勾股定理的培优专题

考点一 证明三角形是直角三角形

例1、已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.

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针对训练：1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a+b+c+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

2、如图，已知：在ΔABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D，求证：AD=AC+BD.

A 2

2

2

2

2

2

D C M B 考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算 例2、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，

求△ABC的周长。

针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD的面积.

3.已知：如图，DE=m,BC=n,

EBC与DCB互余，求BD+CD.

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考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用

E D B C 例1.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足ac－bc=a－b，试判断△ABC的形状.

解：∵ac－bc=a－b，(A)∴c(a－b)=(a+b)(a－b)，(B)∴c=a+b，（C)∴△ABC是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.

例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a2b2c2,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！

(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是

22

22

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222244

a ______mm；b_______mm；较长的一条边长c_______mm。

比较ab_____c (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；

(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是

222a______mm； b_______mm；较长的一条边长c_______mm。

比较ab_____c (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；

(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是: ； 。

222⑷对你猜想a2b2与c2的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

AAAC(1)BC(2)BC(3)B

例3.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B:A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

针对训练：1观察下列各式：3＋4＝5；8＋6＝10；15＋8＝17；24＋10＝26…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

延伸训练：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

2

2

2

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2

2

2

2

2

2

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总结提高：

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=试判断△EFC的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

1AD，4

图18

－2－7

6.已知△ABC的三边分别为k－1，2k，k+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1

是直角三角形吗？为什么？

2

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8、.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

9、若△ABC的三边长为a、b、c，根据下列条件判断△ABC的形状。（1）

a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2) a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0

10．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

11．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．