河南南乐一中北院 河南南乐一中北院 457400 ● 库俊强 库俊强 一、连续媒质的流动问题 例1 如图1所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？ 当两侧液面恰好相齐时，右侧液面下降的速度大小为多少？ 解析：将盖板A拿去后，右管液面下降，左管液面上升。系统的重力势能减少动能增加，当左右两管液面相平时势能最小，统的重力势能减少动能增加，当左右两管液面相平时势能最小，动当左右两管液面相平时势能最小，动能最大。设液体密度为ρ，液柱的截面积为S，液柱流动的最大速例说机械能守恒定律的五类应用 A h h度为V，由机械能守恒定律得：m`g2 =12mv，将m`=rs，22h图1 ghm=rS4h代入上式解得：v=8例2 如图2所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相R V0 同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定O 的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L（L＞2πR），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的图2 速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？ 厢间的距离不计）？ 解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为V，列车质量为M则轨道上的那部分车的质量为2pRmL。 由机械能守恒定律得：12122pRmgRmv0=mv+…………① …………① L22由圆周运动规律可知，列车的最小速率为：v=gR…………② …………② 4p2gRvgR解①②得：0= +L二、轻杆连接体问题 B两只例3 如图3所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知AO=L，BO=2L，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多大？ 对细杆的拉力大小是多大？ 解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得： 两球组成的系统应用机械能守恒定律得： A O B 图3 mg2L-mgL=1212mvA+mvB………………① ………………① 22vAvB因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即：…………② …………② =L2L第 1 页 共 3 页 河南南乐一中北院 河南南乐一中北院 457400 设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为T，由牛顿第二定律得： ，由牛顿第二定律得： T-mgmvB……………………③ =2L……………………③ 2解①②③得：T=1.8mg，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于1.8mg，方向竖直向下。 方向竖直向下。 三、轻绳连接体问题 例4 质量为M和m的两个小球由一细线连接（M＞m），将M置于半径为R的光滑球形容器上口边缘，从静止释放（如图4所示），求当M滑至容器底部时两球的速度（两球在运动过程中细线始终处于绷紧状态）。 解析：设M滑至容器底部时速度为VM，此时m的速度为Vm，根据运动效果，将VM沿绳方向和垂直于绳的方向分解，则有： 沿绳方向和垂直于绳的方向分解，则有： M O m 图4 R vMcos45=vm………………① ………………① 由机械能守恒定律得：MgR-2mgR=0122MvM+122mvm………………② ………………② 解①②两式得：vM=4gR(M-2m)2gR(M-2m)，方向水平向左；vm=，MmMm2+2+方向竖直向上。 方向竖直向上。 四、弹簧连接体问题 例5 如图5所示，半径R=0.50m的光滑圆环固定在竖直平面内。轻持弹簧一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量m=0.20kg的小球，小球套在圆环上。已知弹簧的原长为A R O 600 B C 图5 L0=0.50m1劲度系数k=408N/m。将小球从图示位置，由静止开2始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C。已知弹簧的弹性势能E=Pkx2，重力加速度g=10m/s，求小球经过C点的速度vC2 的大小。 的大小。解析：设C处为重力势能的零势面，由机械能守恒定律得： 处为重力势能的零势面，由机械能守恒定律得： mg(2R-Rcos600)1=mv2c2+1kRL2(2-0) 2将已知量代入上式解得：v=3m/s c五、卫星的变轨道问题 例6利用以下信息：地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，以无穷远处为零势能面，距离地心为r，质量为m的物体势能为EP=-GMm（其中M为地球质量，G为万有r引力恒量），求解下列问题：某卫星质量为m，在距地心为2R的轨道上做圆周运动。在飞行的某时刻，卫星向飞行的相反方向弹射出质量为(7-43)m的物体后，卫星做离心运动。第 2 页 共 3 页 河南南乐一中北院 河南南乐一中北院 457400
若被弹射出的物体恰能在原来轨道上做相反方向的匀速圆周运动，则卫星的飞行高度变化多
少？ 少？
解析：设卫星在距地心为2R的轨道上运行时速率为V0，则有 ，则有
2v0GMm………………① ………………① =m2R(2R)2若设卫星将小物体反向弹出后的瞬时速率为V1，由动量守恒定律得： ，由动量守恒定律得：
mv0=m-(7-43)mv1-(7-43)mv0………………② ………………②
如果卫星在离地心较远轨道r上，运行的速率用V2表示，则有 表示，则有
2v2GMm`………………③ =m`………………③ 2rr[]由于卫星做离心运动后遵守系统机械能守恒定律，故有 由于卫星做离心运动后遵守系统机械能守恒定律，故有
1GMm`1GMm`2m`v12-………………④ ………………④ =m`v2-22R2r解①②③④得：r=3R，显然卫星飞行高度的变化量Dh=r-2R=R
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