矩阵分解（三）：三角分解

上(下)三⾓矩阵：对⾓线上(下)⽅的元素全为零，即对ij,aij=0)单位上(下)三⾓矩阵：对⾓线元素全为1的上(下)三⾓矩阵

定理1(LU分解定理)：设A是n阶⾮奇异矩阵，则存在惟⼀的单位下三⾓矩阵L和上三⾓矩阵U使得

A=LU

⟺ A的所有顺序主⼦式均⾮零，即

Δk=Λ

注意到，对于⾮奇异上三⾓阵，有：

(11

⋯⋯

kk

)≠0, k=1,⋯,n−1

(u11u120u22

u13u23⋱0

⋯⋯⋱

u1nu2n⋮

0⋯

un−1,n−1un−1,n

0unn

)(=

u11u12

0u22

u13u23⋱0

⋯⋯⋱

u1nu2n⋮

0⋯

un−1,n−1un−1,n

0unn

)(n

u12u13u11u23

u1n

1

u11

⋯⋯⋱1

u11u2nu22

1

u22

⋱0

⋮

un−1,nun−1,n−1

1

)从⽽有如下结果：

定理2(LDU分解定理)：设A是n阶⾮奇异矩阵，则存在惟⼀的单位下三⾓矩阵L，对⾓矩阵D=diag(d1,d2,⋯,dn)和单位上三⾓矩阵U使得

A=LDU

⟺ A的所有顺序主⼦式均⾮零，即Δk≠0(i=1,⋯,n−1)，且

Δk

d1=a11,dk=

Δk−1

, k=2,⋯,n

有时，即使矩阵A⾮奇异，也未必可以作LU分解和LDU分解，此时，可以适当地改变⾮奇异矩阵A的⾏的次序（左乘⼀个排列矩阵），使改变后的矩阵可以作LU分解

定义1：设ei是n阶单位矩阵的第i列(i=1,2,⋯,n)，以e1,e2,⋯,en为列作成的矩阵[ei,ei,⋯,ei]称为**n阶排列矩阵，其中i1,i2,⋯,in是1,2,⋯,n的⼀个排列

以排列矩阵[ei,ei,⋯,ei]T左乘n阶矩阵A，就是将A的⾏按照i1,i2,⋯,in的次序重排；以排列矩阵[ei,ei,⋯,ei]T右乘n阶矩阵A，就是将A的

12n12n

列按照i1,i2,⋯,in的次序重排从⽽有下⾯的结果：

定理3：设A是n阶⾮奇异矩阵，则存在排列矩阵P使得

˜

PA=LU=LDU

˜

其中L是单位下三⾓矩阵，U是上三⾓矩阵，U是单位上三⾓矩阵，D是对⾓矩阵\\LU分解可⽤于求解线性⽅程组：

设A是n阶⾮奇异矩阵，b是n维向量，对线性⽅程组

Ax=b

1.如果A的顺序主⼦式都不为零，则A有三⾓分解A=LU，则(7)等价于如下⽅程组

1

2

{从⽽先从(8)的第⼀组⽅程解出y，然后将y代⼊第⼆组⽅程求出x2.如果A的顺序主⼦式中有等于零的，则考虑如下⽅程组：

Ly=bUx=y

PAx=Pb

其中P是适当的排列矩阵，之后重复1.的步骤即可

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