分类汇编专项训练(四)平面向量(理)

平 面 向 量 (理)

姓名__________ 班级___________ 成绩____________

一、选择题

1 ．（2012年高考（重庆理））设x,yR,向量ax,1,b1,y,c2,4,且ac,b//c,则

ab_______

A．5

B．10 C．25 D．10

（ ）

2 ．（2012年高考（浙江理））设a,b是两个非零向量. （ ）

A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

3 ．（2012年高考（天津理））已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足

3AP=A,BAQ=(1)AC,R,若BQCP=,则=

2A．

（ ）

1 2B．12 2C．110 2D．322 24 ．（2012年高考（辽宁理））已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是 （ ）

A．a∥b B．a⊥b C．{0,1,3} D．a+b=ab

5 ．（2012年高考（湖南理））在△ABC中,AB=2,AC=3,ABBC= 1则BC=

A．3

B．7

C．22 D．23 （ ）

6 ．（2012年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量a、b满n足ab0,a与b的夹角0,,且ab和ba都在集合nZ中,则ab （ ）

425 27．（2012年高考（广东理））(向量)若向量BA2,3,CA4,7,则BC

A．

B．1

C．

D．

A．2,4

B．2,4

C．6,10

1 23 2 （ ）

D．6,10

8 ．（2012年高考（大纲理））ABC中,AB边上的高为CD,若CBa,CAb,ab0,|a|1,|b|2,

则AD

（ ）

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44D．ab

5539．（2012年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量OP按逆时针旋转后,得向

4量OQ则点Q的坐标是 （ ）

A．(72,2) B．(72,2)

C．(46,2)

D．(46,2)

APBCD11A．ab

3322B．ab

3333C．ab

55二、填空题

10．（2012年高考（湖南文））如图,在平行四边形ABCD中 ,AP⊥

BD,垂足为P,AP3且APAC= _____.

11．（2012年高考（湖北文））已知向量a(1,0),b(1,1),则

(Ⅰ)与2ab同向的单位向量的坐标表示为____________;

(Ⅱ)向量b3a与向量a夹角的余弦值为____________.



12．（2012年高考（新课标理））已知向量a,b夹角为45,且a1,2ab10;则b_____

13．（2012年高考（浙江理））在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则ABAC=______________.

14．（2012年高考（上海理））在平行四边形ABCD中,∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点,且满足_________ .

|BM||CN|,则AMAN的取值范围是|BC||CD|BC2，点E为BC15．（2012年高考（江苏））如图,在矩形ABCD中,AB2，的中点,点F在边CD上,若ABAF2,则AEBF的值是___.

16．（2012年高考（北京理））已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DECB的值为

________;DEDC的最大值为________.

2ab3b的最小值是_____ 17．（2012年高考（安徽理））若平面向量a,b满足:;则a

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参

一、选择题 1 【答案】B

【解析】由acac02x40x2,由b//c42yy2,故|ab|(21)2(12)210. 【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据

ac、b//c,得到x,y的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会

出错,注意数字的运算. 2、 【答案】C

【解析】利用排除法可得选项C是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,即存在实

数λ,使得a=λb.如选项A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b可为异向的共线向量;选项B:若a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项D:若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 3、 【答案】A

【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 【解析】

∵BQ=AQAB=(1)ACAB,CP=APAC=ABAC,

B3又∵,且BQCP=2|AB|=|AC|=2,=600,ABAC=|AB||AC|cos600=2,∴

PCQA3,[(1)ACAB](ABAC)=2223312|AB|+(1)ABAC+(1)|AC|=,所以4+2(21)+4(1)=,解得=.

2224、 【答案】B

【解析一】由|a+b|=|ab|,平方可得ab=0, 所a⊥b,故选B

【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|ab|分别为以向量a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|ab|,所以该平行四边形为矩形,所以a⊥b,故选B

【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. 5、 【答案】A

A【解析】由下图知

ABBC= ABBCcos(B)2BC(cosB)1.

AB2BC2AC21.又由余弦定理知cosB,解得cosB2ABBC2BCBC第 4 页

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BC3.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价

转化思想等数学思想方法.需要注意AB,BC的夹角为B的外角.

ba|b|n6、 【解析】C;因为bacoscos1,且ab和ba都在集合|nZ中,所以

aa|a|21|b|1|a|2abcos2cos2ba,,所以,且ab2cos21,所以

2|a|2cos|b|31ab2,故有ab,选C.

2|a|kk|b|kk2【另解】C;abcos1,bacos2,两式相乘得cos12,因为

224|b||a|0,,k1,k2均为正整数,于是2cosk1k21,所以2k1k24,所以k1k23,而

4223ab0,所以k13,k21,于是ab,选C.

27、 解析:A.BCBACA2,4.

8、 答案D

【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D的位置的运用.

25【解析】由ab0可得ACB90,故AB5,用等面积法求得CD,所以AD,

554444故ADAB(CBCA)ab,故选答案D

55559、 【解析】选A

34【方法一】设OP(10cos,10sin)cos,sin

5533则OQ(10cos(),10sin())(72,2)

443【方法二】将向量OP(6,8)按逆时针旋转后得OM(8,6)

21(OPOM)(72,2) 则OQ2

二、填空题

10. 【答案】18

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【解析】设ACBDO,则AC2(ABBO),APAC=AP 2(ABBO) 22APAB2APBO2APAB2AP(APPB)2AP18.

【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 11. (Ⅰ)3101025,;(Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)由a=1,0,b=1,1,得2ab=3,1.设与2ab10105310x,31010x2y21,10,同向的单位向量为c=x,y,则且x,y0,解得故c=.即10103yx0,y10.10与2ab同向的单位向量的坐标为3101010,10. (Ⅱ)由a=1,0,b=1,1,得b3a=2,1.设向量b3a与向量a的夹角为

,则

b3aa2,11,02cosb3aa5155. 【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.

12、 【解析】b32 222ab10(2ab)104b4bcos4510b32

13、 【答案】16

【解析】此题最适合的方法是特例法.

假设ABC是以AB=AC的等腰三角形,如图,

AM=3,BC=10,AB=AC=34. 34341008cos∠BAC=.ABAC=ABACcosBAC16

2341714、 [解析] 如图建系,则A(0,0),B(2,0),D(1,2设32),C(5,232).

y D N B C M x |BM||BC|t2|CN||CD|3t2t[0,1],则|BM|t,|CN|2t,

5232A 所以M(2+,),N(-2t,),

3t2t故AMAN=(2+2)(52-2t)+



32=t2t5(t1)6f(t),

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因为t[0,1],所以f (t)递减,( AMAN)max= f (0)=5,(AMAN)min= f (1)=2.

[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 15、 【答案】2.

【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.

【解析】由ABAF2,得ABAFcosFAB2,由矩形的性质,得AFcosFAB=DF. ∵AB2,∴2DF2,∴DF1.∴CF21.

记AE和BF之间的夹角为，AEB,FBC,则.

又∵BC2，点E为BC的中点,∴BE1. ∴AEBF=AEBFcos=AEBFcos=AEBFcoscossinsin

=AEcosBFcosAEsinBFsin=BEBCABCF122212. 本题也可建立以AB, AD为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.

16、 【答案】1;1

【解析】根据平面向量的点乘公式DECBDEDA|DE||DA|cos,可知|DE|cos|DA|,2|DA|1;DEDC|DE||DC|cos|DE|cos,而|DE|cos就是向量因此DECBDE在DC边上的射影,要想让DEDC最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为|DC|,所

以长度为1

【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.

9b的最小值是 17、 【解析】a8222ab34ab94ab 2294ab4ab4ab94ab4abab8

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