基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断

2019年3月JournalofChifengUniversity渊NaturalScienceEdition冤Mar.2019

基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断季丹丹1袁闫在在2渊1.赤峰学院数学与统计学院袁内蒙古赤峰024000曰2.内蒙古工业大学袁内蒙古呼和浩特010051冤摘要院近几年袁针对缺失数据的处理这方面的应用研究大量涌现袁使得缺失数据下的可靠性理论迅速发展.而在可靠性试验和寿命试验中袁截尾方案能在试验所花费的总时间尧单元个数和基于试验结果的统计推断效率之间取得平衡.在这种情况下袁一种自适应的截尾方案被提出来袁并且被许多专家学者研究应用.因此本文讨论袁基于自适应逐次II型截尾样本袁提出了EIG分布的统计推断理论等问题.对于未知参数袁提出了极大似然估计(MLEs).利用MLEs的渐近正态性得到参数的近似置信区间.并运用一组真实数据进行模拟讨论.

关键词院EIG分布曰截尾数据曰极大似然估计曰自适应逐次II型截尾中图分类号院O212文献标识码院A文章编号院1673-260X渊2019冤03-0013-05

1

引言

分数据.对于逐次截尾的广泛的回顾与讨论袁读者许多情形下袁考虑到费用和时间的原因袁寿命们可以参考Aggarwala渊1998冤[1]测试验通常在所有测试单元都失败前终止.这种情Fernandez渊2004冤[3]尧alakrishnan渊2008冤[2]尧

况下袁人们只能得到部分样本的失效时间袁这些数2009尧冤Sol[5].iman渊2008冤[4]和ChansooK和KeunheeH渊据即为截尾数据.在过去的50年里袁一些专家学者2

自适应逐次II型截尾试验

已经在研究和讨论基于截尾样本的参数统计推断Ngetal.[7]提出一个自适应逐次II型截尾方

问题.最常见的截尾方案大体分两种袁I型渊定时冤截案袁它是I型截尾和II型逐次截尾的混合袁既节约尾和II型渊定量冤截尾.其中I型截尾表示寿命试验了试验成本袁又增加了统计分析效率.

在规定的时间T内终止袁II型截尾则表示寿命试验这个截尾模型被描述为院有n个同分布的在第m次失效时终止袁其中m是提前设定的.逐次样本单元投入到寿命试验中袁假设试验者提供一个II型截尾方案是II型截尾方案的推广形式袁表示假时间T袁这个T是理想试验总时间袁但我们允许试设有n个单元置于寿命试验中袁而只有m个失效验超过时间T.如果Xm:m:n单元被观测到.在观测到第一个失效单元时袁在剩经得到了m个失效单元袁袁则此试时验袁即在在X时间T之前已m:m:n处终止渊图余的未失效单元中随机移除R1个单元.

同样的袁在1冤曰另外袁一旦试验超过时间T袁但观测到失效单元观测到第二个失效时间时袁R2个单元被随机移除.数还不到m个.这时候袁我们则希望尽快终止试验袁寿命试验将在m个失效单元都被观测到终止袁最因此要尽可能多地留下未失效单元.设J是T时刻后将Rm=n-R1-R2-噎-Rm-1个未失效单元全部移除.前观测到的失效单元数量袁且XJ:m:n航天尧核反应堆等零部件袁其试验消耗成本过高袁为我们不移除任何单元.即

节约时间和费用袁通过检验后袁人们通常会在未失J效的产品中取出一部分作为他用.这样即节约了成RJ+1=噎=Rm-1=0袁Rm:m:n=n-m-本又知道了产品的特性.再如袁对某些产品进行跟令j*=max{J:X移i=1RiJ:m:n踪调查时袁出于某些原因袁使得一些使用者在某个时间后失联袁因而我们对这批产品也就只掌握了部

(R1,噎Rj,0噎0,n-m-移j*

*

i=1Ri)

收稿日期院2018-12-06

-13-

.com.cn. All Rights Reserved.详见图2.其中T的取值有两种极端情况袁当T=肄时袁意味着试验者不必主要考虑时间问题袁这样就得到了一般的逐次II型截尾模型袁其截尾方案为(R1,R2,噎,Rm)曰另一种情况是当T=0时袁也就是说我们想尽可能快的终止试验袁这时我们令R1=噎=Rm-1,Rm=n-m袁即为传统II型截尾模型.

3

EIG分布

利用T-Xfamily的方法对逆高斯分布渊IG冤进行拓展袁得到了三参数EIG分布[6]呈现许多重要形状院增加的渊I冤尧减小袁其的渊危险D冤袁率倒浴盆函数

状和先倒浴盆后浴盆状渊UB冤.其概率密度函数与累积分布函数表示与图像渊图1冤分别如下院

g(x)=琢姨酌-x2琢-1exp-姨2仔蓘酌(2x琢-兹)2兹2x琢,x>0,琢>0,酌>0,兹>0

蓡渊1冤

-G(x)=椎[姨酌(

兹-1x琢2-x琢2)]2+e兹酌

椎[-标准姨酌正(兹--1x琢2-x琢2)]

渊2冤

其中椎(窑)是态的分布函数.

特别的袁当琢=1时袁(1)式为参数为(酌,兹)的EIG分布的密度函数袁显然IG分布是EIG分布的特殊情况.

图1EIG分布的概率密度函数及其累计分布函数

-14-危险率函数和生存函数分蓘别如下表示院

-12exp-酌(t琢

-兹)h(t)=

琢姨酌-t2琢姨2兹2t

琢椎[姨酌(t琢2仔-22-兹-1t琢2)]-e兹酌椎[-姨酌(t-琢2蓡+兹-1t琢2)]

(3)

-S(t)=椎[姨酌(t琢22-兹-1t琢2)]-e兹酌椎[-姨酌(t-琢2+兹-1t琢2)](4)

图2则给出相应的危险率函数院

图2EIG分布的危险率函数

4

截尾样本下的参数统计推断4.1

极大似然估计引理

基于n个同分布的样本单元袁且分

布函数为任意连续分布F(x)的广义逐次II型截尾样本的参数极大似然函数为院

mL(兹)=c*[F(xr+1;兹)]r仪f(xRi

i;

兹)[1-F(xi;兹)](5)

i=r+1xr+1n!r!(n-r-1)!

(n-Rr+1-r-1)噎(n-Rr+1-Rr+2-噎-Rm-1-m+1)袁且兹表示参数向量.

设X=XRi:m:n,i=1,2噎m是大小为m的来自EIG

分布样本(n个)的自适应逐次II型截尾样本袁截尾方案为R=(R1,R2噎Rm).给定J=j袁其对应的似然函数为

mL(茁)=c*[F(xr+1;茁)]rx仪f(xi;茁)[1-F(xi;茁)]

Ri

i=r+1r+1其中c*=

n!r!(n-r-1)!(n-Rr+1-r-1)噎(n-Rr+1-Rr+2-噎-Rm-1-m+1)袁茁=(琢,酌,兹)为参数向量.

当r=0袁截尾方案为R=(R1,R2移j噎Rj,0,噎0,n-m-

Rt)时袁对应自适应逐次II型截尾样本的参数的

i=1极大似然估计为院

L(茁)=B窑仪mf(xm窑[Ri

Cj

j[

i)]仪(1-F(xi))窑][1-F(xm)]i=1i=1.com.cn. All Rights Reserved.mmin(i-1,j)其中Bj=c*=仪ki=1[n-i+1-Rjk]袁Cj=n-m-k=11故而有

移移k=R

mjl(茁)邑仪Ri

Cj

i=1f(xi窑)仪i=1[1-F(xi)]窑[1-F(xm)]

邑仪m-琢2-1exp[-1琢姨姨2仔酌xii=酌(xi琢

-兹)22兹2x琢]i窑仪j[椎(U2i)-e兹酌

椎(VRi)]窑[椎(U2i

m)-e兹酌椎(VCj

m)]

i=1邑仪m琢姨酌-x琢2-1仔iexp[-i=1姨2酌(xi琢-兹)22兹2x]i琢窑仪jQRi

Cj

ii=1窑[Qm]

对数似然函数

ml(茁)=m窑ln琢+m2ln酌-m2ln2仔-(琢2+1)mj移i=1lnxi-移i=1酌(2xi琢-兹)2兹2x+移RilnQi+CjlnQmi琢i=1似然方程如下鄣鄣琢l(茁)=m琢-1

2j移m2i-琢)lnxii=1lnxi-2酌兹2移m=1(xi琢-兹x

i-+琢2iiiPi+兹-1x琢2iWi)

渊6冤

鄣移RL(x

i=1鄣酌l(茁)=m酌-122兹2移m(xi琢-兹)2i=1xi琢j-1+移R2-1i(1酌

Mi-1-122

兹酌Ni-2兹-1Ki)

i=121-12-1+CM2j(m-1兹-1-12酌

2

酌

Hm-2兹Km)

=0渊7冤

鄣鄣兹l(茁)=兹酌3兹-2Ni-2酌兹-2Ki)

1移m(xj1-兹2i琢)+=1移i=1Ri(酌

i+C2j(酌兹-2Nm-2酌兹-2Km)=0渊8冤

-其中U琢2i=姨酌(xi-兹-1x琢2i);

-Vi=-姨酌(x

琢2i+兹-1x琢2i)曰Li=姨2Q酌linxi22Qi=椎(Ui)-e兹酌椎(Vi)曰Pi=覬(Ui)+e兹酌覬(Vi);2酌-Wi=覬(Ui)-e兹覬(V琢2琢2i)曰Mi=xiPi曰N=xiWiQiiQi曰

2K兹酌i=eQ椎i(Vi)进而袁对应的S(t)和h(t)的蓘极大似然估计如下

琢赞-琢赞-1琢赞h赞(x)=

姨姨2仔酌赞t2exp-酌赞(t2兹赞-兹2赞)2t

琢赞椎[姨酌赞2酌

(t-琢2赞--兹t琢2赞)]-e兹赞赞-1椎[-姨酌赞(t琢2赞蓡-兹-1t琢2赞)]

(9)

2酌-S赞(t)=椎[姨酌赞(t琢2赞-兹赞t琢赞)]-e兹赞赞-12椎[-姨酌赞(t-琢2赞-兹赞-1t琢2赞)](10)

4.2

琢,酌,兹的近似置信区间

参数琢,酌,兹的观测Fisher信息矩阵为

晌I(茁)=-上上I琢琢I琢酌I琢兹上I裳

上酌琢I酌酌I酌兹梢梢梢其中矩阵对应尚I兹琢I兹酌I兹兹梢的元素见捎

附录.因此袁协差阵就是Fisher信息矩阵I-1(琢赞,茁赞,姿赞)的逆.而参数琢,酌和兹的置信度为100(1-鬃)%的双侧置信区间分别为

(

琢赞-u鬃/2姨V(琢赞),琢赞+u鬃/2姨V(琢赞))(11)(

酌赞-u鬃/2姨V(酌赞),酌赞+u鬃/2姨V(酌赞))(12)(

兹赞-u鬃/2姨V(兹赞),兹赞+u鬃/2姨V(兹赞))(13)

其中袁V(琢赞)袁V(茁赞)和V(姿赞)是琢赞袁u鬃/2是标准正态分布的上(鬃/2)分位袁茁赞和姿赞的方差估计数.4.3

S(t)的近似置信区间

在这一部分袁我们采用Greene[12]提出的三角方

法来计算生存函数的近似置信区间.这种方法是计算参数极大似然估计的置信区间的最一般的方法袁但是它有一个缺点袁这些函数太过繁琐以至于不能

计算方差的解析式[13].

令G1=(鄣鄣鄣琢S(t)姨鄣琢S(t)鄣2酌鄣酌S(t)鄣鄣兹S(t)),其中=-lnt蓸-t琢2+兹-1t琢2蔀渍-琢琢2蓸姨酌蓸t2-兹-1t2蔀蔀+姨2酌e兹酌

lntt2-t2鄣S(t)蓸兹-1琢-琢琢-琢鄣酌=1琢蔀渍蓸-姨酌蓸兹-1t2+t2-122酌2-兹-1t

琢2兹-1t

琢2-12蓸-t

+122酌e

兹酌鄣S(t)1蓸蔀渍蔀蓸姨酌蓸-t

琢2-蔀蔀蔀蔀-t

琢2+兹-1t

琢2渍蓸-姨酌蓸-t

琢2+兹-1t

琢2蔀蔀鄣兹=酌2兹-2t琢2渍蓸姨酌琢2蓸-t琢2-兹-1t2蔀蔀+2酌兹e兹酌-2椎蓸-姨酌蓸-t琢2+兹-1t琢2蔀蔀-15-

.com.cn. All Rights Reserved.-12-酌

2兹-2e兹酌t琢2渍蓸-姨酌蓸-t琢2+兹-1t

琢2蔀蔀故而袁Var(S赞(t))为

Var(S赞(t))艿[G1I-1(茁)G1T]|(琢赞,酌赞,赞兹)故而袁S(t)的近似置信区间为

(S赞(t)依z酌/2姨V(S赞(t)))

5数值例子

数据由表1给出袁数据表示通信收发器的维修

时间(小时).详见文献Chhikara&Folks(1977).

表1

通信收发器的维修时间数据(小时)0.20.30.50.50.50.50.60.60.70.70.70.80.81.01.01.01.01.11.31.51.51.51.52.02.02.22.52.73.03.03.33.34.04.0

4.5

4.7

5.0

5.4

5.4

7.0

7.5

8.8

9.0

10.322.024.5

在这个例子中袁我们考虑基于自适应逐次II型截尾数据袁EIG分布的极大似然估计.设仅观察30个样本单元被观测到失效时间渊m=30冤袁其他的都被移除.选择T=(0.55,24.9)袁令R=(9,028,9).其中袁R=(2,0,0,0,3)简记为R=(2,03,3).故选定不同T值袁得到的自适应逐次II型截尾样本分别如下表2尧表3所示院

表2当T=0.55时得到的自适应逐次II型截尾样本(j=5)0.20.30.50.50.50.60.70.70.70.81.01.01.11.31.51.51.51.52.02.02.52.7

3.0

3.0

3.3

4.0

4.5

4.7

5.0

5.4

表3当T=24.9时得到的自适应逐次II型截尾样本(j=30)0.20.50.50.50.50.60.60.70.70.70.81.01.01.01.01.11.31.51.51.52.0

2.0

2.2

2.7

3.0

3.3

3.3

4.0

4.0

4.5

另一方面袁完全样本下(n=m=46)参数的极大似然估计为

(琢赞,酌赞,兹赞)=(1.0263560,1.602495945,3.791487).基于表2的自适应II型逐次截尾样本袁得到EIG参数的极大似然估计见表4.6

结语

本文介绍了截尾样本的由来及种类袁并由广义逐次II型截尾试验袁引入并阐述了自适应逐次II型截尾试验的实施过程.由于截尾数据的广泛应用性袁本文基于自适应逐次II型截尾样本袁讨论了EIG分布所含参数的极大似然估计和近似置信区

-16-

表4(琢,酌,兹)极大似然估计和t=1.6时袁S(t),h(t)的点估计

完全样本下的

T=0.55T=25.9MLEs

截尾数据下截尾数据下的MLEs的MLEs琢1.026360.837701.42463(0.13172)(0.29025)(0.04630)酌1.602502.666551.06670(0.67522)(8.55863)(0.06773)兹3.791491.676919.383(7.660)(0.69585)(109.21)S(t)0.534210.42334960.48874h(t)

0.40510

0.65375

0.45147

间袁并运用真实例子模拟讨论.要要要参要考要要文要要献要要院

要要要要要要要要要也1页AtiesggarofwalpraogrRes.,siveBalakrcensishnanoredorNder..Somstateistiprcsoperfrom鄄arbitraryanduniformdistributionswithapplica鄄tionstoinferenceandsimulation[J].Statist.Plann.Inference,1998,70(1):35-49.

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