数学建模实验报告

数学建模实验报告

班级：信息81 学号：07052023 姓名：杨帆

实验一 ： 实验题目：

有3名商人各带一个仆人乘船渡河，小船只能容纳两个人，由他们自己划船。仆人们约定，在河的一岸，一旦仆人的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手里。问商人们怎样才能安全渡河？ 实验过程： 问题分析：

这是是一个多步决策问题。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸回到此岸，都要对船上的商人和仆人的个数作出决策。在保证安全的前提下，在有限步内使全部人员过河。采用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上人员状况。可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态允许范围内（安全渡河的条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的条件 1.建立数学模型：

1）允许状态集合S：安全渡河条件下的状态集合为允许的状态集合，记作S,依次用二维向量表示商人仆人的状态，设第k次渡河前左岸的商人数为xk，仆人数为yk，k=1,2,…，则状态变量为（xk，yk），其中xk，yk取值为0，1，2，3。容易知道该集合为

S={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(3,0),(3,1),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3)} —— (1.1) S共10种状态。每种安全状态既要满足左岸安全，同时右岸也要安全。

2)允许决策集（划船方式）D

记第k次渡河船上的商人数为uk，仆人数为vk，则决策变量为dk=（uk,vk）。允许的决策集合记为D，由船的容量可知D的集合为D={（2，0），（0，2），（1，1），（1，0），（0，1）} —— (1.2) 每次有5种决策可供选择。由于k为奇数时船从左岸到右岸，k为偶数时船从右岸到左岸，因此状态sk随决策dk而变化的规律为 S0=(3,3)

Sk=sk-1+(-1)kdk，k=1,2,3… ——

(1.3)

式（1.3）称为状态转移规律。则制定安全的渡河方案问题转化为：由初始状态 (3，3)出发，经奇数次上述运算转化为状态(0,0)的过程。并且步数n要求尽量小。 2.具体实验过程：

模型求解：采用三维向量（x,y,z）来表示状态量。X表示左岸商人数（x=0,1,2,3），y表示左岸仆人数（y=0,1,2,3），z表示船在左岸还是右岸（z=1表示船在左岸，z=0表示船在右岸）。则总共有20个状态，可以建立20个顶点的图。利用穷举法意欲在计算机上求解 ，如果计算过程中出现循环，则说明无解。

用状态向量表示（只表示左岸状态）如下：

(3,3) (3,1) (3,2) (3,0) (3,1) (1,1) (2,2) (0,2) (0,3) (0,1) (0,2) (0,0)

或者为

(3,3) (2,2) (3,2) (3,0) (3,1) (1,1) (2,2) (0,2) (0,3) (0,1) (0,2) (0,0) 共有两种步数最少的渡河方法。

标号 船在左岸 船在右岸 标号 1 (3,3,1) (3,3,0) 2 (3,2,1) (3,2,0) 3 (3,1,1) (3,1,0) 4 (3,0,1) (3,0,0) 5 (2,2,1) (2,2,0) 6 (1,1,1) (1,1,0) 7 (0,3,1) (0,3,0) 8 (0,2,1) (0,2,0) 9 (0,1,1) (0,1,0) 10

(0,0,1)

(0,0,0)

图2状态转移图

12 1 13 2 14 3 16 15 6 5 20 8 19 7 18 图3

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

编写matlab程序如下：

a=[0,0;0,1;0,2;0,3;3,0;3,1;3,2;3,3;1,1;2,2]; d=[0,2;2,0;1,1;0,1;1,0]; s1=[3,3]; s2=[3,3]; ld=0;%上次决策 posable=1; k=1; clc;

while sum(s2)~=0 if posable==1 disp(s2); end s1=s2; posable=0; ind=0; for m=1:5 if ind==1 break; else

%p=(-1)^k;

%k为偶数时候的决策不应该和上次的一样，否则会形成死循环 if mod(k,2)==0 if ld==m

dd=mod(ld,5)+1; s2=s1+d(dd,:);

dm=dd;%本次采用第dm个决策 else

s2=s1+d(m,:);

dm=m;%本次采用第dm个决策 end else

s2=s1-d(m,:);

dm=m;%本次采用第dm个决策 end % end if mod(k,2)==0 end %end if ind==1

for n=1:10

if (s2(1,1)==a(n,1)) & (s2(1,2)==a(n,2)) ld=dm;%本次采用的第dm个决策是个可行决策 s=strcat('第',num2str(k)); s=strcat(s,'次采用的可行决策:'); s=strcat(s,num2str(d(ld,:))); disp(s); k=k+1;%决策次数

ind=1;%指示跳出for m=1:5循环 posable=1;%s2 属于a break;

end %end if s(k+1,1)==a(n,1) & s(k+1,2)==a(n,2) end %end for n=1:10 end %end for m=1:5 end %end while sum(s(k,:))~=0 disp(s2);

实验二：

实验题目：草原鼠患问题

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的

办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。

控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法: (1) 灭鼠药 现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。

(2) 引入老鼠的天敌 通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等， 将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。

(3) 人工种植牧草 鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在

这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。

任务1：建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；

任务2：对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；

任务3：通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

模型建立：任务1：建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题； 方案1灭鼠药：由于用灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。在没有足够资金时间研制无公害灭鼠药前，此模型类似于马尔萨斯人口（Malthus）模型，

假设：老鼠数量增长率r是常数

记时刻t=0时老鼠数为x0，时刻t的老鼠为x(t)，t到鼠的增量为：

时间内老

于是x(t)满足微分方程：

求解得：当

时，

，如果长期用这种药灭鼠，不仅没有起到灭鼠

的效果，反而把老鼠的天地给杀死了，浪费资金和时间，破坏生态，非常糟糕。

短期采用灭鼠药可以暂时减少老鼠的数量，但不能彻底解决鼠患问题，而且灭鼠药可能会危害到草原生态环境。所以需要研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。 方案2：引入老鼠的天敌

两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在t 时刻的数量为x(t),y(t)，则

线性化，得

dxr1f1(x)g1(y)xdtdyr2f2(x)g2(y)ydtdxx(a10a11xa12y)dtdyy(aaxay)202122dt1) a 10 ( a 20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2)

a110,a220a110,a220 表示甲（乙）种群为非密度制约，

表示甲（乙）种群为密度制约；

0, a 0 表示甲、乙种群相互竞争； 12 3) a 21

12 4) a 0, a 21  0 表示甲、乙种群相互依存；

5) a 12 a 21  0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。 假设：

记三个种群分别为 A B C 并约定 1)种群 A 供食于种群 B 表示为 A B 2)种群 A 为密度制约可表示为 A 3)种群 A 不主要靠吃本系统为生， A

下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型） 设A表示鹰、狐狸、狼等，B表示老鼠，C表示草原 A，B，C在t时刻的密度分别为 x1(t), x2(t),x3(t)所以可得如下方程：

dx1dtx1(a10a11x1a12x2)dx2x2(a20a21x1a22x2a23x3)dtdx3dtx3(a30a32x2a33x3)aij0,i,j1,2,3;ai00,i1,2,3

这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。 方案3 人工种植牧草

鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。利用

草场植被密集度，使老鼠不易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增，稳定在一定数量内。 可以用阻滞增长模型（Logistic模型） 假设

1）老鼠增长率r为数量x(t)的函数r(x)(减函数)，最简单假设r(x)=r-sr，r,s>0(线性函数)，r叫做固有增长率

2）自然资源和环境条件容纳的最大数量容量xm. 建立模型

当x=xm时，增长率应为0，即r(xm)=0，于是

，代入r(x)=r-sx得：

解得:

根据上述方程作出

和的图像如下

dx dt x xm x02 x0 o ： xm2 xm x o 图1-2 x~t曲线t dx~x图1-1dt 曲线图 由图可以看到，经过长期种植牧草能有效地控制老鼠的数量，使其稳定在一定范围内。但草原上的人工牧草很难种植且易退化，因此需要研究生长力顽强的草类来种植，草原上的草恢复需要很长一段时间，而且需要付出大量的人工劳动。

任务2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议.

其实，鼠害之所以泛滥，除草原生态环境的恶化之外，还有气候的、

文化的、经济的乃至社会的多种复杂的原因。而鼠类作为一种生物种，其自身的生存环境也已受到严重破坏。如果从鼠类而非人类的角度讲，或许就不会有鼠害一说。它们的种群扩张及数量的急剧增长，可以理解为诸如人口的急剧增加之类的现象。而气候的干暖化趋势则为它们提供了加速繁殖的有利条件。

因此，想要根除鼠患，必须从多方面着手，以上提出的三个方面必须同时下手，并且在引入一下新的方法，例如环境灭鼠：老鼠需要水、食物以及隐蔽的栖息条件，才能生存和繁殖。因此，创造一个不适宜其生存的环境，就能使一个地方的鼠量大大下降，并能使灭鼠成果容易得到巩固。所以我们首先要搞好环境卫生、清除住宅周围的杂草、随意堆放的物品，经常清扫室内外卫生，各种用具杂物收拾整齐，衣箱、衣柜以及书籍、鞋帽等要经常检查，不使鼠类营巢。

任务3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

这是网上关于银狐治理鼠患的报道，可以用来验证我的模型结果：

这些老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外大量囤积牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面竟然可以囤草25—40公斤之多。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

鼠害的发生无疑再次加重环境的破坏程度，从而形成了恶性循环。草原站的工作人员告诉记者，近几年，阿拉善盟草原如今鼠害发生面积已经达到3000万亩。草场内到处都是大大小小的鼠洞；在这些鼠洞上一踩，地面就会全部塌陷下去，牧草根部的土地都是空的。

为了治理鼠害，草原站的工作人员在草场上放置捕鼠夹，给牧民发放灭鼠药。但是，牧场实在是地广人稀，鼠多人少，所以这些“土”办法在草原上效果并不大 银狐，是人工驯化时间相对较短、野外生存能力较强的老鼠天敌。工作人员把11只从宁夏引进的银狐放入了草场。 老鼠们在大草原上太过于猖狂了！于是，11只银狐特意从宁夏“赶”往内蒙古草原，它们要来一场灭鼠行动。

近日，记者从内蒙古自治区草原工作站了解到，为了治理草原鼠害，内蒙古阿拉善盟草原首次引进了11只银狐，工作人员希望，这些狐狸能大量捕食草原大沙鼠、跳鼠、子午沙鼠……

“后来我们听说宁夏开展银狐防治鼠害效果非常好，于是就从宁夏引进了11只银狐。”

银狐，是人工驯化时间相对较短、野外生存能力较强的老鼠天敌。虽然这些狐狸都是人工驯养的，但是它们受过野化训练以后，都恢复了捕捉老鼠的天性。 据透露，这11只银狐现在还处于观察期。

评价银狐防治的效果需要对引入银狐以后当地生态的安全进行评价 其实，目前应用银狐防治草原鼠害是否可行现在还没有定论。作为我国森林鼠害治理学科带头人，西北农林科技大学林学院林研所副所长韩崇选在接受本报记者采访时如是表示。

此外，由于银狐是由人工繁育的，狐狸和人的接触机会非常频繁，因此可能带来一些人畜共患的疾病。这对于当地兽类和人的安全没有办法评估。利用银狐防治鼠害现在还只是试验阶段，类似的试验最后确定是否可行需要7到8年的时间。

专家观点

生态防治是未来发展方向

“药物灭鼠是一种永远不会被淘汰的方法。”韩教授介绍说，现在药剂逐渐向着无公害的方向发展，因此无公害的药物在对付鼠害中还将有着大量的应用。他同时表示，生态防治是未来的发展方向。

现在中国新疆，内蒙古，甘肃，陕西，青藏高原等地区的鼠害都非常严重，每个地区的灾害情况、原因都不同，因此要采取不同的方法。比如陕西当地的猫头鹰，数量比较多，因此就用猫头鹰，是鼠类天敌进行防治，新疆现在也开始了银狐防治的试验。“

实验三：

实验题目：假定要用层次分析法对诺基亚、摩托罗拉、三星、索爱四种智能手机进行排名，要求考虑的因素有价格、性能、款式、售后服务四个因素，请你完成以下步骤:

(1) 给出确定该排名次序的层次结构模型；

(2) 运用层次分析法得到该问题最后排名的整个过程； 实验过程：

(1) 建立层次结构模型：

目标层O 买手机

准则层C 价格C1 性能C2 款式C3 售后服务C4

方案层P 诺基亚P1 摩托罗拉P2 三星P3 索爱P4 (2) 构造成对比较矩阵O-C判断矩阵： O C1 C2 C3 C4 C1 1 1/7 1/3 1/5 C2 7 1 1/2 1/3 C3 3 2 1 2 C4 5 3 1/2 1 W 0.6096 0.1792 0.1006 0.1106 （3）计算层次单排序的权向量和一致性检验：

求出最大特征根、特征向量、一致性指标和随机一致性比率。 运行如下程序：

a=[1,7,3,5;1/7,1,2,3;1/3,1/2,1,1/2;1/5,1/3,2,1]; [tzxl,tzz]=eig(a) 得tzxl =

0.9339 -0.9434 -0.9434 0.9230 0.2746 0.0245 - 0.2556i 0.0245 + 0.2556i -0.2527 0.1541 0.0159 + 0.1486i 0.0159 - 0.1486i -0.2003 0.1695 0.1477 - 0.0009i 0.1477 + 0.0009i 0.2100 tzz =

4.4605 0 0 0 0 -0.0154 + 1.4285i 0 0 0 0 -0.0154 - 1.4285i 0 0 0 0 -0.4296

最大特征值λmax=4.4605,CI=0.1535,

一致性比率：CR=0.0384<0.1，因此通过一致性检验，该权重可作为4个因素C1，C2，C3，C4的权值。 C1-P判断矩阵： C1 P1 P2 P3 P4

P1 1 1/5 1/2 1/3 P2 5 1 2 2 P3 2 1/2 1 1/2 P4 3 1/2 2 1 W 0.4880 0.0999 0.2515 0.1606 C2-P判断矩阵： C2 P1 P2 P3 P4 P1 1 1/4 1/3 1/2 P2 4 1 2 2 P3 3 1/2 1 1/2 P4 2 1/2 2 1 W 0.4046 0.2275 0.2019 0.1660 C3-P判断矩阵： C3 P1 P2 P3 P4

C4-P判断矩阵： C4 P1 P2 P3 P4

P1 1 1/5 1/3 1/3 P2 5 1 2 2 P3 3 1/2 1 1/2 P4 3 1/2 2 1 W 0.5263 0.0960 0.2217 0.1560 P1 1 1/2 3 3 P2 2 1 3 3 P3 1/3 1/3 1 2 P4 1/3 1/3 1/2 1 W 0.1464 0.1036 0.3106 0.4394

各方案对总目标O的层次总排序如下： C P P1 P2 P3 P4 C1 0.6096 0.4880 0.0999 0.2515 0.1606 C2 0.1792 0.4046 0.2275 0.2019 0.1660 C3 0.1006 0.1464 0.1036 0.3106 0.4394 C4 0.1106 0.5263 0.0960 0.2217 0.1560 0.4429 0.1227 0.2453 0.1891 Y 从计算结果来看，方案1的总权重最大，为0.4429。因此，买诺基亚的手机比较好。