一.选择题(共10小题) 1.已知椭圆E:
的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若
AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为( ) A. B. C. D. 2.椭圆 A.7倍 =1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的
B. 5倍 2
C. 4倍 D. 3倍 3.如图F1、F2是椭圆C1:+y=1与双曲线C2的公共焦点A、B
分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,
则C2的离心率是( ) A. B. C. D. 4.从椭圆
上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴
的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 5.已知椭圆C:的左焦点F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,
BF,若|AB|=10,|AF|=6, A.B. ,则C的离心率为( )
C. D. 6.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A. B. C. D. 7.椭圆
(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,
|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A.B. C. D. 8.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与双曲线C2:x﹣
2
=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1
的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( ) a= A.2 2B. a=3 C. b21 2 2D. b2 9.若椭圆C1:(a1>b1>0)和椭圆C2:(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给
出如下四个结论:①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点; ②④a1﹣a2<b1﹣b2.其中,所有正确结论的序号是( ) ②③④ ①③④ ①②④ A.B. C. 10.椭圆
+y=1的右焦点为F,A、B、C为该椭圆上的三点,若
C. 2
; ③a1﹣a2=b1﹣b2;
2222
①②③ D. +
+
=,则|
|+|
|+|
|=( )
A. B. 3 3 D. 二.填空题(共4小题) 11.在△ABC中,AB=BC,
.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e= ______ .
12.已知椭圆
的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点
P使,则该椭圆的离心率的取值范围为 _________ .
13.如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆
的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为 _________ .
14.在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点,焦点F1F2在x轴上,离心率为A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为 _________ .
.过Fl的直线交于
三.解答题(共2小题) 15.如图,椭圆C2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于点P,与椭圆相交于A,B两点的直线|上述直线l使
16.已知椭圆
的离心率为
.
|=1,是否存在
的焦点为F1,F2,|A1B1|=
,
=2
.
=0成立?若存在,求出直线l的方程;并说出;若不存在,请说明理由.
(I)若原点到直线x+y﹣b=0的距离为,求椭圆的方程;
(II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A,B两点. (i)当,求b的值; (ii)对于椭圆上任一点M,若
,求实数λ,μ满足的关系式.
思考题:如图,过椭圆L的左顶点A(﹣3,0)和下顶点B且斜率均为k的两直线l1,l2分别交椭圆于C,D,又l1交y轴于M,l2交x轴于N,且CD与MN相交于点P,当k=3时,△ABM是直角三角形. (Ⅰ)求椭圆L的标准方程; (Ⅱ)(i)证明:存在实数λ,使得(ii)求|OP|的取值范围.
=λ
;
椭圆练习(一)
DADCB DBCBC
3x2y211. 12.(21,1) 13.275 14.1
8168三.解答题(共2小题) 22 15.解:(Ⅰ)由题意可知a+b=7,∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2,∴a=2c. 解得a=4,b=3,c=1.∴椭圆C的方程为222. (Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),假设使成立的直线l存在. |=1得 222(i)当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点,且|,即m=k+1,由22得x1x2+y1y2=0,将y=kx+m代入椭圆得(3+4k)x+8kmx+(4m﹣12)=0,,①,2,② 20=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+kx1x2+km(x1+x2)+m 222222把①②代入上式并化简得(1+k)(4m﹣12)﹣8km+m(3+4k)=0,③ 222将m=1+k代入③并化简得﹣5(k+1)=0矛盾.即此时直线l不存在. (ii)当l垂直于x轴时,满足|由A、B两点的坐标为当x=1时,当x=﹣1时,==|=1的直线l的方程为x=1或x=﹣1, 或=﹣. =﹣. . ∴此时直线l也不存在. 综上所述,使 16.解:(I)∵=0成立的直线l不成立. ,∴b=2∵,∴∵a2﹣b2=c2,∴解得a2=12,b2=4. 椭圆的方程为(II)(i)∵易知右焦点由①,②有:,∴.(4分) .椭圆的方程可化为:x2+3y2=3b2① ,据题意有AB:③ ②
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴b=1(8分) (II)(ii)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量成立. ,有且只有一对实数λ,μ,使得等设M(x,y),∵(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2),∴x=λx1+μx2,y=λy1+μy2, 又点M在椭圆上,∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2④ 由③有:则3b﹣9b+6b=0⑤ 又A,B在椭圆上,故有x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2⑥ 22将⑥,⑤代入④可得:λ+μ=1.(14分) 思考题:(Ⅰ)解:由题意, ∵当k=3时,△ABM是直角三角形,左顶点A(﹣3,0)和下顶点B ∴,∴b=1,∴椭圆L的标准方程为; 222 (Ⅱ)(i)证明:设两直线l1,l2的方程分别为y=k(x+3)和y=kx﹣1,其中k≠0,则M(0,3k),N(,0). 2222y=k(x+3)代入椭圆方程可得(1+9k)x+54kx+81k﹣9=0, 方程一根为﹣3,则由韦达定理可得另一根为,∴C(,). 同理D(,) ∵两直线l1,l2平行, ∴可设∵=t,=t,从而可得P(,)∴=(,) =(3,3k), ,使得,=λ; ∴存在实数λ=(ii)∵=(),∴消去参数可得P的轨迹方程为x+3y﹣3=0, =∴|OP|的取值范围为[,+∞). ∴|OP|的最小值为d=
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