２０１３年３月 解法探究 回眸经典——体味通法 苑建广 河北中考“动态几何型”压轴题发展历程追溯 ⑧河北省晋州市实验中学“动态几何型”问题指以运动中的几何图形为主要 的表现，通过“合情”地选取特殊情形，确立问题的结论， 载体或构件命制的数学题．由于此类问题能把数与代数、 图形与几何等内容中的众多核心知识、方法、能力融合在 一起进行考查，灵活性高，综合性强，能有效甄别考生的 思维品质和数学智慧，因此成为各地中考压轴题的首选 题型．河北中考自１９９７年至２０１２年连续命制十九例动态 几何型压轴题（河北历年全省共用一套数学试题，其中 ２００４—２００６年分“课改卷”和“大纲卷”两套试题），可谓题 题经典，独具匠心，回味无穷．今对这些题目予以浅析，蝉 翼之论，权为抛砖． 一、解法指要 纵观此类问题，可用十二个字概括出其通用分析方 法：透析动态全貌，辩证思维突破． （１）“透析动态全貌”是指在探求解题思路时，注重对 图形运动全过程深刻而透彻的把握，做到鸟瞰全局、胸有 成竹，以便顺利抓取“动中之一瞬（运动过程中的某些具 有代表性的关键或静止时刻）”，有效避免以偏概全，找到 解题的突破口．此所谓“大处着眼”． （２）“辩证思维突破”在于“小处着手”，主要表现为以 下三个方面． ①善于“动静结合”．图形是运动的，我们不可能研究 到运动中的每一时刻（情形），而是要善于“动”中捕“静”， 通过对“动中之一瞬（静）”的研究，建立数学模型，借之来 刻画某段时问对应的图形运动（变化）情况，从而达到以 “静”制“动”的目的．这样思维有了着落，便于分析．可谓是 “静处着手”，以退求进． ②善于“数形结合”．通过对图形运动（变化）或形间 关系的探究，建立数量间的函数关系式，结合方程（组）、 不等式（组）等数学模型，可以完成对图形的精确刻画，发 挥“数”的“精确”优势；同时，为了探求某些数量关系，又 可“以形论数”，发挥“形”的“直观”优势． ③善于把“特殊情形”和“一般情形”结合起来分析问 题．特殊情形是一般情形在个别、局部、具体、特殊背景下 发现解题规律，往往可以为一般情形的研究提供对比与 借鉴所谓“难的不会，想简单的”，特例可以“助解（析）”． 以下按题目特色，对十九个题目分类评析，请读者体 会“十二字诀”于其中之用法． 二、分类赏析 （一）由“点动”而引发的动态几何问题 此类问题的最大特征是“点动”引发“形（如线、角、三 角形、四边形等平面几何图形）动”，命题载体或构件是丰 富多彩的，动点的设置又分为单点运动型、双点运动型甚 至多点运动型． １．单点运动型问题 （１）以坐标系中的梯形为载体构建的单点运动型问题． 例１（２０１２年）如图１，Ａ（一５，０）、日（一３，０），点Ｃ在Ｙ轴 的正半轴上，／ＣＢ０＝４５。，ＣＤ／／ＪＡＢ， ＣＤＡ＝９０。．点Ｐ从点 ｑ（４，ｏ）出发，沿 轴向左以每 秒１个单位长的速度运动，运 动时间为 秒． （１）求点ｃ的坐标； 图１ （２）当ＬＢＣＰ＝１５。时，求 的值； （３）以点助 、 为半径的。席 主 勺运动而变化， 当。屿四边形ＡＢＣＤ的边（或边所在的直线）相切时，求ｔ的 值 评析：（１）易得Ｃ（Ｏ，３）． （２）考虑点 云动的全貌，显然应分为两种情形：当点 Ｐ在点日右侧时，易得￡＝４＋、／／了；当点臃点 左侧时，易得 ｔ＝４＋３、／ ． （３）ｏＰ与四边形ＡＢＣＤ各边相切有三种情况：①Ｑ）Ｐ 与ＢＣ相切于点ｃ，此时ｔ＝ｌ；②ｏＰ与ＣＤ相切于点ｃ，此时 点Ｐ、０重合，拉４；③０Ｐ一与ＡＤ相切于点Ａ，此时Ｐ ＝ＰＡ２＿ （９一 ）２ ＰＯ ＝（ｆ一４） ，由（９－ｔ）２：（ｔ—４）２＋３ ，得ｔ＝５．６． 点评：在（２）、（３）中，对运动全貌的把握使思考高屋 初中版中。？擞’？ 陶 解法探究 建瓴，有的放矢，同时便于发挥数形互析（尤其列方程）的 优势． ２０１３年３月 评析：（１）易知ＡＧ＝１ ｔ．过点Ｅ作脒上ＡＧ于Ｋ，易知 ２ ｒ （２）以坐标系中的正方形为载体构建的单点运动型 问题． ＥＫ：、／了，则ｓ： ４ ｆ． １ 例２（１９９９年）如图２，正方形ＯＡＢＣ的顶点０在坐标 （２）若ＡＢ Ｊ＿ＧＨ，应有ＡＧ＝ＡＥ＝２，即÷仁２ ＝４． （３）欲证ｓ 硎为定值，可先借助特例，锁定目标（定值 是多少）：当日、厘合时，ｃ、Ｈ重合，ＦＨ＝ＢＣ，则ａＧＦＨ与 ＡＡＢＣ等底等高．再将之推广至一般情形，去证明ＦＨ＝ＢＣ 原 ，且ＤＡ边和ＡＢ边所在直线的解析式分别为：ｙ＝丢 和ｙ一 ＋弩．。、Ｅ分别为边 ＯＣ和ＡＢ的中点，助ＯＡ边上一 动点（点Ｐ一与点０不重合），连接 ＤＥ和ｃＰ，其交点为ｑ，ｏＱ为 多Ａ ０ ； 是很容易的． （４）考虑运动全貌，显见点阿能在线段Ｂｃ或其延长线 上，进而求得仁３或１２透析动态全貌，不仅可以促成“特例助 解”（第三问），而且在第四问中有效防止了“以偏概全”． Ａ ＣＯＰ￣ｂ接圆． （１）求证：点ｐ为ＡＣＯＰ￣ｂ心； 图２ （２）求正方形ＯＡＢＣ的边长； （３）当ＯＱ与ＡＢ相切时，求点Ｐ自勺坐标． 评析：（１）通过证明“点Ｑ是ＲｔＡＣＯＰ的斜边ＣＰ的中 点”得到结论． （２）易求得Ａ（４，３），则正方形的边长是５． （３）探究运动全貌，可得“瞬间”图形：相切时，Ｅ是切 点，ＡＥ和ＡＰＯ分别是切线和割线，则Ａ Ｅ２＝ＡＰ・ＡＤ，进而可 得点Ｐ（３，２．２５）． 点评：上述两例，均把几何图形放到坐标系里去研 究．这也是各地中考压轴题的一种典型做法．坐标系是开 展数形结合的重要载体和工具．以数析形．可以充分发挥 数的精微、量化之特征；以形析数，可以充分展示形的直 观、形象之特征；数形结合，能有效释放题目内涵，双向升 华思考． （３）以三角形为载体构建的单点运动型问题． 例３（２００４年）如图３，已知等边三角形ＡＢＣ的边长 为６，点Ｄ、Ｅ分别在边Ａ日、ＡＣ上，且ＡＤ＝ＡＥ＝２．若点 点 开始以每秒１个单位长的速度 沿射线ＢＣ方向运动，设点膳 动的时间为ｔ秒．当ｔ＞０时，直线 ＦＤ与过点Ａ且平行于ＢＣ的直 线相交于点Ｇ，ＧＥ的延长线与 Ｆ Ｃ Ｈ ＢＣ的延长线相交于点Ｈ，Ａ Ｂ与 图３ ＧＨ相交于点（）－ （１）设ＡＥＧＡ的面积为Ｓ，写出Ｓ与ｔ的函数关系式； （２）当ｔ为何值时，ＡＢｊＩＧＨ； （３）请你证明ＡＧＦＨ的面积为定值； （４）当ｔ为何值时，点瘌点Ｃ是线段删的三等分点． 罄醴 豳鞠 十‘：；’毒毛・？初中版 点评：上述三例中．“瞬间”图形实现了“以静制动”， “数形互析”让人回味无穷． （４）以坐标系中的抛物线为构件构建的单点运动型问 题． 例４（２０１１年）如图４，在平面直角坐标系中，点枞 原点０出发，沿 轴向右以每秒１个单位长的速度运动ｆ（ｔ＞ ０）秒，抛物线ｙ ＋ ＋ｃ经过点Ｄ和点Ｐ已知矩形ＡＢＣＤ的 三个顶点为Ａ（１，０）、Ｂ（１，一５）、Ｄ（４，０）． （１）求ｃ、６（用含ｔ的代数式表示）； （２）当４＜ｔ＜５时，设抛物线分别与线段ＡＢ、ＣＤ交于点 Ｍ、Ｍ ①在点Ｐ的运动过程中，你认为厶４ 哟大小是否会 变化？若变化，说明理由；若不变，求出 ＡＭＰ的值． ②求△ ＰⅣ的面积Ｊｓ与ｔ的函数关系式，并求ｔ为何值 时，Ｓ＝ ． （３）在矩形ＡＢＣＤ的内部 （不含边界），把横、纵坐标都是 整数的点称为“好点”．若抛物 线将这些“好点”分成数量相 等的两部分，请直接写出ｔ的取 值范围． 评析：（１）易得６一ｔ，ｃ＝ｏ． 图４ （２）①易知ＡＰ＝－Ｉｆ－１Ｉ，Ｍ（１，１－ｔ）， ￣］ｔａｎ／＿ＡＭＰ＝－Ｉ， Ａ肘Ｐ＝４５。． ②运用面积割补，易得Ｉｓ＝寻 萼 ＋６，进而可知ｓ＝１２８ 咖＝寻． （３）一方面，可设 表示 ＝ 时的，，值，分情况讨论： ２０１３年３月 当一１＜ｙ，＿－２＜０且一５勺 ＜一４时；当一２勺 ＜一ｌｇ～４＜ｙｘ＿－３＜３时； 当一３＜ｙｘ－２＜一２且一３＜ ＿ｊ＜一２时；当一４＜ｙｘ：２＜一３且一２＜ｙｘ ＜一１ 解法探究 （２）ｚ为何值时，四边形ＰｐＢＡ是梯形？ （３）是否存在时Ｎｔ，使得ＰＤ／ｌＡＢ？若存在，求出ｔ的 值；若不存在，请说明理由． 时；当一５＜ ＜一４且一１ ＝３＜０时．综合可得￡的取值范围：÷ ＜ ＜ ．另一方面，由于ｙ ２－觑 （ — ），可知该抛物线恒过 ） （４）通过观察、画图或折纸等方法，猜想：是否存在时 Ｎｔ，使得ＰＤＬＡＢ？若存在，请估计ｔ的值在括号中的哪个 时问段内（０≤ ≤１；１＜ｆ≤２；２＜ｔ≤３；３＜ｔ≤４）；若不存在， 请说明理由． 点（０，０）和（￡，０），且其形状不变（与抛物线ｙ 形状相 同），由此容易知道：当ｆ（￡＞０）值逐渐变大时， 与 ，逐渐 变小，即随着ｆ（ ＞０）值的增大，点（２，一１）首先进入抛物线 ｙ＝ｘ２－ｔｘ￣Ｌ方，而点（２，一４）最后进入抛物线ｙ＝ｘＺ－ｔＸ￣方．在 此基础上进行分析：抛物线ｙ＝ｘ２－ｔｘ￣ｋ过（２，一３）时，可求得 ￡＝÷．此时，“好点”（２，一２）和（２，一１）在抛物线上方．令 ＝３， Ｚ 得 一÷，说明（３，一１）也在抛物线上方．结合￡对ｙ＝ｘＺ－ｔｘ的 Ｚ 图５—１ 评析：（１）易知ｙ一１２ｔ％４８ｔ． 图像的影响，可知：抛物线要将这些“好点”分成数量相等 （２）＋ＰＱｆｆＡＢ，得 ＝ ，即 ＝ ｊ拄２，此 的两部分，应有ｆ＞÷．抛物线ｙ 一 经过（３，一２）时，可求 Ｚ 时四边形ＰＱＢＡ是梯形． 得拉 ．此时，“好点”（３，一１）在抛物线上方．令ｘ＝２，得ｙ＝ ｊ （３）如图５－２，若ＰＤ／ｌＡＢ，应有ＡＱＭＤｃｏＡＡＢＣ，则 ｏ １一，说明（２，一１）、（２，一２）￣Ｉ１（２，一３）也在抛物线上方．结 Ａ日 ＡＣ 孕由３ 。 ＝ＣＡ Ｃ Ｂ ＝里１１． ＝ ｊ 合ｔ对 一ｔｘ的图像的影响，可知：抛物线要将这些“好 点”分成数量相等的两部分，应有ｆ＜－１１．＝－综合可得 的取值 ｊ （４）２＜ｔ≤３ｆ计算可知：仁３，６。１． 点评：显然，图５－２－ｆ－是在透析全貌基础上得到的能 “以静制动”的“瞬间”图形．整个题目充斥着“数形互析”！ 范围为： ＜ ． 例６（２００８年）如图６—１，在ＲｔＡＡＢＣ中，／＿Ｃ＝９０。， 点评：在函数图像的基础上植入不断演变的几何图 形．是各地压轴题的另一个典型做法．本例中平分“好点” ＡＢ＝５０，Ａ Ｃ＝３０，Ｄ、Ｅ、盼别是Ａ Ｃ、ＡＢ、ＢＣ的中点．点ＰＰ，点 Ｄ出发沿折线Ｄ卜Ｅ卜彤一ｃＤ以每秒７个单位长的速度 匀速运动；点Ｑ从点 出发沿 方向以每秒４个单位长的 速度匀速运动，过点Ｑ作射线ＱＫＬＡＢ，交折线曰 动，点Ｑ也随之停止．设点Ｐ、ｐ运动的时间是ｄｇｋ（ｔ＞０）． （１）Ｄ、踊点间的距离是—一 （２）射线ＱＫ能否把四边形ＣＤＥＦ：￣成面积相等的两 问题融入合情推理与函数的增减性．若能了解到“￡值对 ｙ＝ｘ２一 的图像的影响效果”．在感受动态抛物线特殊情形 的基础上。依据曲线变化的连续性（即由量变到质变的辩 于 点Ｇ．点Ｐ、Ｑ同时出发，当点躜行一周回到点Ｄ时停止运 证性），就能直观“看”出“数”与“形”的奇妙联系，题目显 示出极强的思辩性． ２．双点运动型问题 （１）以三角形为载体构建的双点运动型问题． 例５（２０ｏ６年）如图５—１，在ＲｔＡＡＢＣ中，／＿Ｃ＝９０。， ＡＣ＝１２，ＢＣ＝１６，动点Ｐ从点Ａ出发沿Ａｃ边向点ｃ以每秒３ 部分？若能，求出ｔ的值；若不能，说明理由． （３）当点尸运动到折线 ＬＦｃ上，且点Ｐ又恰好落在 射线ｐ 上时，求ｔ的值 个单位长的速度运动，动点Ｑ从点ｃ出发沿ＣＢ边向点 以 每秒４个单位长的速度运动．Ｐ、Ｑ分别从点Ａ、ｃ同时出发， 当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动 过程中，ＡＰＣＱ关于直线 对称的图形是ＡＰＤＱ．设运动 时间为ｔ秒． （４）连接ＰＣ，当ＰＣ，／ｌＡＢ时，请直接写出ｔ的值 Ｅ ～Ｑ Ｂ Ａ Ｑ Ｅ Ｈ Ｂ （１）设四边形ｍＱＯ的面积为Ｙ，求Ｙ与ｔ的函数关系式． 图６—１ 图６－２ 初中版十。？毒《：－？ 解法探究 Ｅ Ｑ Ｂ Ａ 一Ｑ Ｅ 图６－３ 图６—４ Ｈ Ｅ Ｑ Ｂ Ａ 七Ｑ Ｅ Ｂ 图６—５ 图６—６ 评析：（１）易知ＤＦ＝２５． （２）如图６—２，ＱＫ过Ｄ肭中点时，ＱＫ把矩形ＣＤＥＦ￣Ｊ＂ 为面积相等的两部分，计算可得 ＝ Ｄ Ｉ． （３）分成两种情形，借助图６—３和图６—４完成“以静制 动”：①当点脏肼１上（２导≤ ≤５１时，由ＡＰＱＥｃｏＡＢＣＡ， ￣７ｔ ５－ ０２ ３０： ０ ＿４ ；②当点脏 上ｆ４１ ＼ ５≤ ≤７号）７／ 时，ＰＢ＝５ｔ，ＰＦ＝７ｔ一３５，Ｉ￣５ｔ＝７ｔ一３５＋２０，得￡＝７ １． （４）透析动态的全貌可知：当０ ＿＜２－－６一 Ｈ，｝，点Ｐ下行， 点Ｇ上行，存在ＰＧ／ｌＡＢ的时刻，如图６—５，ｔ＝ｌ÷；此后，点 Ｇ继续上行到点耶寸，ｔ＝４，而点Ｐ却在下行到点Ｅ后再沿 Ｅ趾行，可知点尸在 ］＿七运动时不存在ＰＣ，／ｌＡＢ；当５≤ ￡≤７ ，－ｔ 时，点Ｐ、Ｇ均在 上，也不存在ＰＧ∥ＡＢ；由于点Ｐ比点Ｇ先到达点ｃ并继续沿ｃＤ下行，所以在７ ＜ｔ＜８ｔｔ￣， 存在ＰＧ∥Ａ曰的时刻，如图６—６， ＝７碧；当８≤ｆ＜１ＯＨ￣，点 Ｐ、Ｇ均在ＣＤ上，不存在ＰＣ，ｆｆａＢ． 例７（２００９年）如图７－１，在ＲｔＡＡＢＣ中， Ｃ＝９０。， ＡＣ：３，ＡＢ＝５．点Ｐ从点ｃ出发沿 以每秒１个单位长的速 度向点Ａ匀速运动，到达点Ａ后立刻以原来的速度沿ＡＣ 返回；点 从点Ａ出发沿Ａ 以每秒１个单位长的速度向点 Ｂ匀速运动．伴随着Ｐ、Ｑ的运动，ＤＥ保持垂直平分ＰＱ，且交 ＰＱ于点Ｄ，交折线ＱＢ－ＢＣ—ｃＰ于点Ｅ．点Ｐ、Ｑ同时出发，当 点Ｑ到达点舢寸停止运动，点Ｐ也随之停止．设点Ｐ、Ｑ运动 的时间是ｔ秒（￡＞０）． （１）当ｔ＝２时，Ａ尸： ，点ｐ至 Ｃ的距离是——． 中。？毒ｊＩ：・７初中版 ２０１３年３月 （２）在点Ｐ从ｃ向Ａ运动的过程中，求△Ａ 的面积ｓ 与ｔ的函数关系式．（不必写出ｔ的取值范围） （３）在点Ｅ从Ｂ向ｃ运动的过程中，四边形ＱＢＥＤ￣否 成为直角梯形？若能，求ｔ的值；若不能，请说明理由． （４）当ＤＥ经过点Ｃ时，请直接写出ｔ的值． 图７—３ ／ Ａ 图７－５ ７－６ 评析：（１）ＡＰ＝－Ｉ；点Ｑ到／ｌｃ的距离是Ｑ ． （２）如图７—２，可得Ａ尸＝３ Ｑ ÷ｔ，则．ｓ一 ｃ２＋＿霎＿ｔ． （３）分成两种情形：①￣ＤＥ，／／ＱＢ时，如图７－３，由 ＡＡＰＱｏ￣ＡＡＢＣ，得 ＝ ＡＰ，即÷＝了３－ｔ ｊ ＝詈；②当 ｅＱ＃曰ｃ时，如图７－４，Ｉ￣ｔＡＡＱｐｃｏＡＡ曰ｃ，得 ＝ ＡＰ，即 ｔ ３一ｔ ．１５ ＝——＝ ＝——． ５ ３ ８ （４）分成两种情形：①点Ｐ由ｃ向Ａ运动，ＤＥ经过点Ｃ 时，如图７—５，可知印＝ＣＰ＝ＡＱ，ＣＱ＝ＢＱ，￣Ｉ］ＡＱ＝ＢＱ＝了２， 故拄 ；②点Ｐ由Ａ向ｃ运动，册经过点ｃ，如图７—６，有 （６－ｔ）２＿【了３（５一 ）］ ＋ｉ４一 （５一 ）］ ，则拄篙． ２０１３年３月 点评：透析动态全貌为（３）、（４）顺利分出情况做了极 好铺垫．而图７—２至图７—６作为“瞬间”图形．则成为以静制 动的踏脚石．其间“数形互析”无处不在． （２）以矩形为载体构建的双点运动型问题． 例８（２００２年）如图８，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２厘米， ＢＣ＝６厘米，点Ｐ７几Ａ曰边从点Ａ开始向点Ｂ以２厘米见 的速 度移动；点Ｑ沿ＤＡ边从点Ｄ开始向点Ａ以１厘米缈的速度 移动．如果Ｐ、Ｑ同时出发，用￡（秒）表示移动的时间（０≤￡≤ ６），那么： （１）当ｔ为何值时，△ＱＡ助 等腰直角三角形？ （２）求四边形ＱＡ 的面 积，提出一个与计算结果有关 的结论； （３）当ｔ为何值时，以点Ｑ、Ａ、Ｐ为顶点的三角形与 ＡＡＢＣ相似？ 评析：（１）当ＱＡ－－ＡＰ（ｔ＝２秒）时，△ Ｐ为等腰直角三 角形． （２）易知Ｓａ￣ｃ＝３６—６ｔ；ｓ ６ ，则５嘲用＝３６ｃｍ￣将“数” 还“形”，即有“Ｐ、Ｑ两点移动的过程中，四边形ｏＡ彤的面 积始终保持不变”． （３）分析运动的全貌，可分两种情况：①当 ＝ 时，ＡＱＡＰｍＡＡＢＣ １．２；②当 ＝ 时，ＡＰＡＱｍ △ＡＢＣ．ｔ＝３． （３）以菱形为载体构建的双点运动型问题． ｉｆ￣｜９（２００１年）如图９，在 菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，／＿ＢＡＤ＝ ６０。．点 从点Ａ开始以每秒１个 单位长的速度沿着ＡＤ边向点 Ｄ移动；设点 移动的时间为ｔ Ａ Ｂ 秒（０≤ｔ≤１０）． 图９ （１）点Ｎ为ＢＣ边上任意一点，在点 移动过程中，线 段 否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并 说明理由． ‘（２）点Ｊ７＼，从点曰开始（与点 出发的时刻相同）以每秒２ 个单位长的速度沿着ＢＣ边向点Ｃ移动，在什么时刻，梯形 Ａ ＢＮＭ的面积最大？并求出面积的最大值． （３）点』７、ｆ从点 （与点 出发的时刻相同）以每秒０（ｏ≥ ２）个单位长的速度沿着射线ＢＣ方向（可以超越点ｃ）移 动，过点 作ＭＰ／／ＡＢ，交ＢＣ于点 当ＡＭＰＮｍＡＡＢＣ时， 设ＡＭＰＮ与菱形ＡＢＣＤ重叠部分的面积为 ，求出用ｔ表示 ５的关系式，并求当Ｓ＝０时ａ的值． 解法探究 评析：（１）借助菱形的中心对称性分析可得． （２）求出ｓ梯形 肭Ｆ 二 ，结合ＢⅣ：２ｆ≤１０，可知ｆ：５ 时， 形 删最大，最大值为 ． （３）由Ａ ＰⅣ ＡＡＢＣ，可知ＭＰ＝１０，ＰＮ＝ＢＣ＝ＩＯ，且 ＾ ＢＰ＝ＡＭ＝ｔ，ＰＣ＝１０一ｔ．ＮＣ＝ｔ，∞与 间的距离为 ・ Ｚ （１０一 ）．设ＭＮ交ＤＣ于Ｆ，则重叠部分是梯形ＭＰＣＦ，易知 ＦＣ＝ＮＣ＝ｔ，则ｓ： （ｔ＋１０）× （１ ）：一 ２＋２５Ｘ／－３－． 令Ｓ＝０，得ｔ＝１０，此时ＢＮ＝２０．又ＢＮ＝￣＝ＩＯａ，则 ２． 点评：对运动全貌的把握，可知ＡＭＰＮ的形状在变 化，其中某一时刻将有Ａ ＡＡＢＣ，且由于ａ的不同。 会引发Ｓ变化． （４）以等腰梯形为载体构建的双点运动型问题． 例１０ （２００７年）如图１０—１，在等腰梯形ＡＢＣＤ中， ＡＤ／／ＢＣ，ＡＢ＝ＤＣ＝５０，ＡＤ＝７５，ＢＣ＝１３５．点 点日出发沿折 线段ＢＡ Ｄ－Ｄｃ以每秒５个单位长的速度向点ｃ匀速运 动；点ｐ从点ｃ出发沿线段ＣＢ方向以每秒３个单位长的速度 匀速运动，过点ｐ向上作射线ＱＫ￣ＢＣ，交折线段ＣＤ－ＤＡ— ＡＢ于点Ｅ点Ｐ、Ｑ同时开始运动，当点Ｐ与点Ｃ重合时停止运 动，点Ｑ也随之停止．设点Ｐ、Ｑ运动的时间是 眇（￡＞０）． （１）当点尸至０达终点Ｃ时，求ｔ的值，并指出此ｆｔＣＢＱ的长． （２）当点 主动到ＡＤ上时，ｆ为何值能使ＰＱ／／ＤＣ？ （３）设射线ＱＫ扫过梯形ＡＢＣＤ的面积为ｓ，分别求出 点Ｅ运动￣＿ＩＪＣＤ、ＤＡ上时，．ｓ与 的 图１０—２ 图１０—３ Ｂ Ｑ Ｃ Ｂ Ｑ） Ｃ（Ｐ） 图１０－４ 图１０—５ 评析：（１）ｔ＝３５，ＢＱ＝３０． （２）易知四边形ＰＱｃＤ为平行四边形，仁等． 初中版中。？毒ｉ：－？ 解法探究 （３）分两种情形：①当点Ｅ在ＣＤ上运动时，如图１０—３， １ ２０１３年３月 Ｑｏ相切于点Ｇ（如图ｌ１—３），可知朋＝８，ＨＱ＝２６—４ｔ．易知 ＰＡ＝ＰＧ，ＱＢ＝ＱＧ，ＰＱ＝２６—２ｔ．又ＰＱ ＝ＰＨ２＋ＨＱ ，贝０（２６—２ｔ） ＝ Ｓ＝Ｓ ÷ＱＥ・ＱＣ＝６ｔ ；②当点Ｅ在 上运动时，如图ｌ０一 １ ２，ｓ：ｓ梯形 ÷（ＥＤ＋ＱＣ）。ＤＨ＝１２０ｔ－６００． （４）考虑运动的全貌，分成三种情况：①当点Ｐ－￣ＢＡ （包括点Ａ）上，ｌｌ０＜ｔ≤１０时，如图１０—３，可得ＱＥ＝４ｔ＝ＰＧ， 进而知四边形ＰＧＱＥ为矩形，此时△尸ｐＥ总能成为直角三 角形；②当点Ｐ、Ｅ都在ＡＤ（不包括点Ａ但包括点Ｄ）上，即 ｌ０ ≤２５时，如图１０—２，△ 为直角三角形，但点Ｐ、Ｅ不 １ Ｃ 能重合，ｌｌＪ５ｔ一５０＋３ｔ一３０≠７５＝＝＞￡≠ ；③当点脏Ｄｃ上 （不包括点Ｄ但包括点Ｃ），￣２５＜ｔ≤３５时，如图１０—４，由 ＥＤ＞２５ｘ３—３０＝４５，可知点ＪＰ在以ＱＥ＝４０为直径的圆的外 部，故 口不会是直角，又 咫Ｑ一定是锐角， ＰＱＥ＜． ＣＱＥ，只有当点屿ｃ重合，如图１０—５，ＩＩ１ｔ＝３５时，△ＰｐＥ 为直角三角形． 综上所述，当△即Ｅ为直角三角形时， 的取值范围 １＜＜ 是０＜ｆ≤２５且￡≠ 或 ＝３５． 点评：图１０—２～图ｌ０—５均为运动中的“瞬间（静）”图 形，它是以“静”制“动”的基础；而透析动态的全貌，则为 （４）中分出三种情况提供了思维保障． （５）以直角梯形为载体构建的双点运动型问题． ①以直角梯形为载体构建的双点异向运动型问题． 例１１（１９９７年）如图１１一ｌ，直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ ＢＣ，ＬＢ＝９０。，ＡＢ＝８ ｃｍ，ＡＤ＝２４ ｃｍ，ＢＣ＝２６ ａｍ，ＡＢ为ｏ０ 的直径．动点尸从点Ａ开始沿ＡＤ边向点ＪＤ以１ ｃ 秒的速度 运动，动点Ｑ从点ｃ开始沿凹边向点Ｂ以３ ｃｒｎ／秒的速度运 动．Ｐ、Ｑ分别从点Ａ、Ｃ同时出发，当其中一点到达端点时， 另一点也随之停止运动．设运动时间为ｔ秒，求： （１） 分别为何值时，四边形ＰｐＣＤ为平行四边形、等 腰梯形？ （２） 分别为何值时，直线 与ＱＯ相切、相交、相离？ Ｃ Ｂ Ｑ Ｅ Ｆ Ｃ 图１１－２ 评析：（１）当ＱＣ＝ＰＤ，ＩＰｔ＝６秒时，四边形ＰＱＣＤ为平行 四边形；当ＰＱ＝ＣＤ，ＰＤ＃ＱＣ （如图１１—２），即ｆ＝７秒时，四边 形ＰＱＣＤ为等腰梯形． （２）设ｆ秒时，直线ＰＱ与 日 Ｃ １１—３ 鬃 中。？毒ｊＩ：－？初中版 ，＇ ８ ＋（２６— ） ，故ｆ ＝÷，ｊ ｔ２＝８．考虑运动全貌，可知ｔ＝０秒时， ，＇ ＰＱ与ｏＤ相交；当 ＝８÷秒时，Ｑ点运动到日点， 尚未运 ｊ ＾ 动到Ｄ点，但也停止运动，此时尸Ｑ也与ｏＤ相交．即当ｆ＝÷ ｊ １ ，’ 或ｔ＝８时，直线 与ＱＯ相切；当０≤ｆ＜÷或８ｊ ＜ ≤８÷时，ｊ ＾ 直线ＰＱ与（ＤＯ相交；当÷＜ｆｊ ＜８时，直线ＰＱ与ＱＯ相离． 点评：本例中．（２）－￣－解决建立在撷取“动中之一瞬” （以静制动）的基础上，而透析动态全貌则为（２）之分类作 结铺平了道路．数形结合亦同样充斥整个解题过程． ②以直角梯形为载体构建的双点同向运动型问题． 例ｌ２ （２０ｏ５年）如图１２—１，在直角梯形ＡＢＣＤ中， ＡＤ∥ＢＣ，／Ｃ＝９０Ｏ ＢＣ＝１６，ＤＣ＝１２，ＡＤ＝２１．动点Ｐ从点Ｄ出 发，沿射线ＤＡ的方向以每秒２个单位长的速度运动，动点 Ｑ从点ｃ出发，在线段佃上以每秒１个单位长的速度向点 Ｂ运动，点Ｐ、Ｑ分别从点Ｄ、Ｃ同时出发，当点ｐ运动到点Ｂ 时，点Ｐ随之停止运动．设运动的时间为ｔ秒． （１）设ＡＢｐＱ的面积为｜ｓ，求｜ｓ与ｔ之间的函数关系式． （２）当ｔ为何值时，以 、Ｐ、Ｑ－＿点为顶点的三角形是 等腰三角形？ （３）当线段 与线段ＡＢ相交于 ，４ｏ，且２ＡＯ＝ＯＢ时， 求 日 的正切值． （４）是否存在时刻￡，使得加上 Ｄ？若存在，求出ｔ的 值；若不存在，请说明理由． 图１２—１ 图１２—２ Ｐ Ａ Ｅ Ｄ Ａ Ｐ Ｅ Ｄ ｌ Ｂ Ｑ Ｃ Ｂ Ｑ Ｃ 图１２—３ 图１２—４ 评析：（１）如图１２—２，易知ＰＭ＝１２，ＱＢ＝１６一ｔ，Ｓ＝９６—６ｔ． （２）分成三种情况：①明＝日Ｑ（ＰＱ ＝ＢＱ ）时，有ｔ ＋１２ ＝ （１６一ｆ） ：＝＞ｆ＝ ７；②日脚Ｑ（ ＝ＢＱ ）时，有（１６—２ ） ＋１２ ＝ （１６一 ） ，而△＝一７０４＜０，该方程无解，Ｉ［ＩＰＢ＃ＢＱ；￣ＰＢ＝ＰＱ ２０１３年３月 （胎 ＝ ）时，有（１６—２ｔ） ＋１２ －￣ｔ＇２＂｛－１２２，解得￡ｌ＝ １０，ｔ２＝１６（舍 去）．总之，当ｔ＝ 秒或 ＝ 秒时，以曰、Ｐ、Ｑ三点为顶点的 三角形是等腰三角形． （３）姻ｌ２＿３，由△ ｐｍＡＯＢＱ，得 ＝ ＝ ， ＲＯ２（２ｔ－２１）：１６－ｔ￣ｔ＝＿＝５８Ｉ由肋：２ｔ，ＥＤ：ＱＣ＝ｔ，得咫： ：＿＝５８－．， 于是ｔａ．ｎ ＢＱＰ＝ｔａｎ／＿ＱＰＥ＝ ＝ ＝ ． （４）￣１３图１２＿４，当 上肋时，有ＲｔＡＢＤＣ￣ＲｔＡＱＰＥ， 解得ｔ＝９． 点评：此例中，诸多“瞬间”图形为以静制动提供了踏 脚石． ③以直角梯形为载体构建的双点复杂运动（一点单 向运动，另一点往返运动）型问题． 例１３（２０１０年）如图１３—１，在直角梯形ＡＢＣＤ中， ＡＤ＃ＢＣ，ＡＢ＝９０。，ＡＤ＝６，ＢＣ＝８，ＡＢ＝３、／３，点 是ＢＣ的 中点．点尸从点 出发沿ＭＢ以每秒１个单位长的速度向点 Ｂ匀速运动，到达点Ｂ后立刻以原速度沿ＢＭ返回；点Ｑ从 点 出发以每秒１个单位长的速度在射线ＭＣ上匀速运动． 在点Ｐ、Ｑ的运动过程中，以 为边作等边三角形耵 ，使 它与梯形ＡＢＣＤ在射线ＢＣ的同侧．点Ｐ、Ｑ同时出发，当点Ｐ 返回到点 时停止运动，点ｐ也随之停止．设点Ｐ、Ｑ运动的 时间是ｔ秒（ ＞０）． （１）设 的长为ｙ，在点枞点 向点 运动的过程 中，写出ｙ与ｔ之间的函数关系式（不必写ｔ的取值范围）． （２）当ＢＰ＝Ｉ时，求△ＥＰｐ与梯形ＡＢｃＤ重叠部分的面积 （３）随着时间ｔ的变化，线段ＡＤ会有一部分被ＡＥＰＱ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回 答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出ｔ的取值 范围；若不能，请说明理由． Ｅ Ｄ Ｂ Ｐ ／ Ｍ ‘＼Ｑ ｃ ｌ 图１３—１ 图１３—２ 评析：（１）ｙ＝２ｔ． （２）当ＢＰ＝Ｉ时，分两种情形．①如图１３—２，若点Ｐ从点 向点日运动，有伽＝吉 ｃ＝４，ＭＰ＝ＭＱ＝３，￣ＪＩｐＱ＝６．连接 ＥＭ，由ＡＥＰＱ是正三角形，得删ｊ＿ ，ＥＭ＝３、／了．５￣４Ｂ＝ ３、／了，则 ｈＥ在ＡＤ上，故重叠部分为ＡＥＰＱ，面积为 解法探究 ９、／了．②若点 点Ｂ向点 运动，易知ｔ＝５．ＰＱ＝ＢＭ＋ＭＱ— ＢＰ＝８，ＰＣ＝７．设朋与ＡＤ交于点 ＱＥ与ＡＤ或其延长线交 于点Ｇ，过点Ｐ作朋上ＡＤ于点Ｈ，￣ＩＪＨＰ＝３ ，ＡＨ＝Ｉ．在 ＲｔＡＨＰＦ中，易知日Ｆ＿３，ＰＦ＝６， ￣Ｊ］ＦＧ＝ＦＥ＝２．又ＦＤ＝２，则Ｇ与Ｄ 重合，如图１３—３，此时重叠部 分为梯形删Ｇ，面积为 、／了． Ｂ Ｐ Ｍ Ｃ Ｑ （３）能，４≤ ≤５． 图１３—３ 点评：本例中 点Ｐ双向双程往返运动，点Ｑ单向单程 运动，两点运动又带动了正三角形ＥＰｐ的变化和运动，题 目综合性强．第三问中．若能关注动态的全貌，则知当ｔ＝４ 时，△Ｅ 达到最大，此时“线段ＡＤ被ＡＥＰＱ覆盖的部分” 长度为２，此种情形一直保持到￡＝５；此后ｔ＞５，Ｅｐ与直线 ＡＤ的交点将在线段ＡＤ的延长线上．“线段ＡＤ被ＡＥＰＯ覆 盖的部分”长度小于２．故“线段ＡＤ被ＡＥＰＱ覆盖的长度” 达到最大值持续的时段为：４≤ ≤５． （二）由“形动”而引发的“动态几何问题” １．线段的单向运动型问题 例１４（２ｏ０５年・课改实验区）图１４—１至１４—７中的网格 图均是２０ｘ２０的等距网格图（每个小方格的边长均为１个 单位长）．侦察兵王凯在 观察区域ＭＮＣＤ内的活动情 况．当５个单位长的列车（图中的——）以每秒１个单位长 的速度在铁路线 Ⅳ上通过时，列车将阻挡王凯的部分视 线，在区域ＭＮＣＤ内形成盲区（不考虑列车的宽度和车厢 间的缝隙）．设列车车头运行到 点的时刻为０，列车从 点向Ⅳ点方向运行的时间为ｔ秒． （１）在区域ＭＮＣＤ内，请你针对图１４一ｌ、图１４—２、图 １４—３、图１４—４中列车位于不同位置的情形，分别画出相 应的盲区，并在盲区内涂上阴影． Ｐ Ｐ ｃ Ｑ Ｄ Ｃ Ｑ Ｄ 图１４—１ 图１４—２ Ｐ Ｐ Ｃ Ｑ Ｄ Ｃ Ｑ Ｄ 图１４—３ 图１４—４ 初中版中‘？擞・？ 解法探究 （２）只考虑在区域ＡＢＣＤ内形成的盲区．设在这个区 ２０１３年３月 盲区的面积由０逐渐增大￣１Ｊ７５；当１０＜￣ｔ≤１５时，盲区的面 域内的盲区的面积是价平方单位． 积ｙ为定值７５；当１５≤ ≤２０时，由一次函数ｙ＝３００—１５ｆ的性 质，可知盲区的面积由７５逐渐减小到０＿ （３）类似④，此处略． 点评：此题及下面的例ｌ７、例１８，均以网格图为载体 ①如图１４—５，当５≤￡≤１０时，请你求出用ｔ表示ｙ的函 数关系式； ②如图１４—６，当ｌＯ≤ ≤１５时，请你求出用ｔ表示ｙ的函 数关系式； 构建而成．思考上有个共同的特征，即透析动态的全貌为 ③如图１４—７，当１５≤ｔ≤２０日寸，请你求出用ｔ表示Ｙ的函 数关系式； ④根据①一③中得到的结论，请你简单概括，，随ｔ的变 化而变化的情况． Ｐ Ｐ … 互析充斥其间１ 各题之第三问的巧解提供了技术支持．同时一连串的图 形是作为“动”中之一瞬出现的，是以静制动的基础，数形 ２．直线的平移运动型问题 羹 Ｃ Ｃ１ Ｑ Ｄｉ Ｄ Ｃ Ｑ Ｄ，Ｄ 图１４—９ 图ｌ４—１０ （３）根据上述研究过程，请你按不同的时段，就列车 行驶过程中在区域ＭＮＣＤ内所形成盲区的面积大小的变 化情况，提出一个综合的猜想． 评析：（１）作图略． （２）①如图１４—８，当５≤ ≤１０时，盲区是梯形４Ａ。Ｄ。Ｄ， 易知ＡｌＡ是ＡＰＤ Ｄ的中位线，Ａ 一５，Ｄ Ｄ＝２（ｔ一５），而梯形 ＡＡ１Ｄ，Ｄ￣ＯＱ＝ＩＯ，贝 ÷［（ｆ一５）＋２（￡一５）］￣１０＝１５ｔ－７５． ②如图１４—９，当１０≤ ≤１５时，ｙ＝￣－二 （５＋ｌＯ）ｘ１０＝７５． ③如图１４—１０，当１５≤ ≤２０时，ｙ＝÷［（２０一ｔ）＋２（２０一 上 ｔ）］ｘｌＯ＝３００～１５ｔ． ④当５≤ ≤１０时，由一次函数ｙ＝１５ｔ一７５的性质，可知 嚣篓 中。 擞’？初中版 例１５（２０００年）在如图１５所 示的直角坐标系中，点ｃ在Ｙ轴的 正半轴上，四边形ＯＡＢＣ为平行四 边形，ＯＡ＝２，／Ａ０Ｃ＝６０。，以ＯＡ为 图１５ 直径的ＯＰ经过点ｃ，点Ｄ在Ｙ轴 上，ＤＭ为始终与Ｙ轴垂直且与ＡＢ边相交的动直线，设ＤＭ 与ＡＢ边的交点为 （点Ｍ在线段ＡＢ上，但与Ａ、曰两点不重 合），点 与日Ｃ的交点，设ＯＤ＝ｔ． （１）求点Ａ和Ｂ的坐标； （２）设ＡＢＭＮ的外接圆ＯＧ的半径为Ｒ，试用ｔ表示Ｒ 及点Ｇ的坐标； （３）当ＯＧ与。瑚外切时，求直角梯形ＯＡＭＤ的面积 评析：（１）Ａ（Ｖ ，１），Ｂ（、／ ，２）． （２）易知Ｇ为ＢＮ的中点，肼＝÷ Ⅳ＝Ｒ＝２ 易知删＝ 删，删＝ｉ，，ＢＭ，设点Ｇ的坐标为（ ，ｙ），由删＝ （２ 珊÷ 孚ｔ，ｙ＝ＯＤ＋ 腓 ＋ 则点Ｇ的坐标为（ ，１＋ ）． （３）易知ＧＰ＿、 砑＝Ｖ ．当ＯＧ与ｏＰ夕 切 时，ＰＧ：Ｒ＋Ｉ，则、 二 ：３一 ｊ拄８ ，继而可得梯形 彻的面积为 、／了． 点评：当ＯＧ逐渐“长大”时，将－ｂ－ ＯＰ有相切的时刻， 这是在分析动态全貌的基础上得出的．同时以静制动、数 形互析在分析过程中也有很好的体现． ３．角的旋转运动型问题 例１６（２００３年）如图１６—１，已知Ａ为ｚ＿ｅＯＱ的边ＯＱ上 一点，以Ａ为顶点的厶 Ⅳ的两边分别交射线０Ｐ于Ｍ、Ａ两 ２０１３年３月 点，且 转（ Ｊ７、『＝ ＰＤＱ （ 为锐角），当 Ⅳ以点Ａ为旋 对称的图形． 解法探究 转中心，Ａ 逸从与Ａ ０重合的位置开始，按逆时针方向旋 Ⅳ保持不变）时，Ｍ、Ⅳ两点在射线０肚同时以不 同的速度向右平行移动，设ＯＭ＝ｘ，ＯＮ＝ｙ（ｙ＞ｘ＞１０），ＡＡＯＭ 的面积为Ｓ，ＣＯＳ ａ、ＯＡ是方程２ｚ￣５ｚ＋２－－Ｏ的两个根． （１）当ＬＭＡＮ￣转３０。（即 ＯＡＭ＝３０。）时，求点Ⅳ移动的 距离； （２）求证：Ａ肥ＤⅣ・ＭＮ； Ｐ （３）求Ｙ与 之间的函数关 系式及自变 的取值范围； 图１６—１ （４）试写出Ｓ随 变化的关系式，并确定Ｊｓ的取值范围． Ｐ Ｏ 图１６—２ 图１６—３ ＇ 评析：（１）易知ＯＡ＝２，ｃ０ｓａ＝÷，ａ＝６０。，即ＬＰＯＱ＝ ＬＭＡＮ＝６００故初始状态时，△Ａ ＤＪ７＼，为等边三角形且ＯＮ＝ ＯＡ＝２．继而易知ＬＭＡ臌转３０。时，点＾移动的距离为２ （如图１６—２）． （２）由△ＯＡＮｏ￣△ ｌⅣ，得ＡＮＺ＝ＯＮ・肘 （３）ＡＮ２＝ＯＮ・ＭＮ＝ｙ（ｙ－ｘ）＝ｙ２－ｘｙ．如图１６—３，ＯＤ＝Ｉ， ＡＤ＝、／３，￣１］ＤＮ＝ｙ－１，ＡＮ２＝ＡＤ２＋ＤＮ２＝ｙ２—２ｙ＋４，所以 一 稃 （０≤ ＜２）． ● （４）ｓ： Ｄ ． Ｉ＝ ２ ２ 由Ｏ≤ （２，可得Ｏ≤ｓ＜、／了． 点评：当对整个运动过程全面把握后，便能体会出 ‘ ：２”的几何意义是‘＇ＡＮ，／／ＯＰ＇’．同其他问题一样．在本例 中．以静制动与数形互析也被运用得淋漓尽致． ４．三角形的平移运动型问题 例１７（２ｏｏ４年－课改实验区）如图１７—１和ｌ７—２，在 ２０ｘ２０的等距网格（每个小方格的边长均为１个单位长） 中，ＲｔＡＡＢＣ￣点Ａ与点 重合的位置开始，以每秒１个单 位长的速度先向下平移，当Ｂｃ边与网格的底部重合时， 继续同样的速度向右平移，当点Ｃ与点喱合时，ＲｔＡＡＢＣ 停止移动．设运动时间为 秒，△ ｃ的面积为 （１）如图１７—１，当Ｒｔ△Ａ ｃ向下平移到ＲｔＡＡ ＩＢ。Ｃ。的 位置时，请你在网格中画出ＲｔＡＡ１Ｂ。Ｃ 关于直线Ｑ＾『成轴 图１７—１ 图１７—２ （２）如图１７－２，在ＲｔＡＡＢＣ向下平移的过程中，请你 求出ｙ与 的函数关系式，并说明当 分别取何值时，ｙｌＲ得 最大值和最小值、最大值和最小值分别是多少． （３）在￣ＡＡＢＣ向右平移的过程中，请你说明当ｘ取 何值时，ｙ取得最大值和最小值，最大值和最值分别是多 少？为什么． 评析：（１）作图略． （２） ，ＭＢ＝ｘ＋４，ＭＱ＝２０，ｙ＝ｓ梯形Ｑ】Ｉ 一、ｓ 邶一．ｓ△＾船＝ ２ ＋４０（０≤ ≤１６），且ｙ最小＝４０，ｙｇ￣＝２ｘ１６＋４０＝７２． （３）在ＡＡＢＣ自左向右平移的过程中，△ＱＡｃ在每一 时刻的位置都对应着（２）中△ ｃ某一时刻的位置，使得 这样的两个三角形关于直线ＱＮｈ３￣轴对称．因此，根据轴 对称的性质，只需考察ＡＡＢＣ在自上至下平移过程中 ＡＱＡＣ的面积的变化情况，便可以知道ＡＡＢＣ在自左向 右平移过程中ＡＱＡＣ的面积的变化情况：当ｘ＝１６时，ｙ取 得最大值，且强大：７２；当ｘ＝３２１ｔ￣， 得最小值，且强小： ５．正方形的放缩运动和平移运动型问题 例１８（ｚｏｏ６￣・课改实验区）图１８—１至图ｌ８＿７的正方 形霓虹灯广告牌Ａ ＢＣＤ都是２０ｘ２０的等距网格（每个小方 格的边长均为１个单位长），其对称中心为点 如图１８—１， 有一个边长为６个单位长的正方形ＥＦＧＨ的对称中心也是 点Ｄ，它以每秒１个单位长的速度由起始位置向外扩大（即 点Ｄ不动，正方形Ｅ阳曰经过一秒由６×６扩大为８×８；再经过 一秒，由８ｘ８扩大为１０￣１０；……），直到充满正方形ＡＢＣＤ， 再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不 断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为６个单位 长的正方形删 从如图１８—１所示的位置开始，以每秒１ 个单位长的速度，沿正方形 ＢＣＤ的内侧边缘按Ａ— 删移动（即正方形ＭＮＰＱ￣点Ｐ一与点Ａ重合位置开 始，先向左平移，当点Ｑ与点 重合时，再向上平移，当点 与点ｃ重合时，再向右平移，当点＾ 点Ｄ重合时，再向下平 移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．正方形 ＥＦＧＨ和正方形ＭＮＰＱ）￣如图１８—１的位置同时开始运动，， 设运动时间为 秒，它们的重叠部分面积为价平方单位． 初中版中。？毒乏’？ｌ—ｌ●Ｉ一 ２０１３年３月 新颖试题 异样思路——一样精彩 奚喜兵钱申达 中考试题解法探究一例 ◎浙江省象山县鹤浦中学一、问题的提出 二、解法探究 （１）、（２）两个小题比较简单过程从略，主要介绍第 （３）题的不同解题思路，以期与同行交流探试 思路一：构造全等三角形 有这样一道中考题（江苏盐城）： 如图１所示，在直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ，ＡＢ上 ＢＣ，ＬＤＣＢ＝７５。，以ＣＤ为一边的等边ＡＤＣＥ的另一顶点Ｅ 在腰Ａ 上． 延长毋Ｆ、 Ｄ交于点日，并连结ＡＦ，如图３， 因为 咫Ｃ＝３０。， 所以 Ａ ６０ｏ－ 因为ＬＦＢＣ＝３０。， 厶ＤｃＢ．－１５ｏ． 所以 胀图１ 图２ ７５。， （１）求ＬＡＥＤ的度数； （２）求证：ＡＢ＝ＢＣ； （３）如图２所示，若助线段ｃＤ上一点，ＬＦＢＣ＝３０￣． 故曰Ｃ＝曰 图３ 由（２）知：ＢＡ＝ＢＣ，故ＢＡ＝ＢＦ， 因为ＬＡＢＦ＝６０￣，所以Ａ 翊忙蜊， 又因 Ｄ／／ＢＣ，ＡＢＺＢＣ，所以ＬＦＡＨ＝ＬＨ＝３０￣，所 以用＝ ：用受 求 ＤＦ的值 分析：第（１）小题是常规的计算题，属于基础题，答案 为ＬＡＥＤ＝４５。； 因为ＬＨ＝ＬＦＢＣ＝３０。， 所以△ Ｃ虺ＡＨＤＥ Ｈ＝ ａ ，ＦＢ＝ＦＨ， 第（２）ｄｘ题是简单的证明题，属于常规题，过程从略； 第（３）小题的条件比较简单，反而使得解题过程显得 困难，是综合题，能较好体现数学思想方法． 所以ＤＦ＝ＣＦ，即点腥线段ＣＤ的中点． 所以 ：１． ｉ３ｔ１３－ｖ＇！、时到 巷，速度为６ｏ÷ ！ 堡 ２５．５海里／ 参考文献： ｌ冲华人民共和国教育部制定．全日制义务教育数学课 程标准（２０１１年版）［Ｍ】．北京：北京师范大学出版社，２０１１． ４ ．４ 时，即轮船至少应提速６ｉ每里／时． 点评：为什么会解出仁３和‘＝ 堡这些数据４ ２．苑建广．对强化数学意识教学的肤浅思考［Ｊ】．天津 。恐 教育，２００５（１２）． 怕只有明了运动的全过程才能知晓．虽然它在生活中是 没有价值的．但对它的思考却又得于对问题的全面认识． ３．苑建广．动态几何问题解法指要［Ｊ］．数学大世界， ２ｏｏ５（６）． 本文对河北中考连续出了十六年的十九例动态几何 型压轴题做了分析，旨在通过对此类问题发展历程的追 溯，得出一些通法，以求为将来的解题提供帮助．未尽之 ４．苑建广．特例解题原理浅探［Ｊ］．中学数学研究， ２００６（４）． ５．苑建广．２０１１年河北省中考试卷整卷解读报告［Ｊ］． 处，敬请不吝赐教 中学数学教学参考（光盘版），２０１１（８）．衄． 哆・幺
