山东省潍坊市临朐新华中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 下列命题中正确的是 （ ）

A． 的最小值是2 B． 的最小值是2

C． 的最小值是 D．的最大值是

参： C

2. 函数

的导数是( )

A. B.

C.

D.

参：

A 略

3. 定义域为R的连续函数

，对于任意都有：，且其导函数

满足

.则当

时：

A. B. C.

D.

参：

D

4. 一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:①三角形;②矩形;③正方形;④正六边形.其中正确的结论有 A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 参： B

5. 某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )

A．

B．

C．

D．

参：

B

【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】图表型．

【分析】易得此几何体为一个正方体和正棱锥的组合题，根据图中数据我们易得到正方体和正棱锥的

底面边长和高，根据体积公式，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：由三视图可知，可得此几何体为正方体+正四棱锥， ∵正方体的棱长为

，其体积为：3

， 又∵正棱锥的底面边长为

，高为

，

∴它的体积为×3×=

∴组合体的体积=，

故选B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

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6. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为

（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

参：

B

7. 命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）

A．若α≠

，则tanα≠1 B．若α=

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=

参：

C

【考点】四种命题间的逆否关系．

【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a． 【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠

．

故选C．

8. “（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

参：

B

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断． 【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0． 反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0 所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的 必要不充分条件． 故选B

9. 直线与曲线相切于点，则的值为（ ）

A.-3 B.9 C.-15 D.-7 参： C 略

10. 已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2

θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4或

x≤0 D.m≥1或m≤0

参：

C

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如表：

使用年限x（单位：2 3 4 5 6 年） 维修费用y（单位：万1.5 4.5 5.5 6.5 7.0 元） 根据表可得回归直线方程为=1.3x+

，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费用约

为 万元．

参：

18

【考点】BK：线性回归方程． 【分析】计算、

，根据回归直线方程过样本中心点（

，

）， 求出回归系数

，写出回归方程，利用回归方程计算x=14时

的值即可．

【解答】解：根据题意，计算

=

×（2+3+4+5+6）=4，

=×（1.5+4.5+5.5+6.5+7.0）=5，

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且回归直线方程=1.3x+过样本中心点（，），

所以

=

﹣1.3

=5﹣1.3×4=﹣0.2， 所以回归方程为

=1.3x﹣0.2，

据此模型预测，当x=14时， =1.3×14﹣0.2=18（万元）．

故答案为：18．

【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．

12. 在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2

﹣2x﹣6=0的两根，则a4a7= ．

参：

﹣2

【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题．

【分析】根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7=a1a10求得答案． 【解答】解：∵a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根， ∴a1a10=﹣2

∵数列{an}为等比数列 ∴a4a7=a1a10=﹣2 故答案为：﹣2

【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了学生对等比中项性质的灵活运用．

13. 安排5名歌手的演出顺序时，要求其中的歌手甲不第一个出场，歌手乙不最后一个出场，不同排法的总数是 ．（用数字作答）

参：

78 14. 过点

（0，），

（2，0）的直线的方程为______________．

参：

略

15. 在等差数列

中，

，其前项的和为

．若

，

则___________

参： -2008

16. 已知函数f（x）=x3+ax2﹣a（a∈R），若存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，且f（x0）=0，则a的值为_________． 参： 略

17. 如表是某厂1﹣4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

月份x 1 2 3 4 用水量 4.5 4 3 2.5 由散点可知，用水量y与月份x之间由较好的线性相关关系，其线性回归方程是=0.7x+a，则a等

于 ．

参：

5.25

【考点】线性回归方程．

【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5， =（4.5+4+3+2.5）=3.5， 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a， 可得3.5=﹣1.75+a， 故a=5.25．

故答案为：5.25．

【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，焦点到相应的准线的距离以及离心率均为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且＝λ．

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（1）求椭圆方程；

（2）若＋λ＝4，求m的取值范围． 参：

解析：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，

由条件知－c＝＝，＝，…………………… 2分 ∴a＝1，b＝c＝， …………………… 4分 故C的方程为：y2＋＝1

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，

∴λ＋1＝4 λ＝3 …………………… 6分 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）x1＋x2＝， x1x2＝ …………………… 8分 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0

m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，…………………… 10分 由（*）式得k2>2m2－2

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1） …………………… 12分

19. (本小题满分14分)

已知数列和满足：,其中为实数，为

正整数．

（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （3）设

,

为数列

的前项和．是否存在实数，使得对任意正整数，都有

?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

参：

解：（1）证明：假设存在一个实数，使｛

｝是等比数列， 则有

,即

矛盾．

所以｛

｝不是等比数列． …………………………………………………………．．…3分

(2)解：因为……………………………．…5分

又

，所以 当

，

，此时

……………………………………………6分

当时，， ，

此时，数列｛

｝是以为首项，为公比的等比数列．

∴………………………………………………………8分

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(3)要使对任意正整数成立，

证明:（1）

因为

切⊙平分

于点，

，，

，

，

即

．

…………5分

得（1） ……………………………………10分

（2）

∽

，，

， ，

，

令，则当为正奇数时，

同理∽，

∴的最大值为, 的最小值为,…………………………12分

略

．

21. 已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．

于是，由（1）式得当当

时，由

，不存在实数满足题目要求；………13分

,且的取值范围是

（1）求a，c的值；

（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A?B，求实数m的取值范围．

存在实数，使得对任意正整数，都有

参：

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；

………………………………………………………．．…14分

20. 几何证明选讲

如图，已知别交于点（1）

,

切⊙

于点

，割线

交⊙

于

、

两点，

的平分线和

,

分

（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出m的取值范围． 【解答】解：（1）∵不等式ax+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，

2

．求证: ；

∴1、3是方程ax+x+c=0的两根，且a＜0，…

2

（2）．

所以

；…

解得a=﹣，c=﹣；… （2）由（1）得a=﹣，c=﹣，

所以不等式ax2+2x+4c＞0化为﹣x2+2x﹣3＞0，

参：

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解得2＜x＜6， ∴A={x|2＜x＜6}，

又3ax+cm＜0，即为x+m＞0， 解得x＞﹣m， ∴B={x|x＞﹣m}，… ∵A?B，

∴{x|2＜x＜6}?{x|x＞﹣m}， ∴﹣m≤2，即m≥﹣2， ∴m的取值范围是[2，+∞）．…

22. 已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．

参：

【考点】直线的一般式方程．

【分析】设出直线方程的斜截式方程，求出直线在两条坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式求解直线在y轴上的截距，从而可得答案． 【解答】解：设直线l的方程为y=，

取y=0，得x=﹣6m． 所以l和坐标轴围成面积为S=． 解得m=±1． 所以直线l的方程为，即x﹣6y±6=0．

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