛１，２，…， ），使得ｉ 一 ．不失一般 性可设ｉ 一１．此时，设 ｙ１一Ｉ。 ６ ６ … ６ ｊ’ｙ。一Ｉ。 。 …： Ｊ’ｄ一一Ａ Ｊ ），’ 则由 一 一ｒ可知，ｙ ｙｚ—ｙｚ）， 一 ． 由）， ｙ２一 知｛ｄ ｄｌ２，…，ｄ ｝ Ａ ＼｛口１｝；由），２）， 一 知｛ｂ ｂ１２，…，ｂ ） Ａ 故ｉｍ（）， ） Ａ １１． 于是，）， ｙ ＝ｙ。ｙ】一 成立当且仅当），。满足以下条件：ｉａｒ（）， ） Ａ 且｛ｄ ｄ …，ｄ ） Ａ ＼｛口 ）． 设ｌ Ａ ｌ一“，ｌ Ａ ｌ：ｌｚ，则Ｙ ＋１≤ ≤“一ＳＹｔ ．由｛ｄ ｄ …，ｄ ｝ Ａ ＼｛口 ）可知，｛ｄ …， ｝ 共有ｆ 一 １种选择方式．取定｛ …， ｝ Ａ ｌ＼｛ ），则要确定ｙ ，只需确定｛Ａ Ｄ Ｄ …， Ｄ１ ｖ＿｝即可．由于ｉａｒ（７ ） Ａ 且ｄ ∈Ｄ １≤ ≤ １，故先将ｉｍ（７１）归人Ａ ｄ 归入Ｄ】 ，１≤ ≤ｙ１．而后 将Ａ 余下的（ｕ－－ｘ －－ｙ 一１）个元划分成ｈ份，１≤ ≤ ＋１，则共有ｓ（ｕ－－ｚ 一Ｙｔ一１，矗）种划分方式；再 从｛Ａ Ｄ Ｄ …，Ｄ ｝中任意选取 个集合，则共有（ ＝－ １种选择方式；最后将划分好的 份分别 归入已选取的ｈ个集合中，则共有ｈ！种组合方式．于是｛Ａ Ｄ Ｄ …，Ｄ ｝共有 ｓ（ｕ— 一Ｙｌ— ） ！种选取斌综上所 共有（ ）Ｙ墨ｌ＋１ （一 ）（ ） ！种选择斌 由此可知，当且仅当３２取最大值即ＩＢ ｌ—ｆＢ ｌ一・一ｌＢ ．１—１时， 的选择方式最多．从而当且仅当Ｉ Ｂ ｌ＝』Ｂ ｚ ｌ一・一ｉＢ ｌ一１，１≤ｐ≤志时，即ａ具备形式（２）时，卢的选择方式最多，也即集合Ｇ（ａ）所含 元素最多． 引理７ 设ａ， ∈ 均具备形式（２），则 一 一ｒ甘｛ｉａｒ（ａ）＼ｉａｒ（ｖ））ｎ｛ｉｍ（１ｆ）＼ｉｍ（ｒ）｝＝＝＝ ．其中ｒ如 式（１）中所示． 证明 设ａ 一 一 假设｛ｉｍ（ａ）＼ｉｍ（ｒ）｝ｎ｛ｉｍ（ ）＼ｉｍ（ｒ））≠ ，则存在ｚ∈Ｘ，使得ｚ∈｛ｉｍ（ａ）＼ 第３期 黄丽丽，等：全变换半群的奇异部分的自同态 ２５３ ｉｍ（ｒ））ｎ｛ｉｍ（ｆ１）＼（ｒ））．由ａ， 均具备形式（２）可知ａ（－ｚ）一 一卢（ ），故ｒ（ｚ）一 卢（ｚ）一ａ（ｚ）一ｚ，从而 ∈ｉｍ（ｒ）．这与ｘＥ｛ｉｒａ（ ）＼ （ｒ）｝ｎ｛ｉｍ（ｆ１）＼ｉｍ（ｖ））矛盾，则假设不成立，也即｛ｉｍ（ａ）＼ｉｍ（ｒ）｝ｎ｛ｉｍ（ｆ１）＼ ｉｍ（ｒ））一０．必要性得证． 设｛ｉａｒ（ ）＼ ｍ（ｒ））ｎ｛ｉｍ（ｆ１）＼ｉｍ（ｖ））＝ ．由ａ， 均具备形式（２）可知ＯｔＺ＇－一ｒａ—ｒ，且 一印一 任取ｚ ∈ｘ．当 ∈ｉａｒ（ｒ）时，有ａ （－ｚ）一ａ（ ）一 ＝＝ｒ（ ）．当ｚ∈ｉｍ（ｒ）时，若卢（Ｉｚ）∈ｉｍ（ｒ），则不失一般性可设 （ｚ）一ｎ１，故ａｐ（ｘ）一ｄ（ｎ１）＝ｎ１一ｖ（ａ１）一印（ｚ）一ｒ（ｚ）；若卢（ ） ｉａｒ（ｒ），贝０ ｚ∈ｉｍ（ｆ１）＼ｉｍ（ｒ）且卢（ｚ）一－ｚ． 而｛ｉｍ（ａ）＼ ｍ（ｒ））ｎ｛ｉｍ（１ｆ）＼ ｍ（ｒ））一０，则，２７ ｉａｒ（ａ）＼ ｍ（ｒ），故ａ（ｚ）∈ｉｍ（ｒ）．不失一般性可设ａ（ ）一口 ， 则ａｐ（ｘ）—ａ（ｚ）一。ｌ—ｒ（ａ】）一砸（ ）—ｒ（ｚ）．综上所述，对任意的ｘＥ Ｘ，都有ａｆｔ（ｘ）一ｒ（－ｚ），也即 一 同理可证 —ｒ．从而ａｐ一 一ｒ．充分性得证． 引理８任取ＴＥＹ．则ｌ ＴＩ取最大值时，Ｔ中的元均具备形式（２）． 证明 构造集合Ｔ∈ｙ如下： 任取 ∈ 为幂等元且ａｒ—ｒａ—ｒ．若将ａ归入Ｔ，则Ｔ＼｛ａ｝ＣＧ（ａ）．故要使丁＼｛ａ）可选取的元尽量多， 则Ｇ（ａ）所含元素应尽量多．从而由引理６可知，ａ应具备形式（２）． 任取 ∈Ｇ（ａ）．若将卢归入Ｔ，则Ｔ＼｛ａ，』９）ＣＧ（ａ）ｎ Ｇ（ ）．故要使丁＼｛ａ，卢｝可选取的元尽量多，则Ｇ（ａ） ｎＧ（Ｊ８）所含元素应尽量多．从而由引理６可知，』９也应具备形式（２）． 重复以上作法直至Ｇ（ａ）ｎＧ（ ）ｎ…ｎＧ（ｙ）一０． 由以上构造方法可知，当ｌ Ｔｌ达到最大值时，Ｔ中的元均具备形式（２）． 引理９任取ＭＥＹ，则Ｉ Ｍｌ￣＜ｌ ｌ，其中ｍｑ－ｌ￣ ≤ｌ ｌ＿ 证明 设集合ｗ∈ｙ且｝ Ｊ取最大值．任取ｙ∈Ｗ，则由引理８可知ｙ具备形式（２）．故ｙ唯一确定 ｉｍ（ｙ）＼ｉａｒ（ｒ），且），也被ｉｍ（ｙ）＼ （ｒ）唯一确定．则映射７卜＿÷ｉｍ（ｙ）＼ｉａｒ（ｒ）是从ｗ到Ｗ 一｛ｉｒａ（ａ）＼ ｍ（ｒ）： ａ∈Ｗ｝上的双射，从而１ｗｌ—１ｗ，１． 任取ａ≠』９∈Ｗ，则ａ， 均具备形式（２）且 一 一ｒ．故由引理７可知，｛ｉｍ（ａ）＼ｉｍ（ｒ））ｎ｛ｉｍ（ ）＼ ｉｍ（ｒ））一０．而Ｘ＼ｉｍ（ｒ）至多包含Ｉ ｎ－－ｍ １个互不相交且基数为（ｔ－ ）的集合，故１ｗ ｌ—ｌ ｎ－ｍ ｌ，从而 １ｗｌ—ｌ Ｊ． 因１ ｗ ｌ≥２，即ｌ ｌ≥２，故解得 ≤ｌｎ— ｔ—ｍ １． Ｌ ，，￡Ｊ Ｌ 厶 Ｊ 以引理１～９为理论依据，以下证明命题１． 命题的证明 由 ∈Ｅ＂ （ ＼＆）可知，是ｇｒ（ ）是 ＼ 上的一个同余。故志Ｐｒ（ ）一 ，或尼Ｐｒ（ ）一 ，或志ｅｒ（ ）一三Ｒ，其中Ｒ ，１＜忌≤ｎ一１． Ｃａｓｅ工 设忌ｅｒ（ ）一三 ，其中Ｒ ＆，ｌ￣ｋ％ｎ一１．则由三三三 的定义可知， 一 是ｋｅｒ（ ）的一个同余 类，且 一为单射．故可设对任意的ａ∈ ～ ，都有 （ａ）一 ，其中 ∈ ＼ 为幂等元． 任取ａ∈ ，卢∈ ，则ａ ∈ ．故由 （ ） （Ｊ８）一 （ａ ）可知 （ａ） 一 ．因 ｌ ２Ｃｎ－－１为单射，则由引理 １及ａ∈ 的任意性可知，对任意的），∈ 一 ，都有 一占．而由引理２可知， ＼ 中并不存在满足该条 件的元．故矛盾．从而ｌ￣ｋ％ｎ－－１的情况不成立． ＣａｓｅⅡ 设是Ｐｒ（ ）一三 ，其中Ｒ 一 ．令ｐ（Ｚ ｚ）一｛ｒ｝且ｒ如式（１）中所示． 设 （ 一 ）ｃ ， ＜￡＜ｎ一１，则对任意的ｉ∈ｘ，存在Ｍ∈ｙ，使得 （ｘ ） Ｍ．由引理５（ｉｉ）可知， ｌ ’ （ｘ ）ｌ— 一１，则｝Ｍ｛≥ 一１．而由引理９可知，ｌ Ｍ ｌ≤ｌ ｌｆ—ｍ ｌ１． 故ｌｌ —ｍ ＩＩ ≥ 一１．解此不等式可得 （ ，￡）一（１，２）．此时Ｉ ｌ—ｎ一１，则ｌ ＭＩ＝ 一１，故 （ｘ ）一Ｍ．由引理５（ｉｉｉ）可知， （ 一 ）包含 个互 ２５４ 杭州师范大学学报（自然科学版） ２０１２芷 不相交的形如 （Ｘ ）的集合，故当（ｍ， ）一（１，２）时，ｙ中应至少含有，２个互不相交且基数为（ 一１）的元． 设（ ，ｆ）一（１，２），则不失一般性可令ｒ＝０ ．任取ＴＥＹ且Ｉ Ｔ『一 一１．因Ｊ丁ｌ取到最大值，则由引理８ 可知，对任意的ａ∈Ｔ，ａ应具有以下形式： ／Ｘ＼｛ｚ） ３２ 、 Ｉ １ 』’ 其中 ＥＸ＼｛１）．易见，集合丁是唯一确定的，也即集合ｙ中有且仅有一个基数为（ 一１）的元．故矛盾．从 而ｋ一 一１时的情况不成立． 命题１得证． ３ 定理证明 定理的证明 任取 ∈Ｅｎｄ（Ｇ＼Ｓ ），则由命题１可知，ｋｅｒ（９）一∞ 或ｋｅｒ（ ）一 ．当ｋｅｒ（９）一 ｓ 时，９的秩为１，故 具备形式（Ｅ）；当ｋｅｒ（９）一 ｓ 时，９ＥＡｕｔＣ￣＼Ｓ ）．因 ｃ ＼＆，故 具备形式 （Ａ）． 定理得证． 参考文献： Ｅ１］Ｓｃｈｒｅｉｅｒ １．Ｕｂｅｒ ａｂｂｉｌｄｕｎｇｅｎ ｅｉｎｅｒ ａｂｓｔｒａｋｔｅｎ ｍｅｎｇｅ ａｕｆｉｈｒｅ ｔｅｉｌｍｅｎｇｅｎ［Ｊ］．Ｆｕｎｄ Ｍａｔｈ，１９３６，２８：２６１—２６４． Ｅ ２３ Ｓｃｈｅｉｎ Ｂ Ｍ，Ｔｅｃｌｅｚｇｈｉ Ｂ．Ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｆｕｌｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉ ｅｔｙ，１９９８，１２６（９）：２５７９—２５８７． ［３３ Ｇａｎｙｕｓｈｋｉｎ ０，Ｍａｚｏｒｅｈｕｋ Ｖ．Ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ：ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｌ－Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｖｅｒｌａｇ，２００９． Ｔｈｅ Ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｕｌｌ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ＨＵＡＮＧ Ｌ．＿ｌｉ，ＹＡＮＧ Ｘｉｕ—ｌｉａｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００３６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｔｈｅ ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ｏｎ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｔｏ ｃｏｎｓｕｍｍａｔｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ｂｙ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｋｅｒｎｅ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｅｎｄｏｍｏｒｐｈｉｓｍ；ｋｅｒｎｅｌ；ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ