椭圆强化练习及答案

一．选择题（共10小题） 1．已知椭圆E：

的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若

AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ） A． B． C． D． 2．椭圆 A．7倍 =1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的

B． 5倍 2

C． 4倍 D． 3倍 3．如图F1、F2是椭圆C1：+y=1与双曲线C2的公共焦点A、B

分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，

则C2的离心率是（ ） A． B． C． D． 4．从椭圆

上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴

的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，

BF，若|AB|=10，|AF|=6， A．B． ，则C的离心率为（ ）

C． D． 6．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（ ）

A． B． C． D． 7．椭圆

（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，

|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A．B． C． D． 8．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x﹣

2

=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1

的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（ ） a= A．2 2B． a=3 C． b21 2 2D． b2 9．若椭圆C1：（a1＞b1＞0）和椭圆C2：（a2＞b2＞0）的焦点相同且a1＞a2．给

出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； ②④a1﹣a2＜b1﹣b2．其中，所有正确结论的序号是（ ） ②③④ ①③④ ①②④ A．B． C． 10．椭圆

+y=1的右焦点为F，A、B、C为该椭圆上的三点，若

C． 2

； ③a1﹣a2=b1﹣b2；

2222

①②③ D． +

+

=，则|

|+|

|+|

|=（ ）

A． B． 3 3 D． 二．填空题（共4小题） 11．在△ABC中，AB=BC，

．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ______ ．

12．已知椭圆

的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点

P使，则该椭圆的离心率的取值范围为 _________ ．

13．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆

的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 _________ ．

14．在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 _________ ．

．过Fl的直线交于

三．解答题（共2小题） 15．如图，椭圆C2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，与椭圆相交于A，B两点的直线|上述直线l使

16．已知椭圆

的离心率为

．

|=1，是否存在

的焦点为F1，F2，|A1B1|=

，

=2

．

=0成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由．

（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点． （i）当，求b的值； （ii）对于椭圆上任一点M，若

，求实数λ，μ满足的关系式．

思考题：如图，过椭圆L的左顶点A（﹣3，0）和下顶点B且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P，当k=3时，△ABM是直角三角形． （Ⅰ）求椭圆L的标准方程； （Ⅱ）（i）证明：存在实数λ，使得（ii）求|OP|的取值范围．

=λ

；

椭圆练习(一)

DADCB DBCBC

3x2y211. 12.(21,1) 13.275 14.1

8168三．解答题（共2小题） 22 15.解：（Ⅰ）由题意可知a+b=7，∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2，∴a=2c． 解得a=4，b=3，c=1．∴椭圆C的方程为222． （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使成立的直线l存在． |=1得 222（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点，且|，即m=k+1，由22得x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆得（3+4k）x+8kmx+（4m﹣12）=0，，①，2，② 20=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+kx1x2+km（x1+x2）+m 222222把①②代入上式并化简得（1+k）（4m﹣12）﹣8km+m（3+4k）=0，③ 222将m=1+k代入③并化简得﹣5（k+1）=0矛盾．即此时直线l不存在． （ii）当l垂直于x轴时，满足|由A、B两点的坐标为当x=1时，当x=﹣1时，==|=1的直线l的方程为x=1或x=﹣1， 或=﹣． =﹣． ． ∴此时直线l也不存在． 综上所述，使 16.解：（I）∵=0成立的直线l不成立． ，∴b=2∵，∴∵a2﹣b2=c2，∴解得a2=12，b2=4． 椭圆的方程为（II）（i）∵易知右焦点由①，②有：，∴．（4分） ．椭圆的方程可化为：x2+3y2=3b2① ，据题意有AB：③ ②

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴b=1（8分） （II）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量成立． ，有且只有一对实数λ，μ，使得等设M（x，y），∵（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴x=λx1+μx2，y=λy1+μy2， 又点M在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2④ 由③有：则3b﹣9b+6b=0⑤ 又A，B在椭圆上，故有x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2⑥ 22将⑥，⑤代入④可得：λ+μ=1．（14分） 思考题：（Ⅰ）解：由题意， ∵当k=3时，△ABM是直角三角形，左顶点A（﹣3，0）和下顶点B ∴，∴b=1，∴椭圆L的标准方程为； 222 （Ⅱ）（i）证明：设两直线l1，l2的方程分别为y=k（x+3）和y=kx﹣1，其中k≠0，则M（0，3k），N（，0）． 2222y=k（x+3）代入椭圆方程可得（1+9k）x+54kx+81k﹣9=0， 方程一根为﹣3，则由韦达定理可得另一根为，∴C（，）． 同理D（，） ∵两直线l1，l2平行， ∴可设∵=t，=t，从而可得P（，）∴=（，） =（3，3k）， ，使得，=λ； ∴存在实数λ=（ii）∵=（），∴消去参数可得P的轨迹方程为x+3y﹣3=0， =∴|OP|的取值范围为[，+∞）． ∴|OP|的最小值为d=