拉普拉斯变换在自动控制范畴中的应用

统结构参数决定的常系数。

为 变换.

f(t)与输入量拉普拉斯变换之比.

来的，是一个派生的概念，但对控制理论而言是极为重要的概念.

(Fourier)变换都是积分变换，函数f(t)的拉普拉斯变换，就是对于函数

重要的结论它在应用数学中占有很重要的地位.拉普拉斯变换和傅里叶

F(s)2j10cjcj 式中c为正的有限常数.

f(t)estdt, （1）

变换称为拉普拉斯反变换，其定义为

拉普拉斯变换在自动控制领域中的应用 ；

dmr(t)dm1r(t)dr(t)anc(t)bobbbmr(t), 1m1dtmdtm1dtF(s)estds, （2）

(3)

分方程的有力工具，但拉普拉斯变换比傅里叶变换有着更为广泛的应用.

然后求解方程便可得到系统的动态过程，其常用的求解方法就是拉普拉斯

F(t)eatf(t)的傅里叶变换，没有本质上的不同.它们都是解微分方程和积

在自动控制理论中，首先建立系统的动态数学模型一一微分方程，

dnc(t)dn1c(t)dc(t)设线性定常系统的微分方程为aoaa1n1dtndtn1dt一个定义在区间[0,)的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义

传递函数定义为:零初始条件下线性定常系统输出量拉普拉斯变换

拉普拉斯变换(Laplace)及其反变换是由复变函数积分引导出的一个非常

式中sj为复数，F(s)称为f(t)的原函数f(t)。这种由F(s)到f(t)的

设初始值均为零，对式(3)两端进行拉普拉斯变换，得系统方程

式中：c(t)为输出量，r(t)为输入量，a0,a1,,an;b0,b1,,bm均为由系

(a0sna1sn1an1san)C(s)(b0snb1sn1bn1sbm)R(s),则系统传

传递函数是在应用拉普拉斯变换求解线性常系数微分方程中构造出

设单位反馈系统的开环传递函数为: G(s)传递函数是系统的s域动态数学模型，而且是更具有实际意义的

0.4s1

s(s0.6)

分析法.

式亦即微分方程的特征式.

(s)的性能指标上升时间tp和最大超调量%.

C(s)b0smbm递函数为 G(s) nR(s)a0san的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特征.

1C(s)(s)R(s),R(s).s(4)

C(s)G(s)0.4s12, R(s)1G(s)H(s)ss1（6）

程，并依据过程曲线及表达式，分析系统的性能，方便、快捷、准确.

出.由于是单位反馈系统，则根据开环传递函数可得传递函数闭环为:

便可运用适当的方法对系统的控制性能作全面的分析和计算.对线性定

拉普拉斯变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定

传递函数将各不相同.传递函数是在零初始条件下进行的，因此它只是系统

模型.在不需要求解微分方程的情况下，直接利用传递函数便可对系统的动

常系统，用的方法有时域分析法、根轨迹法和频率法，现在我们仅讨论时域

出关系.同一系统，取不同变量作输出，以给定值或不同位置的干扰为输入，

应不能套用己有的公式，求性能指标也不能套用己有的公式，只能按定义求

常系统.传递函数取决于系统内部的结构参数，它仅表明一个特定的输入、输

态过程进行分析和研究.应该指出，传递函数是由于拉普拉斯变换导出的，而

根据闭环特征方程s2s10可知，特征根为共轭复根

（5）

从中可以求该系统对单位环跃输入信号的响应，也可以求该系统时域分析法根据系统微分方程，用拉普拉斯变换直接解出动态过动态数学模型，是对控制系统进行理论研究的前提.模型一旦建立，

式中:分了为象方程的输入端算了多项式，分母为输出端算子多项

由于这单的闭环传递函数为非标准形式(带有零点)，故求时域响

来推导.

C(s)

则C(t)L1[C(s)]于是tan(

s1,212i32C(tr)1e0.5tr(cos 83.1401.45rad 故 tr间的一阶导数为零，可得出 tp%321e0.5t[cos(32)t0.4s11s0.6s(s2s1)ss2s1c(tp)c()c()a13253拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用

1.95s.

,

其中a23.400.4rad,由此可得出

1s12(153)32, s(s12)234(s12)234，故可按振荡形式将C(s)展成如下部分分式：

11.007e0.5tsin[(32)t83.20) （t0）. （8）

3tr)538.66tan(),其中arctan8.662100%18%.

313trsintr)1, 2253sin(32)t]

（10）

（11）

（12）

（9）

（7）

位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理、卷积定理等。这些性质在解题时非

系统欠阻尼的求指标公式，只能根据性能指标的定义，由输出响应表达式

为了求最大超调量%，首先要求出峰值时间tp.为此令C(tp)对时由于该系统的闭环传递函数不是标准形式(带零点)，故不能用一阶

拉普拉斯变换有许多非常好的性质,如线性性质、微分性质、积分性质、

常重要。在利用拉普拉斯变换求解导热问题时,关键的一步是把变换后的函数从

可得 ：

分析

于是，问题（1）转化为

u2utax2,0x,t0u0,x0,t0 uq,x0,t0xu0,x,t0恒定热流q的作用,试求t>0时物体中的温度分布。

则温度是时间及坐标的函数，即u=u(x,t)。该问题的数学模型为：

分方程,求出象函数U(x, s); (4)取拉普拉斯逆变换,求出温度函数u(x,t)。

复变量s区域变回到时间变量t区域的逆变换。而许多逆变换都可直接或利用性

微分方程模型; (2)将温度看做时间t的函数,对方程及定解条件关于t取拉普拉斯

质转化之后通过查拉普拉斯变换表得到,这使得该方法在工程技术中有广泛应用。

变换,把偏微分方程和定解条件化为象函数的常微分方程的定解问题; (3)解常微

L[u(x,t)]U(x,s)uL[]sU(x,s)u(x,0)sU(x,s)tudL[]U(x,s)xdx2ud2L[2]2U(x,s)xdx.1 边界热流为常数的非稳态导热问题

一个半无限大物体(x≥0)的初始温度为零,当时间t>0时,在x=0的边界上有

（1）

利用拉普拉斯变换求解非稳态导热问题的一般步骤: (1)根据问题建立偏

对上述定解问题（1）关于t取Laplace变换，并利用微分性质和初始条件

设u表示物体的温度，x表示坐标，t表示时间，表示导热系数，

这是

d2Usdx2aU0,0xqdU,x0dxU(x,s)0,x