2020-2021学年山东省烟台市莱州市八年级（上）期中数学试卷
（五四学制）
一、选择题（本题共10个小题）每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确善案的标号填在表格内. 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A．x3﹣x＝x（x﹣1）
B．x2+6x+9＝（x+3）2 C．（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2 D．x2﹣y2＝（x﹣y）2
2．计算÷•的结果是（ ） A．
B．x
C．
D．2y
3．下列代数式不是完全平方式的是（ ） A．112mn+49m2+64n2 C．m2n2+2mn+4 4．解分式方程
+
B．4m2+20mn+25n2 D．m2+16m+64
＝3时，去分母后变形正确的是（ ）
B．2﹣x+2＝3（x﹣1） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） C．2﹣（x+2）＝3
5．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A．众数是11
B．平均数是12
C．方差是
D．中位数是13
6．（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ） A．﹣22019
B．﹣22020
C．22019
D．﹣2
7．某校选拔五名运动员参加市阳光体育运动会，这五名队员的年龄分别是17、15、17、16、15，其方差是0.8，则三年后这五名队员年龄的方差（ ） A．变大
B．变小
C．不变
D．无法确定
8．一组数据由5个整数组成，已知中位数是10，唯一众数是12，则这组数据和的最大值可能是（ ）
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A．50 B．51 C．52 D．53
9．某天上午8：00小李从家中出发，以2米/秒的速度于8：15到了商店，然后以2.5米/秒的速度于8：20到达书店，则小李从家到书店的平均速度为（ ） A．2.25
B．2.125
C．2.175
D．2.225
10．“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务．开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治x米，那么所列方程正确的是（ ） A．C．
+﹣
＝4 ＝4
B．D．
﹣﹣
＝200 ＝200
二．填空题（本题共10个小题） 11．在式子、
、
、
、+、9x+
中，分式有 个．
12．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝ ． 13．已知
＝3，则
＝ ．
14．计算93﹣92﹣8×92的结果是 ．
15．已知实数x满足x2+3x﹣1＝0，则代数式x﹣﹣1的值为 ． 16．如果a+b＝10，ab＝19，则a2b+ab2的值为 ． 17．已知两个分式：A＝
，B＝
，其中x≠±2，则A与B的关系是 ．
18．有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4．则这组数据的标准差是 ． 19．如图是第29届北京奥运会上获得金牌总数前六名国家的统计图，则这组金牌数的中位数是 枚．
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20．若关于x的分式方程＝2a无解，则a的值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，解答题要写出必要的文字说明或说理过程或演算步骤）. 21．因式分解：
（1）a2﹣1+b2﹣2ab； （2）（p4+q4）2﹣（2p2q2）2． 22．先化简，再求值：（合适的数代入求值． 23．解分式方程： （1）（2）
++
＝1； ＝
． ﹣a+1）÷
，其中从a从﹣1，2，3中取一个你认为
24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
25．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车厂生产的某型号自行车去年销售总额为8万元．今年该型号自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型号车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求该型号自行车去年每辆售价多少元？ 26．观察下列各式： 9﹣1＝4×2＝8； 16﹣4＝6×2＝12； 25﹣9＝8×2＝16；
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36﹣16＝10×2＝20； ……
（1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是 ． （2）用含n的等式证明这个规律． 27．求当x为何值时，分式
的值为正数．
28．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地单位时间内现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如图表所示（单位mm）： A B
平均数 20 20
方差 0.026 SB2
完全符合要求个数
2
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为哪个同学的成绩好些？ （2）计算出SB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？ （3）考虑图中折线走势，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
29．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程，为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 ，并把条形统计图补充完
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整；
（3）该校八年级共有学生400名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为多少？
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2020-2021学年山东省烟台市莱州市八年级（上）期中数学试卷
（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题）每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确善案的标号填在表格内. 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A．x3﹣x＝x（x﹣1）
B．x2+6x+9＝（x+3）2 C．（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2 D．x2﹣y2＝（x﹣y）2
【解答】解：A、x3﹣x＝x（x2﹣1），故此选项不符合题意； B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；C、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
D、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），故此选项不符合题意； 故选：B．
2．计算÷•的结果是（ ） A．
B．x
C．
【解答】解：原式＝•• ＝
．
故选：A．
3．下列代数式不是完全平方式的是（ ） A．112mn+49m2+64n2 B．4m2+20mn+25n2 C．m2n2+2mn+4
D．m2+16m+64
【解答】解：A、原式＝（7m+8n）2，故本选项不符合题意． B、原式＝（2m+5n）2，故本选项不符合题意． C、该代数式不是完全平方式，故本选项符合题意．
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D．2y
D、原式＝（m+8）2，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．解分式方程
+
＝3时，去分母后变形正确的是（ ）
B．2﹣x+2＝3（x﹣1） D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
﹣
＝3，
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） C．2﹣（x+2）＝3 【解答】解：方程变形得：
去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1）， 故选：D．
5．冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A．众数是11
B．平均数是12
C．方差是
D．中位数是13
【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；
将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D符合题意；
＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；
2222S2＝[（10﹣12）+（11﹣12）×3+（13﹣12）×2+（15﹣12）]＝
，因此方差为，
于是选项C不符合题意； 故选：D．
6．（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ） A．﹣22019
B．﹣22020
C．22019
D．﹣2
【解答】解：（﹣2）2019+（﹣2）2020 ＝（﹣2）2019×（1﹣2） ＝22019． 故选：C．
7．某校选拔五名运动员参加市阳光体育运动会，这五名队员的年龄分别是17、15、17、16、15，其方差是0.8，则三年后这五名队员年龄的方差（ ） A．变大
B．变小 C．不变
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D．无法确定
【解答】解：由于方差反映的数据的波动大小，而3年后，这五名队员与现在的波动情况是相等的，方差仍为0.8，
则三年后这五名队员年龄的方差不变． 故选：C．
8．一组数据由5个整数组成，已知中位数是10，唯一众数是12，则这组数据和的最大值可能是（ ） A．50
B．51
C．52
D．53
【解答】解：∵中位数是10，唯一众数是12，
∴这5个数按由小到大排列时，后面三个数为10，12，12， 当前面两个数为8和9时，这组数据和最大，最大值为51． 故选：B．
9．某天上午8：00小李从家中出发，以2米/秒的速度于8：15到了商店，然后以2.5米/秒的速度于8：20到达书店，则小李从家到书店的平均速度为（ ） A．2.25
B．2.125
C．2.175
D．2.225
【解答】解：∵小李从家中出发，以2米/秒的速度行驶了15分钟到商店，又以2.5米/秒的速度行驶了5分钟到书店， ∴小李从家到书店的平均速度＝故选：B．
10．“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，某工程队承担一条4800米长的河道整治任务．开工后，实际每天比原计划多整治200米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天整治x米，那么所列方程正确的是（ ） A．C．
+﹣
＝4 ＝4
B．D．
﹣﹣
＝200 ＝200 天，实际用时为：
天．
＝2.125（米/秒）．
【解答】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：所列方程为：故选：C．
二．填空题（本题共10个小题）
﹣
＝4，
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11．在式子、、、、9x+
、+、9x+中，分式有 3 个．
【解答】解：式子、有字母，不是分式． 故答案是：3．
的分母中含有字母，属于分式，其他的分母中不含
12．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ． 【解答】解：xy2﹣4x ＝x（y2﹣4） ＝x（y+2）（y﹣2）． 故答案为：x（y+2）（y﹣2）． 13．已知
＝3，则
＝3，
＝ 4 ．
【解答】解：∵∴x﹣y＝﹣3xy， ∴＝＝＝4
故答案为：4．
14．计算93﹣92﹣8×92的结果是 0 ．
【解答】解：93﹣92﹣8×92＝92（9﹣1﹣8）＝0， 故答案为0．
15．已知实数x满足x2+3x﹣1＝0，则代数式x﹣﹣1的值为 ﹣4 ． 【解答】解：已知等式整理得：x﹣＝﹣3， 则原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 故答案为：﹣4．
16．如果a+b＝10，ab＝19，则a2b+ab2的值为 190 ． 【解答】解：a2b+ab2
第9页（共16页）
＝ab（a+b） ＝19×10 ＝190． 故答案为：190． 17．已知两个分式：A＝相反数 ． 【解答】解：B＝而A＝
，
＝
＝
＝
，
，B＝
，其中x≠±2，则A与B的关系是 互为
∴A与B的关系是互为相反数．
18．有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4．则这组数据的标准差是 【解答】解：（2+3+a+5+6）＝4， 解得a＝4，
S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（6﹣4）2]＝2， 则这组数据的标准差是故答案为：
．
．
．
19．如图是第29届北京奥运会上获得金牌总数前六名国家的统计图，则这组金牌数的中位数是 21 枚．
【解答】解：从小到大排列为：14，16，19，23，36，51， 根据中位数的定义知其中位数为（19+23）÷2＝21． ∴这组金牌数的中位数是21（枚）．
第10页（共16页）
故填21．
20．若关于x的分式方程【解答】解：去分母得： x﹣3a＝2a（x﹣3）， 整理得：（1﹣2a）x＝﹣3a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝； 当1﹣2a≠0时，x＝则a＝1，
故关于x的分式方程故答案为：1或．
三、解答题（本大题共9个小题，解答题要写出必要的文字说明或说理过程或演算步骤）. 21．因式分解：
（1）a2﹣1+b2﹣2ab； （2）（p4+q4）2﹣（2p2q2）2．
【解答】解：（1）原式＝（a2﹣2ab+b2）﹣1 ＝（a﹣b）2﹣1
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）；
（2）原式＝（p4+q4+2p2q2）（p4+q4﹣2p2q2） ＝（p2+q2）2（p2﹣q2）2
＝（p2+q2）2（p+q）2（p﹣q）2． 22．先化简，再求值：（合适的数代入求值． 【解答】解：原式＝＝
﹣a+1）÷
，其中从a从﹣1，2，3中取一个你认为
＝2a无解，则a的值为：1或． ＝3时，分式方程无解，
＝2a无解，则a的值为 1或 ．
第11页（共16页）
＝＝＝
＝﹣a﹣1， ∵a≠﹣1且a≠2， ∴a＝3，
原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 23．解分式方程： （1）（2）
++
＝1； ＝
．
【解答】解：（1）方程两边同乘以x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3， 解这个方程，得x＝2，
检验，当x＝2时，原方程中的各个分母均不为零， 所以，x＝2是原分式方程的根． 所以，原方程的根为x＝2；
（2）方程两边同乘以（ x+1）（ x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）＝6， 解这个方程，得x＝1，
检验，当x＝1时，原方程中分式所以，x＝1是原方程的增根 所以，原方程无解．
24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 2004 次，
第12页（共16页）
的分母的值为零，
结果是 （1+x）2005 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．
（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．
（3）解：原式＝（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n， ＝（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n， ＝（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n， ＝（x+1）n+x（x+1）n， ＝（x+1）n+1．
25．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车厂生产的某型号自行车去年销售总额为8万元．今年该型号自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型号车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求该型号自行车去年每辆售价多少元？
【解答】解：设该型号自行车去年每辆售价为x元，则今年每辆售价为（x﹣200）元． 根据题意，得：解得：x＝2000，
经检验，x＝2000是原方程的根．
答：该型号自行车去年每辆售价为2000元． 26．观察下列各式： 9﹣1＝4×2＝8； 16﹣4＝6×2＝12； 25﹣9＝8×2＝16； 36﹣16＝10×2＝20； ……
（1）这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律是 （n+2）2﹣n2＝4（n+1） ． （2）用含n的等式证明这个规律．
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＝，
【解答】解：（1）∵9﹣1＝4×2＝8； 16﹣4＝6×2＝12； 25﹣9＝8×2＝16； 36﹣16＝10×2＝20； …，
∴第n个式子是（n+2）2﹣n2＝2（2n+2）＝4（n+1）， 故答案为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）； （2）证明：∵（n+2）2﹣n2 ＝n2+4n+4﹣n2 ＝4n+4 ＝4（n+1），
∴（n+2）2﹣n2＝4（n+1）成立． 27．求当x为何值时，分式
的值为正数．
【解答】解：∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0， 当x2﹣2x+1＝0，即x＝1时，分式无意义， ∴x2﹣2x+1＞0，
∴只有当3﹣x＞0时，才能使分式∴当x＜3且x≠1时，分式
的值为正数，
的值为正数．
28．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地单位时间内现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如图表所示（单位mm）： A B
平均数 20 20
方差 0.026 SB2
完全符合要求个数
2
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为哪个同学的成绩好些？ （2）计算出SB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？ （3）考虑图中折线走势，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
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【解答】解：（1）表中B完全符合的个数为5，
根据表中数据可看出，A、B的平均数相同，而B完全符合要求的件数多，B的成绩好些． （2）∵＝0.008，∴
， ＝
×[3×（19.9﹣20）2+5×（20﹣20）2+（20.1﹣20）2+（20.2﹣20）2]
，
∴在平均数相同的情况下，B的波动小，B的成绩更好一些．
（3）从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，而B比较稳定，潜力小，所以派A去参赛较合适．
29．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程，为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 40 名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 54° ，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生400名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为多少？
第15页（共16页）
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（名）， 故答案为：40；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是：360°×故答案为：54°，
C级的人数为：40×35%＝14，补充完整的条形统计图如右图所示； （3）400×
＝60（人），
＝54°，
即优秀的有60人．
第16页（共16页）
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