高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)

高中二年级学业水平考试

数学

（测试时间120分钟，满分150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知i是虚数单位，若复数i(ai)(aR)的实部与虚部相等，则a （A）2

（B）1 （C）1 （D）2

（2）若集合A0,1,2，Bxx4,xN，则A2B=

（A）x0x2

 （B）x2x2 （C）{0,1,2} （D）{1,2}

（3）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b没有公共点”是“平面α和平面β平

行”的

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（C）充要条件 （4）若sin1，且，则sin2的值为 32 （A）42222242 （B） （C） （D） 9999（5）在区间1,4上随机选取一个数x，则x1的概率为 （A）

1221 （B） （C） （D）

53542x2y2（6）已知抛物线yx的焦点是椭圆21的一个焦点，则椭圆的离心率为

a3（A）

113713 （B） （C） （D）

473713开始（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是

（A）f(x)x33x5 （B）f(x)2x4

输入x

1

y=x-12|y-x|<1?否1x=y高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)

12 x（8）已知a(2,1),b(1,1)，a与b的夹角为，则cos

（C）f(x)2xln(x2)3 （D）f(x)（A）

103101015 （B） （C） （D） 101055

（9）在图1的程序框图中，若输入的x值为2，则输出的y值为

（A）0 （B）

13 （C）1 （D） 224（10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是

（A）76 （B）70 （C）64 （D）62 （11）设f(x)e2x3,g(x)ln(x3)，则不等式

45主视图侧视图f(g(x))g(f(x))11的解集为

（A）[5,1] （B）(3,1] （C）[1,5] （D）(3,5]

2俯视图图2 (12) 已知函数f(x)=ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为

（-,-2） （A） （B）（-,-1) （C）(1,+) （D）(2,)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．

（13）函数f(x)3sinxcosx的最小正周期为 ．

yx2



（14）已知实数x,y满足不等式组xy2，则2xy的最小值为 .

3xy3

（15）已知直线l：xya0，点A2,0，B2,0. 若直线l上存在点P满足APBP，

则实数a的取值范围为 .

（16）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2,B3，且△ABC的面

2

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积S3，则ac .

三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}满足a11,a44；数列{bn}满足b1a2，b2a5，数列{bnan}为等比数列．(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Sn． （18）（本小题满分12分）

某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6 名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：

（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；

（Ⅱ）已知该地区有X,Y两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X型车，高一级学生都租Y型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X型车的概率.

（19）（本小题满分12分）

如图3，已知四棱锥ACBB1C1的底面为矩形，D为AC1 的中点，AC⊥平面BCC1B1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=3, （1）求BD的长；

（2）求三棱锥C-DB1C1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）

已知过点A(0,1)的动直线l与圆C：xy4x2y30交于M，N两点. （Ⅰ）设线段MN的中点为P，求点P的轨迹方程; （Ⅱ）若OMON2,求直线l的方程. （21）（本小题满分12分）

已知函数fxxlnx.

3

22ADCC1B1B高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)

（Ⅰ）求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）若对任意x,e，都有fxe1123xax0成立，求实数a的取值范围． 22请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x2y21上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C. （Ⅰ）写出C的参数方程；

（Ⅱ）设直线l：4xy10与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)|x2||xa|. （Ⅰ）若a2，解不等式f(x)5；

（Ⅱ）如果当xR时，f(x)3a，求a的取值范围．

14 4

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数学参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．

一、选择题：

题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10 C 11 B 12 D 部分解析：

（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64.

22（11）f(g(x))g(f(x))11即(x3)32x11x4x505x1，注意

到x30，即x3，故3x1.

2（12）当a0时，函数f(x)3x1有两个零点，不符合题意，故a0，

f'(x)3ax26x3x(ax2)，令f'(x)0得x0或x解得a2．

22，由题意知，a0，且f()0，aa二、填空题：

题号 答案 13 2 14 -2 15 [22,22] 16 4 222（15）问题转化为求直线l与圆xy2有公共点时，a的取值范围，数形结合易得

22a22.

（16）由余弦定理得b2a2c22accosB4，即a2c2ac4，

S132acsinBac3，得ac4，故(ac)16ac4 24三、解答题：

5

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（17）解：（Ⅰ）由数列{an}是等差数列且a11,a44

∴公差da4a11， ------------------------------------------------------------------------------1分 3∴ana1(n1)dn，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵b1a2=2，b2a5=5，∴b1a11,b2a23, ∴数列{bnan}的公比qb2a23，-----------------------------------------------------------5分

b1a1n1n1∴bnan(b1a1)q3，

n1∴bnn3；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 n1(Ⅱ)由bnn3得

Sn(12n)(13323n1)--------------------------------------------------------9分

n(n1)3n1 2313nn(n1)1 ------------------------------------------------------------------------------------ 12分 2（18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为

高二学生的人数为:

56=2， ------2分 9+659=3； -------------------------------------------------------------------4分 9+6（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为a1,a2，3名高二的学生为b1,b2,b3，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3)，(a2,b1), (a2,b2), (a2,b3), (b1,b2), (b1,b3), (b2,b3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X型车的有：(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3)，

(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共9种，------------------------------------------10分

故所求的概率P9.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 10【解法:2：记抽取的2名高一学生为a1,a2，3名高二的学生为b1,b2,b3，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3)，

6

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(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共10种可能；--------------------------------------8分

其中所抽的2人都不租X型车的有：(a1,a2) 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率P119. ---------------------------------------------------------------------------12分 1010（19）解：（Ⅰ）证明：连结BC1交B1C于E，连结DE， ------------------------------------------1分 ∵D、E分别为AC1和BC1的中点，

∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE平面CDB1,AB平面CDB1,

∴AB//平面CDB1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC1B1，BC平面BCC1B1， ∴BCAC, 又∵BCCC1,ACBCEB1ADC1CC1C，

∴BC平面ACC1， ∵CD平面ACC1,

∴BCCD,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在RtBCD,∵BC=1，CD∴BD11AC1AC2C1C21, 222; ----------------------------------------------------------------------------------------------------8分

【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC平面ACC1，BC//B1C1

∴B1C1平面CC1A,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴VCDB1C1VB1CDC11113SCDC1B1C1131. ---------------------------------12分 33412【解法2：取CC1中点F,连结DF，

∵DF为△ACC1的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC平面CBB1C1，从而可得DF平面CBB1C1,----------------------------------------------10分

7

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∴VCDB1C1VDCB1C111113SCB1C1DF13. --------------------------------12分 33221222（20）解法（Ⅰ）将xy4x2y30化为标准方程

得:(x2)2(y1)2(22)2, ----------------------------------------------------------------------------1分

可知圆心C的坐标为(2,1),半径r22, 设点P的坐标为(x,y),则CP(x2,y1),AP(x,y1),---------------------------------------2分 依题意知CPAP,

∴CPAP0(x2)x(y1)(y1)0

22整理得:xy2x2y10, ------------------------------------------------------------------------4分

∵点A在圆C内部, ∴直线l始终与圆C相交,

∴点P的轨迹方程为xy2x2y10.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2),

若直线l与x轴垂直,则l的方程为x0,代入xy4x2y30

222得y2y30,解得y1或y3,

22不妨设y11,y23,则OMON3,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l的斜率为k,则l的方程为ykx1,

x2y24x2y30,22由消去y得:(1k)x4x40, --------------------------------8分 ykx1.16(2k2)0,

则x1x244,xx,------------------------------------------------------------------------9分 12221k1k2由OMON2得x1x2y1y2(1k)x1x2k(x1x2)12,

∴(1k)244k12k24k10, 221k1k解得:k23,------ ---------------------------------------------------------------------------------------11分

8

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∴当OMON2时,直线l的方程为y(23)x1或y(23)x1. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)， ∵fxlnx1，令f'(x)0得x当0x1，-------------------------------------------------------------2分 e11时f'(x)0，当x时，f'(x)0， ee11∴函数f(x)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增，----------------------------------------4分

ee∴函数f(x)无极大值， 当x111时，函数f(x)在(0,)有极小值，f(x)极小f()，--------------------------5分 eee123x31x,efxxax0alnx（Ⅱ）当时，由，得，--------------6分 2222xe记gxlnxx31，x,e， 22xe则gxx3x1， 1132x22x2x2当x,1时，得g'(x)0，当x1,e时， g'(x)0

1e∴gx在,1上单调递增，在1,e上单调递减，---------------------------------------------------9分

1e又g11e13ee3，ge1， 2e222e111gg()g(e)2e0∵，∴ge，-------------------------------------------------10分

eee故gx在,e上的最小值为g，故只需ag，

eee即实数a的取值范围是,111113e．------------------------------------------------------------12分 2e2选做题：

9

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1

x'x,

4 得x4x',yy'-------------------------------------2分 （22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式y'y.

代入x2y21中得16x'y'1，--------------------------------------------------------------------3分

221xcos,(为参数）；----------------------------------------------------5分 故曲线C的参数方程为4ysin.1411故线段P1 P2中点M(,)，---------------------------------------------------------------------------7分

821∵直线l的斜率k4∴线段P1 P2的中垂线斜率为，

4111故线段P1 P2的中垂线的方程为y(x)------------------------------------------------------8分

248,0),P2(0,1)，--------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由题知，P1(即8x32y150，将xcos,ysin代入得

其极坐标方程为8cos32sin150----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a＝－2时，f(x)＝|x－2|＋|x＋2|， ①当x2时，原不等式化为：2x5,解得x55，从而x；-------------------------1分 22②当2x2时，原不等式化为：45，无解；---------------------------------------------------2分 ③当x2时，原不等式化为：2x5,解得x55，从而x；----------------------------------3分 2255综上得不等式的解集为xx或x.----------------------------------------------------------------5分

22 (Ⅱ)当xR时，|x2||xa||x2(xa)||a2| ---------------------------------------7分 所以当xR时，f(x)3a等价于|a2|3a-----（） 当a2时，（）等价于a23a,解得a55，从而a；----------------------------------8分 22当a2时，（）等价于2a3a,无解；------------------------------------------------------------9分 . --------------------------------------------------------------------------10分 故所求a的取值范围为[,+）

52 10