机械能守恒定律的理解及应用

一、机器能守恒定律：

1.机器能守恒定律内容表述:

①表述一: 在只有重力做功的情形下,物体的动能和重力势能产生相互转化,但总的机器能保持稳定.这个结论叫做机器能守恒定律.

不光动能和重力势能的相互转化中机器能保持稳定,在弹性势能和动能的转化历程中,如果只有弹簧的弹力做功,机器能也是保持稳定的.

②表述二: 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以.

机器能守恒定律是力学中的一条重要定律,又是更普遍的能的转化和守恒定律的一种特殊情况.

2.怎样理解机器能守恒定律: ①只有重力做功的情形：

重力势能是相对的，表达式为Ep = mgh，式中的h是物体的重心到参考平面(零重力势能面)的高度．若物体在参考平面以上，则重力势能为正；若物体在参考平面以下，则重力势能为负．通常，选择地面作为零重力势能参考平面．重力势能的变革量与零重力势能的选取无关．

重力对物体做几多正功，物体的重力势能就淘汰几多；重力对物体做几多负功，物体的重力势能就增加几多．即W重= -ΔE重．

②只有弹力做功的情形：一个物体由于外力的作用产生形变,如果撤去外力后形变会消失,这种形变就叫做弹性形变.物体因产生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能. 和重力势能一样，弹性势能也是相对的.对付弹簧的弹性势能一般取其为原长时弹性势能为零. 弹力对物体做了几多负功，物体的弹性势能就增加几多．即W弹= -ΔE弹．

重力做功和弹力做功均和途径无关.重力势能的巨细与哪些因素有关,学生容易理解.以下就弹性势能的巨细与哪些因素有关做出说明:

一个物体在A位置时,弹簧处于原长,如图１所示．我们对物体从A→B→C→B→A的历程进行阐发．当物体到B位置时,弹CC回到B,弹力做正功,弹簧的弹性势能淘汰.再将物体从B回到A，弹力继承做正功，弹簧的弹性势能继承淘汰．从这个例子,我们注意到： 图1(Ⅰ)和重力势能一样,物体的弹性势能和弹力做(外力克服弹力做功),物体的弹

性势能就增加几多；弹力做几多正功(弹力克服外力做功),物体的弹性势能就淘汰几多.

(ⅡB到C弹力做的负功和C到B弹力做的正功相互抵消,因此物体从A直接到B位移方向跟物体从A到C再回到B做的功是一样多的. F2 这个问题可以这样理解，由于物体在同一个位置的弹力相同，在B、C间靠着很近的两个点之间，向左移动和向右移动经过这两个点做的功，巨细相同，标记相反如图１F2所示．而力在一段位移对物体做功的总量是力对每一小段位移做功的累加．所以，物体从B到C弹力做的负功和C到B弹力做的正功相互抵消（图１中，为了清楚的表现物

位移方向理量的干系，把B、C间靠着很近的两个点的间距放大了）．

不难想象,在压缩弹簧中的历程,弹力做的功和两个因素有关：一个是弹簧的劲度系图2数；另一个是压缩的距离.因此对同一根弹簧,形变越大弹性势能越大,两根弹簧产生同样的形变,劲度系数大的弹簧弹性势能大.由于弹簧从平衡位置拉伸和压缩相同的长度时的力相同，所以同一根弹簧，从平衡位置拉伸和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能相同．所以，弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量两个因素有关．

③机器能守恒定律

F1F1动能和势能之和称为机器能.一种形式的机器能可以和另一种形式的机器能相互转化.下面我们看一些例子.

物体自由下落或沿平滑斜面滑下的时候,重力对物体做功,物体的重力势能淘汰；重力势能转变为动能.

原来具有一定速度的物体,在竖直上升或沿平滑斜面上升的历程中,物体克服重力做功,速度越来越小,物体动能淘汰了；而随着高度增加,重力势能却增加了.这时动能转化成重力势能.

弹性势能也可以和动能相互转化.放开一个被压缩的弹簧,它可以把一个与它打仗的小球弹出去.这时弹力做功,弹簧的弹性势能就淘汰；同时小球得到一定的速度,动能增加.放开被拉开的弓把箭射出去,这时弓的弹性势能淘汰,箭的动能增加.

从这些例子我们可以看出,机器能的相互转化是通过重力或弹力做功来实现的.重力或弹力做功的历程,也就是机器能从一种形式转化为另一种形式的历程.

那么在种种机器能相互转化的历程中有什么纪律呢?我们用一个最简朴的例子来看一下.

一个做自由落体运动的小球从1位置下落到2位置,设小球在位置1和2的速度分别为v1和v2,1位置和2位置离地的高度分别为h1和h2(如图３).凭据落体运动的纪律可知：

2v2v122g(h1h2)

等式两边都乘以0.5m,得

112mv2mv1mgh1mgh2 222由此可知,在小球从1位置落到2位置的历程中,它重力势能的淘汰量即是它动能的增加量,也就是说它在下落历程中机器能总量保持稳定.

机器能守恒定律干系式的推导，我们还可以通过下列要领来创建：

我们照旧用图3给出的情形研究．小球从1位置下落到2位置的历程中，重力做功WG=mg(h1-h2)；运用动能定理，WG即：mgh1图312121212mv2mv1,得: mgh1mgh2mv2mv1,22221212． mv1mgh2mv2223．机器能守恒定律的应用典范：

【例1】 以10m/s的速度将质量m的物体从地面竖直向上抛出，忽略空气阻力，求 (1)物体上升的最大高度

(2)上升历程中那边重力势能和动能相等

解：(1)以地面为参考面，设物体上升的最大高度为h,由机器能守恒得 E1＝E2，即

12mv000mgh， 22v0102m5m 所以h2g210（2）在地面有E1＝

12mv0 212mv12mgh1 2在高h1处有Ek=Ep,即E2mgh1由机器能守恒定律得E1E2，即

2v0100m2.5m 解得h14g41012mv02mgh1 2【例2】把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（见图4），摆长为L，最大偏角为．小球从A处释放运动到最低位置O时的速度是多大？ 解：在小球运动的历程中，小球共受到重力和绳对小球的拉力共2个力的作用．由于绳子对小球的拉力偏向始终与速度偏向垂直，绳子对小球的拉力不做功，只有重力对小球做功，小球的机器能守恒．

小球重力势能的减小量为mgL(1cos），动能的增加量为

12mv0，凭2图4据机器能守恒得：mgL(1cos)12mv，即v2gL(1cos)． 2Av【例３】如图5所示，质量均为m的A、B两个小球， L用长为2L的轻杆相连接，在竖直平面内，绕牢固轴O沿顺时针偏向自由转动（转轴在杆的中点），不计一切摩擦． O2.5L（1）某时刻A、B球恰幸亏如图所示的位置，A、B球的 L 线速度巨细均为v．试判断A、B球以后的运动是否为匀速圆周运动，请

vB地面说明理由！ （2）若vgL，在如图所示的位置时， B球从杆上脱落，求B球落地

图5时的速度巨细．

解：（1）在图示位置转动一个较小的角度，由多少干系可得，A球下降的高度和B球上升的高度相同，A、B球系统的重力势能稳定，由于系统的机器能守恒，所以A、B球的动能稳定，所以A、B球以后的运动是为匀速圆周运动．

（2） B球速度巨细与A球相同，做平抛运动，满足机器能守恒条件

设球落地时速度巨细是v，取地面为重力势能零点，运用机器能守恒定律：

111mv2mgLmv2 得： 222小球落地的速度巨细为v2gL．

对付一个物体系来说，如果没有外力做功，又没有耗散力做功，而只有守旧力做功，那么系内物体的动能和势能可以相互转换，但总机器能保持稳定．

【例2】给出的情景就是系统机器能守恒的实例．这里要指出的是，由于杆对A球和B球都做功，A球和B球的机器能均不守恒，但在A球向下转动的历程中，杆对A球做正功，杆对B球做负功，杆对A、B球做功的总量为零，所以系统的机器能守恒．

图6