一．选择题（共10小题）
1．如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．图（1）中∠1与∠2是一组对顶角
B．图（2）中∠1与∠2是一组对顶角 C．图（3）中∠1与∠2是一组邻补角 D．图（4）中∠1与∠2是互为邻补角 2．实数，
，
，﹣0.125，中无理数的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（3，2）
B．（﹣3，﹣2）
C．（3，﹣2）
D．（﹣3，2）
4．下列方程是二元一次方程的是（ ） A．x+2＝1
B．x2+2y＝2
C．
D．
5．根据不等式的基本性质，以下各题的结论正确的是（ ） A．若a≥b，则5b≤5a B．若b﹣3a＞0，则b＜3a
C．若﹣5x≥20，则x≥﹣4 D．若a≤b，则ac≤bc
6．下列各式中，正确的是（ ） A．
＝±4
B．
C．
D．
7．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
的结果为（ ）
8．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1﹣a|+
A．1
B．﹣1
C．1﹣2a
D．2a﹣1
9．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC＝（ ）
A．540°﹣5α
B．540°﹣6α
C．30°
D．40°
10．已知a为正整数，关于x、y的方程组A．1或16
B．4或16
的解都是整数，则a2＝（ ） C．1
D．16
二．填空题（共8小题）
11．已知方程x﹣2y＝3，用含x的式子表示y＝ ．
12．将命题“正方形的四条边都相等”改为“如果…那么…”的形式为 ． 13．已知a、b为两个连续的整数，且a＜14．已知
＜b，则a+b＝ ．
是方程3x﹣ay＝8的解，则a＝ ．
15．如图，下列条件中能得到AB∥CD的有 ．
（1）∠1＝∠2 （2）∠2＝∠3 （3）∠1＝∠4 （4）∠3＝∠4
16．我国古代数学专著《九章算术》中记载了一道题，今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两．问牛羊各直金几何？大意是：已知买五头牛和两头羊，需花费十两黄金；买两头牛，五头羊需花费八两黄金．若设买一头牛需花费x两黄金，买一只羊需要花费y两黄金，那么可列方程组为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ．
18．若关于x，y的方程组三．解答题（共6小题） 19．计算：20．解方程组：
．
﹣1≥x．
的解满足x＞y，p的取值范围为 ．
21．解不等式，并在数轴上表示出它的解集：
22．已知5a+2的立方根是3，4a+2b﹣8的算术平方根是4，求a+3b的平方根． 23．已知△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为（﹣1，4），（﹣2，2），（1，3） （1）在坐标系中画出△ABC，把△ABC先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．
（2）△ABC中的任意一点P（m，n）经平移后的对应点为Q，写出Q点的坐标是 （用含m，n的式子表示）
24．如图，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且∠B＝∠3，ED平分∠BEF， 求证：∠1＝∠4．
25.白鹭飞跃，河水泛起涟漪；清风徐来，建筑的倒影在碧波上荡漾，流花溪位于仓山区高宅村内，作为福州水系统综合治理的重点项目，伴随着福州水系综合治理的冲锋号一路“护航”，经过两年的治理，消除了黑臭、畅通了水脉、种下了美景，焕发了全新的活力．近来更成了网红“打卡”地．
如今，福州水系综合治理还要继续下去，现决定购买10台污水处理设备，商家提供A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
价格（万元/台） 处理污水量（吨/月）
A型 a 240
B型 b 200
经了解：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． （1）求a，b的值．
（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案，请将它们写出来．
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你按照题目要求为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
26.在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”． 在平面直角坐标系中，已知点M（2，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（0，a），点B（b+1，2a），点C（，a﹣1），将△ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？ （填“是”或者“否”）
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且△MFD的面积为
．
①D（ ， ）；E（ ， ）；F（ ， ）（用只含字母a的代数式表
示）
②试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？并通过计算说明理由．
27.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD． （1）填空：点D的坐标为 ．
（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．图（1）中∠1与∠2是一组对顶角 B．图（2）中∠1与∠2是一组对顶角 C．图（3）中∠1与∠2是一组邻补角 D．图（4）中∠1与∠2是互为邻补角
【分析】根据对顶角和邻补角的定义作出判断即可．
【解答】解：根据对顶角和邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是． 故选：D． 2．实数A．0
，
，
，﹣0.125，B．1
中无理数的个数是（ ）
C．2
D．3
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解：
，﹣0.125，故选：C．
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）
，
是无理数， 是有理数，
A．（3，2）
B．（﹣3，﹣2）
C．（3，﹣2）
D．（﹣3，2）
【分析】根据点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：小手盖住的点位于第三象限，第三象限内点的横坐标、纵坐标均是负数， 故选：B．
4．下列方程是二元一次方程的是（ ） A．x+2＝1
B．x2+2y＝2
C．
D．
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【解答】解：A、该方程中只有一个未知数，属于一元一次方程，故本选项错误； B、该方程中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程，故本选项错误； C、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确； D、该方程不是整式方程，故本选项错误； 故选：C．
5．根据不等式的基本性质，以下各题的结论正确的是（ ） A．若a≥b，则5b≤5a B．若b﹣3a＞0，则b＜3a
C．若﹣5x≥20，则x≥﹣4
D．若a≤b，则ac≤bc
【分析】直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案． 【解答】解：A、若a≥b，则5b≤5a，正确； B、若b﹣3a＞0，则b＞3a，故此选项错误； C、若﹣5x≥20，则x≤﹣4，故此选项错误； D、若a≤b，则ac≤bc（c≥0），故此选项错误； 故选：A．
6．下列各式中，正确的是（ ） A．
＝±4
B．
C．
D．
【分析】依据算术平方根、立方根、平方根的定义求解即可． 【解答】解：＝4，故A错误；
﹣＝2，故B错误； ±
＝±3，故C错误； ＝3，故D正确．
故选：D．
7．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝40°，则∠2等于（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝40°， ∴∠3＝50°， ∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝50°， 故选：B．
8．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1﹣a|+
的结果为（ ）
A．1
B．﹣1
C．1﹣2a
D．2a﹣1
【分析】先由点a在数轴上的位置确定a的取值范围及1﹣a的符号，再代入原式进行化简即可．
【解答】解：由数轴上a点的位置可知0＜a＜1， ∴1﹣a＞0，
∴原式＝（1﹣a）+a＝1． 故选：A．
9．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC＝（ ）
A．540°﹣5α
B．540°﹣6α
C．30°
D．40°
【分析】首先设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，然后表示∠FOE和∠BOE，再根据平角定义列方程，然后可得答案．
【解答】解：设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x， ∵∠DOE＝α， ∴∠FOE＝α﹣2x， ∵射线OE平分∠BOF， ∴∠BOE＝∠EOF＝α﹣2x， 则：3x+α+α﹣2x＝180°， 解得：x＝180°﹣2α，
∴∠AOD＝3×（180°﹣2α）＝540°﹣6α， ∴∠BOC＝540°﹣6α， 故选：B．
10．已知a为正整数，关于x、y的方程组A．1或16
B．4或16
的解都是整数，则a2＝（ ） C．1
D．16
【分析】根据加减法，可得（a+2）x＝6，根据a是正整数，x、y的值是整数，可得答案 【解答】解：①+②得， （a+2）x＝6，
∵a为正整数，x为整数， ∴a＝1，x＝2或a＝4，x＝1， 又∵y是整数， ∴a＝4，∴a2＝16．
，
，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．已知方程x﹣2y＝3，用含x的式子表示y＝ 【分析】把x看做已知数求出y即可． 【解答】解：方程x﹣2y＝3， 解得：y＝故答案为：
，
．
12．将命题“正方形的四条边都相等”改为“如果…那么…”的形式为 如果一个四边形为正方形，那么它的四条边都相等 ．
【分析】把命题的题设写在如果后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可． 【解答】解：命题“正方形的四条边都相等”改为“如果…那么…”的形式为：如果一个四边形为正方形，那么它的四条边都相等．
故答案为如果一个四边形为正方形，那么它的四条边都相等． 13．已知a、b为两个连续的整数，且a＜【分析】首先根据【解答】解：∵∴4＜∵a＜
＜5， ＜b，
＜b，则a+b＝ 9 ．
的值确定a、b的值，然后可得a+b的值． ＜
，
∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝9， 故答案为：9． 14．已知
是方程3x﹣ay＝8的解，则a＝ 1 ．
【分析】将x与y的值代入计算即可求出a的值． 【解答】解：将解得：a＝1． 故答案为：1．
15．如图，下列条件中能得到AB∥CD的有 （3）∠1＝∠4 ．
（1）∠1＝∠2 （2）∠2＝∠3 （3）∠1＝∠4 （4）∠3＝∠4
代入方程3x﹣ay＝8得：9﹣a＝8，
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：（1）因为∠1＝∠2，不能得出AB∥CD，错误； （2）∵∠2＝∠3，∴AD∥BC，错误； （3）∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，正确；
（4）因为∠3＝∠4，不能得出AB∥CD，错误； 故答案为：（3）∠1＝∠4．
16．我国古代数学专著《九章算术》中记载了一道题，今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两．问牛羊各直金几何？大意是：已知买五头牛和两头羊，需花费十两黄金；买两头牛，五头羊需花费八两黄金．若设买一头牛需花费x两黄金，买一只羊需要花费y两黄金，那么可列方程组为
．
【分析】根据“买五头牛和两头羊，需花费十两黄金；买两头牛，五头羊需花费八两黄金”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：设买一头牛需花费x两黄金，买一只羊需要花费y两黄金，那么可列方程组为：
．
故答案为：
．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 （1，0） ．
【分析】由点A，B，C，D的坐标可得出四边形ABCD为矩形及AB，AD的长，由矩形的周长公式可求出矩形ABCD的周长，结合2019＝202×10﹣1可得出细线的另一端在线段AD上且距A点1个单位长度，结合点A的坐标即可得出结论． 【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）， ∴AB＝2，AD＝3，四边形ABCD为矩形， ∴C矩形ABCD＝（3+2）×2＝10． ∵2019＝202×10﹣1，
∴细线的另一端在线段AD上，且距A点1个单位长度， ∴细线的另一端所在位置的点的坐标是（1，1﹣1），即（1，0）． 故答案为：（1，0）． 18．若关于x，y的方程组
【分析】先利用加减法解方程组得到关于p的一元一次不等式即可． 【解答】解：解方程组得∵x＞y， ∴﹣p﹣8＞p+6， ∴﹣p﹣p＞6+8， ﹣2p＞14， ∴p＜﹣7． 故答案为p＜﹣7． 三．解答题（共6小题） 19．计算：
，
的解满足x＞y，p的取值范围为 p＜﹣7 ．
，再利用x＞y得到﹣p﹣8＞p+6，然后解
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义、绝对值的性质分别化简即可得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣3+2﹣＝2﹣
．
．
20．解方程组：
【分析】由①+②消去y，解关于x的一元一次方程，然后将x的值代入①，解关于y的一元一次方程即可． 【解答】解：
由①+②，得3x＝﹣3， 解得x＝﹣1，③
把③代入①，解得y＝2， ∴原方程组的解是：
．
﹣1≥x．
21．解不等式，并在数轴上表示出它的解集：
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：x﹣5﹣3≥3x， x﹣3x≥3+5， ﹣2x≥8， x≤﹣4，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
22．已知5a+2的立方根是3，4a+2b﹣8的算术平方根是4，求a+3b的平方根．
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义，求出a、b的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解答】解：∵5a+2的立方根是3，4a+2b﹣8的算术平方根是4， ∴5a+2＝27，4a+2b﹣8＝16， ∴a＝5，b＝2， ∴a+3b＝5+6＝11，
∴a+3b的平方根是±．
23．已知△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为（﹣1，4），（﹣2，2），（1，3） （1）在坐标系中画出△ABC，把△ABC先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．
（2）△ABC中的任意一点P（m，n）经平移后的对应点为Q，写出Q点的坐标是 （m+3，n﹣2） （用含m，n的式子表示）
【分析】（1）根据点的平移规律将所得点顺次连接即可； （2）根据点的平移规律解答即可；
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）Q点的坐标是 （m+3，n﹣2） 故答案为：（m+3，n﹣2）
24．如图，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且∠B＝∠3，ED平分∠BEF， 求证：∠1＝∠4．
【分析】直接利用平行线的判定方法得出AB∥EF，再利用平行线的性质得出∠2＝∠4，结合已知得出答案．
【解答】证明：∵∠B＝∠3， ∴AB∥EF， ∴∠2＝∠4， ∵ED平分∠BEF， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠4．
25.白鹭飞跃，河水泛起涟漪；清风徐来，建筑的倒影在碧波上荡漾，流花溪位于仓山区高宅村内，作为福州水系统综合治理的重点项目，伴随着福州水系综合治理的冲锋号一路“护航”，经过两年的治理，消除了黑臭、畅通了水脉、种下了美景，焕发了全新的活力．近来更成了网红“打卡”地．
如今，福州水系综合治理还要继续下去，现决定购买10台污水处理设备，商家提供A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
价格（万元/台） 处理污水量（吨/月）
A型 a 240
B型 b 200
经了解：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． （1）求a，b的值．
（2）治污公司经预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案，请将它们写出来．
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你按照题目要求为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；69：应用意识． 【分析】（1）根据“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买x台A型设备，则购买（10﹣x）台B型设备，根据总价＝单价×数量结合总价不超过105万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为非负整数，即可得出各购买方案；
（3）根据月处理污水总量＝每台设备月处理污水辆×设备购买的数量结合每月要求处理污水量不低于2040吨，即可得出关于x的一元一次不等式，结合（2）即可得出各购买方案，再分别求出两购买方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意，得：解得：
．
，
答：a的值为12，b的值为10．
（2）设购买x台A型设备，则购买（10﹣x）台B型设备， 依题意，得：12x+10（10﹣x）≤105， 解得：x≤． ∵x为非负整数， ∴x＝0，1，2，
∴共有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备． （3）依题意，得：240x+200（10﹣x）≥2040， 解得：x≥1．
又∵x≤，且x为非负整数， ∴x＝1，2．
当x＝1时，10﹣x＝9，此时购买费用为12×1+10×9＝102（万元）； 当x＝2时，10﹣x＝8，此时购买费用为12×2+10×8＝104（万元）． ∵102＜104，
∴省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备．
26.在同一平面内，若一个点到一条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“伴侣点”． 在平面直角坐标系中，已知点M（2，0），过点M作直线l平行于y轴，点A（0，a），点B（b+1，2a），点C（，a﹣1），将△ABC进行平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为E，点C的对应点为F．
（1）试判断点A是否是直线l的“伴侣点”？ 否 （填“是”或者“否”）
（2）若点F刚好落在直线l上，F的纵坐标为a+b，点E落在x轴上，且△MFD的面积为
．
， a+b+1 ）；E（ b+ ， 2a+b+1 ）；F（ 2 ， a+b ）（用只
①D（
含字母a的代数式表示）
②试判断点B是否是直线l的“伴侣点”？并通过计算说明理由． 【考点】K3：三角形的面积；Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【专题】531：平面直角坐标系；66：运算能力． 【分析】（1）求出点A到直线l的距离即可判断； （2）①根据平移的性质即可得到结论； ②构建方程组求出a、b的值即可判断． 【解答】解：（1）∵A（0，a），直线l：x＝2， ∴点A到直线l的距离为2，2＞1， ∴点A不是直线l的“伴侣点”， 故答案为：否；
（2）①∵C（，a﹣1）→F（2，a+b）， ∴横坐标加，纵坐标加（b+1）， ∴D（，a+b+1），E（b+，2a+b+1）； 故答案为：，a+b+1；b+，2a+b+1； ②∵点E落在x轴上， ∴2a+b+1＝0， ∵三角形MFD的面积为
，
∴••|a+b|＝∴a+b＝±，
，
当a+b＝时，解得a＝﹣，b＝，此时B（，﹣），点B是直线l的“伴侣点”． 当a+b＝﹣时，a＝﹣，b＝，此时B（，﹣），点B是直线l的“伴侣点”． 27.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD． （1）填空：点D的坐标为 （2，﹣4） ． （2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．
①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．
②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．
【考点】KY：三角形综合题．
【专题】152：几何综合题；69：应用意识．
【分析】（1）根据CD∥x轴，CD＝4，C（2，0），可确定点D坐标；
（2）①先计算出S梯形OCDB＝7，再讨论：当点P运动到点B时，S△POC的最小值＝3，则可判断S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC的最大值＝4，于是可判断S△
CDP+S△BOP＝3，所以
3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②分类讨论：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，易得∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO； 当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，由
于∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3）， ∴AB＝4，
由题意得：C（2，0）， ∵CD＝4，AB∥CD， ∴D（2，﹣4）． 故答案为（2，﹣4）；
（2）①如图1中，S梯形OCDB＝×（3+4）×2＝7，
当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝×3×2＝3，此时S△CDP+S△BOP＝4，
当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＝3， 所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；
②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD， ∵CD∥AB， ∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO， ∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；
当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，
∵CD∥AB， ∴CD∥PE∥AB，
∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO， ∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP， ∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；
同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容