四川省遂宁市2021届高三零诊考试数学(理)试题 Word版含答案

遂宁市高中2021届零诊考试

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴

是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对

应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的。

1．已知集合A1,0,3，B0,2, 那么A．{1,0,2,3}

等于

B．{1,0,2}

C．{0,2,3} D．{0,2}

2．若复数(1i)(ai)(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为 A．2 B．1 C．0 D．1

333)，，则cos的值等于 252249A.  B. 

5254439C.  D.

25252an1(nN)，且a11，则a2021 4． 若数列an满足an123．已知cos(A. 1010 B. 1011 C. 2020 D. 2021

5．为了得到函数ylog33x2的图象，可将函数ylog3x的图象上所有的点

1，横坐标不变，再向右平移2个单位长度 31B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度

3A.纵坐标缩短到原来的

C.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移2个单位长度 D.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，再向右平移2个单位长度

6. 用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1等式左边需增添的项是

A．2k2 B．2(k1)1

C．[(2k2)(2k3)] D．(k1)12(k1)1 7. 已知正项等比数列an满足a11，a2a4a32，又Sn为数列an 的前n项和，则S5 2311131A． 或 B．

222C．15 D．6

log3x,x012y8.若函数f(x)lnxcxx存在垂直于轴的切线，又g(x)，且有32x(ab),x0gg(1)1，则abc的最小值为

A．1 B．2 C．21 D．3

9. 秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学。1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世。 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长a,b,c，求三角形面积的方法.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，

2222122acbac，若ABC开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S42

中有

c2sinA

2sinC，cosBA．3，且a410. 已知函数f(x)xlog3(9x1)，则使得

fx2x11log310成立的x的取值范围是 2 0,A．2B．,01,

C．0,1 D．,1

11．在ABC中，点D为边AC上一点，AB2BC2，且AC2AD，AC2BD，

CM2MB，ANNB，则AMABCNBC

A．5 C．

B．

9 27 D．3 212．已知函数f(x)exbax，a,bR，且f(0)1,当x0时，f(x)xcos(x1)恒成立, 则

a的取值范围为

A．0, B．1e, C．,e D．e,

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。 13．计算：233log6log3的值为 ▲ ．

2214．已知向量a(1,m)，b(m,3)，若a∥b，则实数m等于 ▲ ． 15. 已知a,b均为实数，函数f(x)x121(x2)在xa时取得最小值，曲线y2ln(x1)x2在点0,0处的切线与直线ybx2平行，则ab ▲

16. 已知向量m(2sinx,1)，n(3cosxsinx,2)，设函数g(x)mn，

f(x)exg(12)sinx。则下列对函数f(x)和g(x)的描述正确的命题有 ▲ （请写出

全部正确命题的序号） ①g(x)的最大值为3. ②g(x)在

,0上是增函数 35,0对称 12

③g(x)的图象关于点④fx在,上存在唯一极小值点x0，且1f(x0)0

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

x0已知集合Axa3xa7，集合Bx

5x0（1）若ABB，求实数a的取值集合M；

x2,xCRM（2）求函数f(x)2的值域。（其中M为（1）问中的集合M，全集为实数

xx3,xM集R）。

▲ 18．（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和为Sn，且点(n,（1）求数列an的通项公式；

Sn)(nN)均在函数yx1的图象上． n4n1（2）若bnan，Tn是数列log2bn的前n项和。

n11求满足11T2T3

151的最大正整数n的值。 1Tn101▲

19．（本小题满分12分）

已知函数f(x)ax4x3bx2(a,bR)，g(x)f(x)f(x)是偶函数． （1）求函数g(x)的极值以及对应的极值点； （2）若函数h(x)f(x)14x(c1)x3x2cxc2，且h(x)在2,5上单调递增，求实数4c的取值范围。

▲

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)4sinxcos(x3)13

,上有解，求实数m的取值范围； 32（1）若关于x的方程f(x)m30在x （2）设ABC的内角A满足f(A)31，若ABAC4，求BC边上的高AD长的最大值。

▲

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)ln(x1)(x1)，g(x)aexxlna(aR)

（1）若曲线yg(x)在点0,g(0)处的切线与直线y(e1)xb(bR)重合，求ab的值；（2）若函数yf(x)t的最大值为5，求实数t的值； （3）若g(x)f(x)，求实数a的取值范围。

▲

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线l：cos(正半轴建立直角坐标系xOy.

6)2，圆C：2sin。以极点O为原点，极轴为x轴

（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；

（2）已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值。

▲ 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)2x1x1m

（1）当m2时，求不等式f(x)3的解集；

（2）若f(x)的最小值为M，且abMm4(a,bR)，求2a23b2的最小值。

▲

遂宁市高中2021届零诊考试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题

题号 答案 二、填空题

13.7 14. 3 15. 5 16. ①②④ 三、简答题

17. （本小题满分12分）

1 A 2 D 3 A 4 B 5 A 6 C 7 B 8 D 9 B 10 C 11 D 12 B x0（1）因为集合Bx0,5， ………………2分

5x0而Axa3xa7，且ABB，则BA， ………………3分

所以a30a2a3………………5分 ，解得2a3，所以Ma75（2）因为Ma2a32,3，又xCRM，即x,23,，所以

x2,05,； ………………8分

11，又xM2,3， 所以此时411111g(x)maxg(2)g(3)9，g(x)ming()，即g(x)[,9]； ……11分

4241111综上函数f(x)的值域为,05,[,9],0[,)，

4411即函数f(x)的值域为,0[,) ………………12分

422令g(x)xx3(x)1218. （本小题满分12分） （1）

点(n,Sn)（n）均在函数yx1的图象上， n

Snn1，即Snn2n ………………1分 n

当n2时，anSnSn1nnn1n12n ………………3分

22当n1时，a1S1112，满足上式 ………………4分

2数列an的通项公式是an2n ………………5分

（2）由（1）得：bn22n1， log2bn2n1 ………………6分

∴Tnlog2b1log2b2...log2bn132n1 ……………7分

n12n12 n2 ………………8分

1111T2T3令

11111212Tn23n1n1n2 122132142112222234nn212n132435223242n1 ………………10分 2n51n1 ，解得： n101 ………………11分 1012n故满足条件的最大正整数n的值为100 ………………12分 19. （本小题满分12分）

（1）∵f(x)ax4x3bx2，∴f/(x)4ax33x22bx，………………1分

∴g(x)f(x)f/(x)ax4(4a1)x3(b3)x22bx，

14a10ag(x)为偶函数，∴4 ………………3分 ，解得2b0b0∴f(x)141xx3，则g(x)x43x2， 44∴g/(x)x36xx(x6)(x6)

由g/(x)0，解得x6或0x6；由g/(x)0，解得x∴g(x)在,6，0,6单调递增；在6,0，

6或6x0；

6,单调递减。

∴函数g(x)的一个极大值点为6，对应的极大值为g69； ………5分 另一个极大值点为6，对应的极大值为g69； ………………6分

函数g(x)极小值点为0，对应的极小值为g00 ………………7分 （2）由（1）知f(x)∴h(x)f(x)14xx3， 414x(c1)x3x2cxc2cx3x2cxc2， 4∴h/(x)3cx22xc，函数h(x)在2,5上单调递增，

∴3cx22xc0在2,5上恒成立，即有c(3x21)2x，在2,5恒成立

法一：

c2x23x213x1， ………………10分

x11136, x2,5 x2222411313, x2,5 ∴

3xx24∴c ………………12分

133x法二、令(x)3cx22xc，x2,5

(2)012c4c04∴，即，解得c

13(5)075c10c0∴实数c的取值范围[

20. （本小题满分12分） (1) f(x)4sinxcos(x4,)............................12分 133)134sinx(cosxcossinxsin)13 331cos2x13sin2x2313 4sinx(cosxsinx)132221sin2x3cos2x

2sin2x1， ………………4分

3又x2,，所以2x,

33332

331,3sin2x,1，所以fx的值域为. ………………5分 32而f(x)m3，所以m331,3，即m1,33. ………………6分

（2）由f(A)31，即2sin2A131，解得A或.由ABAC4，即332bccosA4，所以A，则bc8 ………………8分 3由余弦定理，得ab2c22bccosAb2c2bcbc22.………10分 由面积公式，知SABC11bcsinAaAD， 22即

431316。 8aAD.所以AD22222所以BC边上的高AD长的最大值为6 ………………12分 21. （本小题满分12分）

（1）因为g(x)aexxlna，所以g/(x)aex1，则k切g(0)a1，

点0,g(0)的坐标为0,alna，故切线方程为y(alna)(a1)x， 即y(a1)x(alna)，由于它与直线y(e1)xb重合，所以/a1e1，

alnabae解得，故ab2e1。 ………………3分

be1/（2）因为f(x)ln(x1)(x1)x1，所以f(x)1x1， x1x1由f/(x)0，解得1x0，由f/(x)0，解得x0，

所以函数f(x)在(1,0)单调递增，在0,单调递减，而f(x)maxf(0)1， 所以1t5，解得t4 ………………6分 （3）因为g(x)f(x)，即aexxlnaln(x1)(x1)

即aexln(x1)lna1，令h(x)aexln(x1)lna，即有h(x)1。 ①当0a1时，h(0)alna1，所以0a1不合题意；

/x②当a1时，h(x)exln(x1)，h(x)e1 x1当x(1,0)时，h/(x)0，当x0,时，h/(x)0

所以当x0时，h(x)取得最小值，最小值为h(0)1，从而h(x)1，符合题意；

③当a1时，（放缩）；又由②知exln(x1)1，h(x)aexln(x1)lnaexln(x1)符合题意；

综上，实数a的取值范围为1,。 ………………12分 22. （本小题满分10分） （1）由l：cos()2得，1sin3cos2；

622xcos13因为，代入有直线l的直角坐标方程为：yx2，

ysin22即为3xy40 ………………2分 由圆C：2sin得，22sin，因为xcos，ysin ，

2x2y2，所以圆C直角坐标方程为：x2(y1)21，

由x2(y1)21得， ………………4分 圆C的参数方程为xcos（为参数）， ………………5分

y1sin（2）设点P坐标为cos,1sin

则d13cos1sin4(3)2123cossin321(33cossin)， 2又d21sin 那么d1d2当5135sincossin() 2223257时，d1d2取得最大值 ………………10分 6223. （本小题满分10分）

x5,x1x533x33（1）当m2时，f(x)3x3,1x1，又f(x)3，则有或x11x1x1,x1x13或；解得x1或1x0或x4。即x0或x4。所以不等式f(x)3的x1解集为xx0或x4 ………………5分

x3m,x1（2）因为f(x)3x1m,1x1在x1处取得最小值m2，

x3m,x1所以Mm2，则abMm42，由柯西不等式

2221111(2a23b2)3b2a(ab)24 23232464所以2a23b2，当且仅当2a3b，即a，b时，等号成立。

55524故2a23b2的最小值为。 ………………10分

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