高斯函数_常见题型

高斯函数_常见题型

一、常见题型与相关例题

1、 整数问题

1222198721987,1987,,1987中有多少个不同的整数？ 例1、 在项数为1987的数列2、 方程问题

方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。

33x例2、 解方程[x]3。

2345[x][2x][2x][2x][2x][2x]12345无实数解。 例3、 证明方程

3、 恒等问题

nn1n(nN).这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如22

例4、（Hermite恒等式）若n是正整数，xR，则k0x[nx]nn1k.

nN,求证：[nn1]4n1[4n2][4n3] 例5、已知

4、 不等问题

不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。

例6、设x,yR，试证：

（1）、[2x][2y][x][y][xy];

（2）、[3x][3y][x][y]2[xy].

注：与上面不等式相类似地还有

（3）、[4x][4y][x][y][2xy][2yx].

（4）、[5x][5y][x][y][3xy][3yx].

xR,nN,试证：例7、设

n[x][kx][nx].k1k

n例8、证明不等式[][][][2][2]对任意不小于1的实数, 立。

n2min(k)1991.2kNk例9、求所有正整数n使得

5、 求值问题

例10、若实数x满足

[x192091][x][x]6,100100100求[100x]的值。

例11、计算和式n1[10023n]101的值。

6、 格点问题

平面区域内的格点计数问题，往往与[x]有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。

例12、设nN,n2,求证：k2[nkn][logkn].k2n

证明：构造平面区域D=

{(x,y)yxn,x2,y2},并考虑D中整点的个数：

3n[n][n][xxnx3（1） 如果一列一列的数，=2时有个，时有个，…，时有n]个，

故共有k2[nkn]个。

（2） 如果一行一行的数，y2时有[log2n]个，y3时有[log3n]个，…，yn时有[lognn]个，故共有k2[lognkn]个。

综合（1）、（2），问题获证。

一般地，设函数yf(x)在[a,b]上连续且非负，则atb[f(t)]（t为[a,b]内的整数）表示

平面区域axb,0yf(x)的格点数。

特别地，有

（ⅰ）位于三角形：yaxb0,cxd内的格点个数等于0xd[axb]（x为整数）。

qp(0,](0,]22内的格点数等于（ⅱ）设p,q为正奇数，(p,q)1,矩形域

0x[qx][py]q20yp2pqp1q122。

r2]214[r]8222xyrr0,（ⅲ）圆域内的格点个数等于

[r2x2]4[0xr2。

n[][n]2（ⅳ）n0,区域：x0,y0,xyn内的格点个数等于0xnx。

2对于以上结论，可通过画示意图来证明。

21x032和0x10围成的三角形内的格点个数等于

例如，位于由直线

y3x104[2x1212121][1][2][10]00122344562732323232

高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。

二、练习

1、计算和式n0[502305n]503的值。

x12.5f(x)[][](0x10)12.5x2、求函数的值域。

2x72x1]34。 3、解方程

[x2k[k1][x]4、试证对任意实数x，有k02。

xxx[][][]100110!5、求方程1!2!的整数解。

6、设

15,2,*nN,都有[[n]][n][n]。 2证明：对一切

11[n][n]22对一切正整数n都成立。 7、求所有的实数，使得

8、设xiR(i1,2,,n).求证：xR使下列不等式成立：k1{xxk}nn12。

9、若对任何整数n,a,b,c都满足[na][nb][nc]。

证明：a,b,c中至少有一个是整数。

10、证明：对任意正整数n都有

{2n}122n。

**NR,nN,[]与n的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。 11、证明使得对

532a[aa12]n1nn{an}a14412、在数列中，是正整数，且。试求出所有的a1使得当n2时有an1(mod10)。