1、（2010江苏省徐州市中考网上阅卷作答训练）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？ 理由；
y C D OP A x B （3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明
y （4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长． ．．2、（2010甘肃省天水市、庆阳市、定西市、白银市、嘉峪关市等九市联考）
如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于A O B x 点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形C 与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直
D 接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2010贵州省铜仁地区）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（3，0），C（0，2），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合． （1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点M，使△PEM是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点M的坐标． y y D C B C B F F E E D
O P A x O P A x
图1 图2
4、（2010云南省楚雄自治州）已知：如图，⊙A与y轴交于C、Dy 两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为5，过点C作⊙A
C 的切线交x轴于点B．
（1）求切线BC的解析式；
O A B x （2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点G的坐标； D （3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于
E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
2 y 25、（2010四川省广安市）如图，直线y＝－x－1与抛物线y＝ax＋bx－4都经过点A（－1，0）、C（3，－4）． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值； （3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 2
6、（2010四川省达州市）如图，对称轴为x＝3的抛物线y＝ax＋2x与x轴相交于点B、O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l，点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
7、（2010四川省内江市）如图，抛物线y＝mx－2mx－3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
2
8、（2010湖南省郴州市）如图（1），抛物线y＝x＋x－4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y＝x＋b与抛物线交于点B、C．
2
A O PC EB x y A B O x y A O B x C M （1）求点A的坐标； （2）当b＝0时（如图（2）），△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞－4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求b的值；若不存在，说明理由．
y y
C
E B O x B A 图（1）
C E O x A 图（2）
3 9、（2010湖北省咸宁市）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，D E P C AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的Q 交点为E，与折线A－C－B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）． A M B （1）当t＝0.5时，求线段QM的长； l （2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
CQ（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，
RQ请说明理由．
y 10、（2010广东省河源市、梅州市）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在EC 点右方）．
（1）求点E、D 的坐标； B （2）求过B、C、D三点的抛物线的函数关系式；
（3）过B、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直O E D A x 角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
2
11、（2010内蒙古包头市）如图，抛物线y＝－x＋(m＋2)x－3(m－1)交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，直线y＝(m＋1)x－3经过点B． （1）求该抛物线的解析式；
（2）P为线段AB上的动点，过点P作PD∥BC，交AC于点D，连接CP，当△CPD的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线y＝(m＋1)x－3沿y轴向上平移，平移后的直线与该抛物线交于M、N两点．在直线平移过程中，是否存在某一位置使得△PMN为直角三角形？若存在，请求出此时直线向上平移了几个单位；若不存在，请说明理由．
y
C
D y＝(m＋1)x－3
y
A O P B x A B P
O Q D C x 12、（2010内蒙古呼伦贝尔市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（0，12），顶点C的坐标为（25，0），O为坐标原点，点D是边OC上一点，AD⊥BD，且OD＜DC． （1）求点D的坐标；
（2）动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿折线AD→DB→BA运动，动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度沿边OC向点C运动，两动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设动点的运动时间为t秒，△PQD的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）当△PQD为直角三角形时，直接写出t的值．
4 13、（2010内蒙古乌海市）如图，抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OC＝4，OA＝2OC，且抛物线的对称轴为直线x＝－3． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）矩形DEFG的边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD＝m，矩形DEFG的面积为S，当S取最大值时，连结DF2并延长至点H，使FH＝DF，求出此时点H的坐标； 52y H F C G A y E O D B x （3）若点Q是抛物线上一点，且横坐标为－4，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BPQ是直角三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14、（2010黑龙江省牡丹江市、鸡西市、森工总局）如图，矩形OABC在
B A 2
平面直角坐标系中，若OA、OC的长满足|OA－2|＋(OC－23)＝0． （1）求B、C两点的坐标． （2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，x O D C 求直线BB′的解析式．
B′ （3）在直线BB′上是否存在点P，使△ADP为直角三角形？若存在，请直
接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 15、（2010辽宁省盘锦市）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC
F A D ＝60°．动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q从点D出发沿折线DC－CA－AB以每秒3个单位长的速度匀速
E 运动，过点P作PF⊥BC，交折线AB－AC于点E，交直线AD于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒． Q （1）当t为何值时，QE⊥AB？
B P C （2）设△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当Q在线段CA上运动时，若△PQF为等腰三角形，求t的值；
（4）在整个运动过程中（不包括动点的起始位置），是否存在时刻t，使得△PQF为直角三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，说明理由． 16、（2010辽宁省铁岭市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（－1，0），（5，0），（0，2）．
（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式．
y （2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向
E B点移动，连接PC并延长到点E，使CE＝PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒（0≤t≤6），C 设△PBF的面积为S．
①求S与t的函数关系式． O ②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？ B x A P （3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直F 接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．
5 17、（2009辽宁省营口市）如图，正方形ABCO的边长为5，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转后得到正方形A1B1C1O(α＜45º)，B1C1交y轴于点D，且D为B1C1的中点，抛物线y＝ax＋bx＋c过点A1、B1、C1． （1）求tanα的值； （2）求点A1的坐标，并直接写出点B1、点C1的坐标； ．．．．（3）求抛物线的函数表达式及其对称轴； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB1C1为直角三角形？．．．．
A 2y B1 B A1 x D C C1 O 若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． ．．．．18、（2009辽宁省朝阳市）如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，－4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B． （1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式； （2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）
如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
ⅰ）试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）； ⅱ）当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？ ⅲ）是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，
请说明理由．
y y A A D B
x O A′ O E C B x
图② 图①
B′
19、（2009广西玉林市、防城港市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－
4(x－6)与x轴、y轴分别3相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．
（1）求BD的长．
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD＝S1，S△NOA＝S2，当点N运动到什么位置时，S1·S2的值最大，并求出此时点N的坐标．
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．
2
20、（2009四川省成都市）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝a(x＋1)＋c(a＞0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M．若直线MC的函数表达式为y＝kx－3，与310． 10（1）求此抛物线的函数表达式；
x轴的交点为N，且cos∠BCO＝
（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
6
（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多
y 少个单位长度？
21、（2009福建省龙岩市初中毕业班质量检查）如图，已知抛物线y＝ax－5ax
＋4a（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）试写出A、B两点的坐标：A(____，0)，B(____，0)；
（2）记经过A、B、C三点的圆为⊙M，若⊙M恰好与y轴相切于点C，试
M C 求抛物线的解析式；
（3）探究：在（2）中的抛物线的对称轴右侧图形上是否存在点P，使△PACO A B 是以AC为一条直角边的直角三角形．若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
22、（2009福建省三明市初中毕业班质量检查）如图，抛物线y＝ax＋bx＋2与x轴的交点是A(3，0)、B(6，0)，与y轴的交点是C． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P(x，y)(0＜x＜6)是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值？其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
C
Q
O A P B x
2
23、（2009福建省宁德市）如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值； （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． y y C1 C1
M N
Q
A O B A O B E x F x
C2 C3 C4 P P 图（1） 图（2）
2
x
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