全国卷高考数学模拟试题(含答案)

高考模拟数学试题（全国新课标卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分．在每小题给出的四个选项中, 只有一

项是符合题目要求的．

1．i为虚数单位,复数3i1i= A．2i B．2i C．i2 D．i22．等边三角形ABC的边长为1, 如果uBCuurra,uCAuurbr,uABuurrc,那么rabrbrr

crcra等

于 A．

33112 B．2 C．2 D．2 3．已知集合A{xZ||x24x|4}, B{yN1y1|28}, 记cardA为集合A的

元素

个数, 则下列说法不正确．．．

的是 A．cardA5 B．cardB3 C．card(AB)2 D．card(AB)5 4．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧视图的面积为

A．63 B．8 C．83 D．12

5．过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点Px1,y1,Qx2,y2两点, 若

x1x26, 则PQ中点M到抛物线准线的距离为

A．5 B．4 C．3 D．2 6．下列说法正确的是

A．互斥事件一定是对立事件, 对立事件不一定是互斥事件 B．互斥事件不一定是对立事件, 对立事件一定是互斥事件

C．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大 D．事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个开始发生的概率小

7．如图是秦九韶算法的一个程序框图, 则输出的S为

输入a0,a1,a2,a3,x0A．a1x0(a3x0(a0a2x0))的值 k3,Sa3B．a3x0(a2x0(a1a0x0))的值 C．ak0否0x0(a1x0(a2a3x0))的值 D．a2x0(a是0x0(a3a1x0))的值

输出Skk1第1页（共4页）

Sa结束kSx0

1n

8．若(9x－)（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36, 则其展开式中的常数

3x项为

A．252 B．－252 C．84 D．－84

1

9．若S1＝2dx, S2＝2(lnx＋1)dx, S3＝2xdx, 则S1, S2, S3的大小关系为

x

1

1

1

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S1＜S2

x2y210．在平面直角坐标系中,双曲线1的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的

124直线l与双曲线C交于A,B两点。若△FAB的面识为83, 则直线l的斜率为 A．

112137 B． C． D． 1372411．已知三个正数a, b, c满足abc3a, 3b2a(ac)5b2, 则以下四个命题正确的是

p1：对任意满足条件的a、b、c, 均有b≤c； p2：存在一组实数a、b、c, 使得b>c；

p3：对任意满足条件的a、b、c, 均有6b≤4a+c； p4：存在一组实数a、b、c, 使得6b>4a+c.

A．p1, p3 B．p1, p4 C．p2, p3 D．p2, p4

12．四次多项式f(x)的四个实根构成公差为2的等差数列, 则f(x)的所有根中最大根与最小根之差是

A．2 B．23 C．4 D．25

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第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分, 第13题－21题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第22题－24题为选考题, 考生根据要求作答. 二、填空题：本大题包括4小题, 每小题5分.

13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）． x y 2 30 4 40 5 60 6 t 8 70 ^＝6.5x＋17.5, 则表中t的值根据上表提供的数据, 求出y关于x的线性回归方程为y为 ．

π

14．已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0, ]上为增函数, 且图象关于点(3π, 0)对称,

2则ω的取值集合为 ．

15．已知球的直径SC＝4, A, B是该球球面上的两点, AB＝2, ∠ASC＝∠BSC＝45°, 则棱锥S-ABC的体积为 ．

16．等比数列{an}中, 首项a1＝2, 公比q＝3, an＋an＋1＋…＋am＝720(m, n∈N*, m＞n), 则m＋n＝ ．

三、解答题：解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明： （1）bcosCccosBa； （2）

cosAcosBab2sin2cC2.

18．（本小题满分12分）

直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1中点．

（1）求证：直线AB1平面A1BD； （2）求二面角AA1DB的大小正弦值；

19．（本小题满分12分）

对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计, 得到如下记录： 日车流量x 5x10 10x15 15x20 0x5 20x25 第3页（共4页）

x25

0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 频率 将日车流量落入各组的频率视为概率, 并假设每天的车流量相互独立． （1）求在未来连续3天里, 有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量

低于5万辆的概率；

（2）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数, 求X的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）

x2y23 已知椭圆C：221(ab0)的焦距为2且过点(1,)．

2ab（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若椭圆C的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点F1,F2, 求该平行四边形面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

设函数f(x)axbxclnx, （其中a,b,c为实常数） （1）当b0,c1时, 讨论f(x)的单调区间；

（2）曲线yf(x)（其中a0）在点(1，f(1))处的切线方程为y3x3, （ⅰ）若函数f(x)无极值点且f'(x)存在零点, 求a,b,c的值； （ⅱ）若函数f(x)有两个极值点, 证明f(x)的极小值小于－

请考生在22、23、24三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.

如图AB是圆O的一条弦, 过点A作圆的切线AD, 作BCAC, 与该圆交于点D, 若AC23, CD2.

（1）求圆O的半径；

（2）若点E为AB中点, 求证O,E,D三点共线.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

23. 4x2cos2在直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为(是参数), 以原点

ysin2O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为

第4页（共4页）

1.

sincos（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离, 并求出此时点P的坐标.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

设函数f(x)|2xa|a.

（1） 若不等式f(x)≤6的解集为{x|2≤x≤3}, 求实数a的值；

（2） 在（1）条件下, 若存在实数n, 使得f(n)≤mf(n)恒成立, 求实数m的取值范围.

高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案

一、选择题：本大题包括12小题, 每小题5分。 1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题：

1243

13. 50 14.{, , 1} 15. 16.9

333

三、解答题: 17.证法一：（余弦定理法）

a2b2c2a2c2b22a2（1）bcosCccosBbca

2ab2ac2aa2c2b2b2c2a2cosAcosB2ac2bc（2） ababab2ac2a3a2bbc2b32aba2b2c22abc(ab)2abc

a2c2b2C12sin2aba2b2c22ac21cosC, 所以等式成立 ccc2abc

证法二：（正弦定理法）

（1）在ABC中由正弦定理得 b2RsinB,c2RsinC, 所以

2bcosCccosB2RsinBcosC2RsinCcosB

2Rsin(BC)2RsinAa（2）由（1）知bcosCccosBa, 同理有 acosCccosAb

所以bcosCccosBacosCccosAab

即 c(cosBcosA)(ab)(1cosC)(ab)2sin2C 2第5页（共4页）

所以

cosAcosBab2sin2cC2

18. 解：（1）取BC中点O, 连结AO．

ABC为正三角形, AOBC

直棱柱ABCA1B1C1

平面ABC平面BCC1B1且相交于BCAO平面BCC1B1

取B1C1中点O1, 则OO1//BB1OO1BC 以O为原点, 如图建立空间直角坐标系Oxyz, 则B1,0,0,D1,1,0,A10,2,3,A0,0,3,B11,2,0,C(1,0,0)

AB11,2,3,BD2,1,0,BA11,2,3

AB1BD0,AB1BA10AB1BD,AB1BA1． AB1平面A1BD．

,

（2）设平面A1AD的法向量为nx,y,z．AD1,1,3,AA． 10,2,0nAD,nAA1,

xy3z0 2y0由（1）AB1,2,3为平面ABD的法向量．

11令z1得n3,0,1为平面A1AD的一个法向量．

cosn,AB16． 410． 4所以二面角AA1DB的大小的正弦值为

19. 解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”, A2表示事件“日车流量低于5万辆”, B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则

P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70,

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P(A2)＝0.05,

所以P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049

（Ⅱ）X可能取的值为0, 1, 2, 3, 相应的概率分别为

P(X0)C30(10.7)30.027,

1P(X1)C30.7(10.7)20.189,

P(X2)C320.72(10.7)0.441,

3P(X3)C30.730.343.

X的分布列为

X 0 1 2 P 0.027 0.189 0.441 因为X～B(3, 0.7), 所以期望E(X)＝3×0.7＝2.1. 3 0.343 2c2a2b22,20. 解：（1）由已知可得1 9，221a4b解得a2＝4, b2＝3,

CyBAGF1OF2xx2y2所以椭圆C的标准方程是1.

43D（2）由已知得：F1F22, 由于四边形ABCD是椭圆的内接四边形, 所以原点O是其对称中心, 且

SYABCD2S四边形ABF1F2

2SAF1F2SAF1B2SAF1F2SBF1F2F1F2yAyB2yAyD,

当直线AD的斜率存在时, 设其方程为ykx1,

2222代入椭圆方程, 整理得：34kxkx4k120,

8k24k212, 由韦达定理得：xAxD,xAxD34k234k222xx4xAxD∴yAyDkxAxDkAD222144k2k2134k2222,

∴SYABCD2yAyD2144k2k2134k22618k2934k6,

33当直线AD的斜率不存在时, 易得：A1,,D1,, ∴SYABCD2yAyD6,

22综上知, 符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是6．

12ax2121. 解：（1）当b0,c1时f'(x)2ax, (x0) ………1分

xx第7页（共4页）

当a0时, f(x)0很成立, f(x)在(0,)上是增函数；………2分

'当a0时, 令f(x)0得x'11或x（舍）………3分 2a2a'令f(x)0得0x11'；令f(x)0得x 2a2af(x)在上(0,11)是增函数, 在(,)上是减函数………4分 2a2a(2) (i)f'(x)2axbf(1)0c由题得, xf'(1)3即ab0ba． 2abc3c3a23a2ax2ax3a则f(x)axax(3a)lnx, f'(x)2axa（ⅰ）xx由f(x)无极值点且f'(x)存在零点, 得a8a(3a)0(a0) 解得a2881, 于是b, c． 3332ax2ax3a(x0), 要使函数f(x)有两个极值点, （ⅱ）由(i)知f'(x)x只要方程2ax2ax3a0有两个不等正根,

设两正根为x1,x2, 且x1x2, 可知当xx2时有极小值f(x2)．其中这里

0x121111,由于对称轴为x, 所以x2,

4442且2ax2ax23a0, 得a32x2x212

2ax2ax3a(x0), 要使函数f(x)有两【也可用以下解法：由(Ⅱ)知f'(x)x2个极值点, 只要方程2axax3a0有两个不等正根,

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a28a(3a)08那么实数a应满足 3a0, 解得a3,

3a02(2a)aa28a(3a)1124 x294a44a82411a3091即x2】 342a2所以有f(x2)ax2ax2(3a)lnx2

a(x223(x2x2lnx2)11x2lnx2)3lnx23lnx2(x) 22422x2x21222而f'(x2)23(4x21)(x2x2lnx2)(2x2x21)2,

1x1), 4(2x1)(x1)1有g'(x)0对x(,1]恒成立,

4x11又g(1)0, 故对x(,)恒有g(x)g(1), 即g(x)0．

42记g(x)xxlnx, (f'(x2)0对于

121111x2恒成立即f(x2)在,上单调递增, 4242故f(x2)f()3． 422．解： (1) 取BD中点为F, 连结OF, 由题意知, OF//AC, OFAC

QAC为圆O的切线, BC为割线

CA2CDCB, 由AC23,CD2, BC6,BD4,BF2 在RtOBF中, 由勾股定理得, rOBOF2BF24. (2) 由(1)知, OA//BD,OABD

所以四边形OADB为平行四边形, 又因为E为AB的中点, 所以OD与AB交于点E, 所以O,E,D三点共线.

24.解：(1) 由f(x)6, 得a62xa6a(a6), 即其解集为{x|a3x3}, 由题意知f(x)6的解集为{x|2x3}, 所以a1.

(2) 原不等式等价于, 存在实数n, 使得mf(n)f(n)|12n||12n|2恒成立, 即m|12n||12n|2min, 而由绝对值三角不等式, |12n||12n|2, 从而实数m4.

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23.解：(1) 由题意知, C1的普通方程为(x1)2y21

C2的直角坐标方程为yx1.

(2) 设P(1cos2,sin2), 则P到C2的距离dcos(2

2|22cos(2)|, 当244)1, 即232k(kZ)时, d取最小值21, 4此时P点坐标为(1

22,). 22

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