医用高等数学题库

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第一章 函数与极限

1． 设 ，求 ,并作出函数 的图形.

2． 设 , ，求 ，并作出这两个函数的图形.

3． 设 ，求 。

4． 试证下列函数在指定区间内的单调性：

（1)

(2)

5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数，指出其周期：

（1）

（2）

6．设 。试求下列复合函数，并指出x的取值范围.

7．已知对一切实数x均有 ，且f（x）为单调增函数，试证:

8．计算下列极限：

（1）

(2）

（3）

9．（1）设 ，求常数a，b.

（2）已知 ，求a，b。

10．计算下列极限：

（1）

（2） （x为不等于零的常数）

（3）

（4）

（5） （k为正整数）

11．计算下列极限：

（1）

(2）

(3）

（4） （k为常数）

（5）

（6)

（7）

（8） （a>0，b>0,c>0）

(9）

(10）

(11)

（12）

(13）

（14)

（15）

（16)

(17）

（18）

（19）

(20）

（21）

(22）

（23）

（24)

12．当 时，无穷小1—x和（1） （2) 是否同阶？是否等价?

13．证明：当 时,有（1） (2）

14．利用等价无穷小的性质求下列极限：

（1） （n,m为正整数）

（2）

15．试确定常数a,使下列各函数的极限 存在：

（1）

（2）

16．讨论下列函数的连续性：

（1) 的连续性

（2） 在x=0处的连续性

17．设函数 在[0，2a]上连续， ，试证方程 在［0，a］

内至少存在一个实根.

18．设函数 内至少有一点c,使得

在开区间（a，b）内连续，

(其中

，试证：在开区间(a，b））。

第二章 导数与微分

1．讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：

(1）

（2)

2．设 存在，求

3．设 ，问a，b为何值时， 在x=0处可导？

4．已知 ，求 及 ，并问： 是否存在？

5．证明：双曲线 。

上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于

6．问当系数a为何值时，抛物线 与曲线 相切？

7．求下列各函数的导数：

(1)

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

(8) （a〉0）

(9)

(10）

（11)

（12）

（13）

(14)

（15）

(16）

（17）

(18）

（19）

（20)

（21)

（22）

（23）

（24）

8．求曲线 在点 处的切线方程和法线方程.

9．用对数求导法求下列函数的导数：

（1）

（2）

（3）

（4)

（5)

10．求下列隐函数 的导数 ：

（1）

（2） ，求

（3)

（4）

（5）

11．求下列函数的n阶导数:

（1）

（2）

(3）

12．已知函数 ，求 。

13．若 存在，求下列函数y的二阶导数 ：

（1）

（2）

14．求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数:

（1)

（2)

15．求下列函数的微分：

（1）

（2）

(3)

16．计算下列各式的近似值：

(1）

（2）

17．求极限：

（1）

（2）

(3）

（4）

（5）

(6）

(7）

(8）

（9）

(10）

（11）

（12）

（13)

18．确定下列函数的单调区间：

（1）

（2）

（3） （a>0)

(4)

19．求下列函数的极值：

(1）

（2)

（3）

(4)

（5)

(6)

20．求下列函数图形的拐点及凹凸区间:

(1）

（2）

(3）

21．描绘下列函数的图形：

（1）

（2）

(3）

（4）

22．要造一圆柱形油罐，体积为V,问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小?

这时直径与高的比是多少？

23．一火车的锅炉每小时的耗煤费用与速度的立方成正比。已知当速度为每小时20公里时，每小时耗费的煤价为40元.至于其他费用每小时需200元。问当火车行驶的速度为多少时才能使火车从甲地到乙地的总费用最省？

第三章 不定积分

1．求下列不定积分：

（1）

（2)

（3）

（4）

（5）

（6）

2．设有一曲线 ,在其上任一点 处的切线斜率为 ，并知此曲线通过

点（3，2)，求曲线的方程。

3．设有一通过原点的曲线 ，在其上任一点 处切线斜率为 ，

其中a为常数，且知其拐点的横坐标为 ，求曲线的方程。

4．求下列不定积分：

（1)

（2） （ 为常数)

（3）

（4)

（5)

（6）

（7）

(8）

（9)

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

（18)

(19)

（20）

（21）

（22）

5．求下列各不定积分：

（1)

（2）

（3)

（4）

(5）

（6）

（7）

(8）

6．证明下列各式：

（1）

(2)

（3)

(4）

7．求下列各不定积分：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

(6)

(7）

(8)

（9)

（10） 与

8．求下列各有理函数的积分:

（1）

（2）

（3）

(4）

（5）

（6）

（7)

（8）

9．设 是连续函数,求 。

10．如果 的一个原函数是 ，证明：。

11．求

12．试确定常数A，B,使下式成立：

第四章 定积分及其应用

1．比较下列各对积分的大小：

（1）

（2）

（3)

(4）

（5)

2．证明不等式:

3．设 （x>0），求

4．（1）设 ,求

(2）设 ，其中 连续，求

5．设 ，求

6．设 ，求

7．计算下列极限:

（1）

（2)

（3）

8．利用牛顿——莱布尼茨公式计算下列各积分：

（1）

（2）

（3)

（4)

（5）

（6）

（7)

（8）

9．计算下列各积分：

（1）

（2)

（3)

（4）

（5）

（6)

10．计算下列定积分：

（1)

（2）

（3)

（4）

(5)

（6）

（7）

(8)

（9）

（10）

11．利用分部积分法计算下列定积分:

（1）

（2）

（3)

（4）

（5）

（6）

12．利用函数的奇偶性计算下列积分：

(1)

（2）

(3)

13．下列各广义积分如果收敛，求其值：

（1）

（2）

（3）

(4） （a〉0）

（5）

（6）

14．求面积：

(1）求曲线 与直线 所围成的平面图形的面积。

（2）求由抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积。

（3）求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积.

(4）求三次曲线 与直线 所围成的平面图形的面积.

（5）求抛物线 与直线 之间的面积。

15．已知塔高为80米，离它的顶点x米处的水平截面是边长为 形，求塔的体积。

米的正方

16．一立体的底面为一半径为5的圆，已知垂直于底面的一条固定直径的截面都是等边三角形，求立体的体积.

17．一立体的底面为由双曲线 与直线 所围成的平面图形.如果垂直

于x轴的立体截面分别是：

（1）正方形；(2）等边三角形;(3）高为3的等腰三角形；

求各种情况的立体体积。

18．直径为20cm,高为80cm的圆柱体内充满压强为10 不变,要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？

的蒸汽。设温度保持

第五章 微分方程

1．下列等式中哪些是微分方程?

（1）

（2）

(3）

（4)

（5）

2．说出下列微分方程的阶数：

(1）

（2）

(3）

（4）

3．求下列微分方程的通解:

（1）

（2）

（3)

4．求下列微分方程满足所给初值条件的特解：

（1）

(2）

5．用分离变量法求下列各微分方程的通解:

(1）

(2）

（3)

（4)

6．求下列齐次微分方程的通解：

(1）

（2）

（3）

7．求满足下列微分方程和初始条件的特解：

（1)

(2）

（3）

（4）

（5）

（6）

(7）

（8)

（9）

8．求解下列微分方程：

(1）

（2）

（3）

（4）

(5）

（6）

(7)

（8）

(9）

（10)

（11）

（12)

（13)

（14）

（15）

（16）

9．质量为1kg的质点受外力的作用作直线运动，该力和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在t=10s时，速度为45

，力为4N.问从运动开始经过20s后的速度为多少？

10．一桶内有100 的水，现以浓度为2 的盐溶液用3 的速率注入桶

内，同时，被搅拌均匀的混合溶液以同样的速率流出。

(1)求任一时刻t桶内盐的含量m；

（2）何时桶内存盐100kg?

11．设汽车A从原点出发，以固定速度 固定速度

出发（

沿y轴正向行驶,汽车B从 以

)，其速度方向永远指向汽车A，求汽车B的运动轨迹。

12．在某粘性液体中，一单位质点P受一力作用沿直线运动，该力与P点到原点O的距离成正比(比例系数为10)，粘性液体的阻力与运动速度成正比（比例系数为3),求该质点的运动规律(运动开始时，质点P静止，距原点kcm）。

第六章 概率论初步

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：

(1）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2,，，3，4，5,从中同时取3只球，球的最小号码为1。

（2）在1，2，3，4四个数中可重复地取两个数，一个数是另一个数的2倍。

（3)将a，b两个球随机地放到三个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球。

(4）10件产品中有一件废品,从中任取两件得一件废品。

（5)两个口袋各装一个白球与一个黑球，从一袋中任取一球记下其颜色放入第二袋，搅匀后再从第二袋中任取一球,两次取出的球有相同的颜色。

(6）重复掷硬币，掷了偶次后才第一次得到正面。

2．在数学系学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

（1)叙述事件 的意义。

(2）在什么条件下ABC=C成立?

（3）什么时候关系式 成立？

（4）什么时候 成立？

3．将下列事件用A，B，C表示出来:

(1）A发生

（2）只有A发生

（3）A与B都发生而C不发生

(4）三个事件都发生

（5)三个事件中至少有一个发生

（6）三个事件中至少有两个发生

（7）三个事件中恰好发生一个

（8）三个事件中恰好发生两个

（9)三个事件都不发生

（10）三个事件中不多于二个事件发生

(11）三个事件中不多于一个事件发生

4．证明下列各式：

（1）

(2）

(3）

（4）

（5)

（6）

5．证明下列各式：

（1)

（2)

（3）

(4)

6．一部五卷文集任意地排列到书架上，问卷号自左向右或自右向左恰好为12345的顺序的概率等于多少？

7．把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，从这些小立方体中任取一个，求所取小立方体有k面(k=0,1,2,3)涂有颜色的概率

。

8．甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1,3,5，7,9中任取一数。求甲取的数大于乙取的数的概率。

9．在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车\"，求他们正好可以互相吃掉的概率.

10．一批灯泡有40只，其中3只是坏的，从中任取5只检查。问:

(1)5只都是好的概率为多少？

（2）5只中有2只坏的概率为多少？

11．一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7为乘客。电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯，设没位乘客在每层离开都是等能的，求没有2为乘客在同一层离开的概率。

12．一个班级有2n个男生及2n个女生，把全班学生任意的分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等的概率。

13．公共汽车每隔五分钟有一辆汽车到站,乘客到汽车站的时刻是任意的.求一个乘客候车时间不超过三分钟的概率。

14．平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分为边长为a的正方形.向平面任意地透一半径为r(2r〈a)的圆，求此圆不与平行线相交的概率。

15．在三角形ABC中任取一点P,证明： 。

的面积之比大于 的概率为

16．两艘船都要停靠在同一码头，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠的

时间分别为1小时和2小时，求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率。

17．把长为1的棒任意地折成三段，求：

(1）三小段的长度都不超过a 的概率。

（2）三小段能构成一个三角形的概率。

18．从装有a个白球及b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，取后都不放回，直至两人中有一人取到白球为止.试给出描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙取到白球的概率。

19．设 为两个随机事件,证明：

（1）

（2）

（3）

20．在某城市中共发行三种报纸：甲,乙,丙。在这城市的居民中订甲报的有45%，订乙报的有35％，订丙报的有30％，同时订甲，乙两报的有10%，同时订乙，丙两报的有5％，同时订三种报的有3％,求下列百分比：

（1）只订甲报的;

（2）只订甲，乙两报的；

（3）只订一种报纸的；

（4)正好订两种报纸的；

（5）至少订一种报纸的；

（6）不订任何报纸的。

21．已知一个家庭有三个小孩,且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。（假设一个小孩为男或女是等可能的）

22．设M件产品中有m件废品，从中任取两件.

(1）在所取产品中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率；

（2）在所取产品中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率.

23．乒乓球盒中有15只球，其中9只是没有用过的新球。第一次比赛时任取3只使用,用毕返回。第二次比赛时也任取3只球,求次3只球全是没有用过的概率。

24．某射手射靶五次，各次命中的概率为0。6，求下列各事件的概率：

(1)前三次中靶，后两次脱靶;

（2）第一，三，五次中靶，第二，四次脱靶;

（3）五次中恰有三次中靶.

25．一架轰炸机袭击1号目标，另一架轰炸机袭击2号目标，击中1号目标的概率为0。8，击中2号目标的概率为0.5，求至少击中一个目标的概率。

26．一口袋中装有m个白球,n—m个黑球，连续不返回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 个白球，求 的分布列.

27．每年袭击某地的台风次数近似服从 的普哇松分布,求

（1）该地一年中受台风袭击次数〈6的概率

（2）一年中该地受到台风袭击的次数为7～9次的概率。

28．一个射手射击了n次，每次射中的概率为p，设第n次射击是射中的，且为第 次射中，求 的分布列。

29．设随机变量 与 的分布列为

已知 ，求 。

30．已知随机变量 的密度函数为

（1)求相应的分布函数F(x）

（2）求

31．设随机变量 具有分布：

求 .

32．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，求查得废品数的数学期望。

33．在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现为止，求平均试验次数。

34．从一个装有m个白球，n个黑球的袋中不返回的摸球，直到摸到白球为止，求已取出黑球数的数学期望。

35．设随机变量 具有密度函数： ,求E ，D 。

36．甲乙两人进行比赛,每局中甲胜的概率为p，乙胜的概率为1-p。比赛进行到有一人连胜两局为止。以 表示比赛的局数，求E ，D 。