初中平面几何证明题及答案

九年级数学练习题

１.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG 求证：S△ABCS△AEG

２.如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG。若O为EG的中点 求证:EG=2AO

３. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为

EG的中点，OA的延长线交BC于点H 求证：OH⊥BC

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４. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O 求证：O为EG的中点

5. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点 求证：四边形MNPQ是正方形

答案：

1. 作CM⊥AB于点M，EN⊥GA，交GA的一次性于点N

∵∠MAN=∠CAE=90° ∴∠CAM=∠EAN

∵∠ANE=∠CMA=90°，AC=AE ∴△ACM≌△AEN ∴CM=EN

∵S△ABC=1/2*AB *CM，S△AGE=1/2*AG*EN 又∵AG=AB，CM=EN ∴S△ABC=S△AEG 2. 证明：

延长AO到点M，使OM=OA，连接MG、ME 则四边形AEMG是平行四边形 ∴GM=AE=AC，MG‖AE

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∴∠MGA+∠GAE=180° ∵∠BAG+∠CAE=180° ∴∠BAC+∠GAE=180° ∴∠BAC=∠AGM ∵AC=AB

∴△AGM≌△BAC ∴BC=AM=2AO

3. OA与OH共线，所以向量AO与向量BC的数量积为0即可证出AH⊥BC

我用AB表示向量AB，即此时字母AB都有方向性，下边的都是如此，

2AO=AG+GE

过A作直线BC的平行线交FG于M，交DE于N，

2AO*BC

=(AG+AE)*BC =AG*BC+AE*BC

=-|AG||BC|cos∠GAM+|AE||BC|cos∠EAN =|BC|*(-|AB|*sin∠MAB+|AC|*sin∠NAC) =|BC|*(-|AB|sin∠ABC+|AC|sin∠ACB)

设BC上的高长为h,

上式=|BC|(-h+h)=0

所以AO与BC垂直，即AH⊥BC 5. 连结BE、CG，

∵PQ是△BEC的中位线， ∴PQ//BE，且PQ=BE/2， 同理MN//BC，MN=BE/2， ∴MN=PQ，且MN//PQ，

∴四边形PQMN是平行四边形， 同理MQ=PN=CG/2， 在△BAE和△GAC中， BA=GA， AC=AE，

∵〈BAG=〈CAE=90°，

〈BAG+〈BAC=〈CAE+〈BAC， ∴〈BAE=〈GAC，

∴△BAE≌△GAC，（SAS）， ∴BE=CG， ∴BE/2=CG/2，

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∴PQ=MQ，

∴四边形PQMN是菱形， 设CG和BE相交于O

〈AEB=〈ACG，（全等三角形对应角相等），

则A、O、C、E四点共圆，（共用AO底，同侧顶角相等的二三角形四点共圆） 〈EOC=〈EAC=90°， ∴BE⊥CG， ∴PQ⊥MQ，

∴四边形PQMN是正方形。

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