维普资讯 http://www.cqvip.com 扼械缛度 ２００６，２８（２）：２２０—２２３ 截尾分布的）［２优化参数估计法 ＯＰＴＩＭＩＺＡＴＩＯＮ ＰＡＲＡＭＥＴＥＲ ＥＳＴＩＭＡＴＩＯＮ ＦＯＲ ＣＵＴＴＩＮＧ．ＴＡＩＬ ＤＩＳＴＲⅡｌＵＴＩＯＮ 刘春雷 李强 王文静 （北京交通大学机电学院，北京１０００４４） ＬＩＵ ＣｈｕｎＬｅｉ ＬＩ Ｑｉａｎｇ ＷＡＮＧ ＷｅｎＪｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅ￣ｉ，ｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅ￣ｉ，ｇ １０００４４， ） 摘要工程上很多数据都服从截尾分布，文中介绍ｒ以 值构造非线性极小化问题模型来求解截尾分布参数及确 定分布类型的方法，并通过算例证明该方法的可行性。 关键词截尾分布 优化参数估计 中图分类号ＴＢ１１４ ０２１１ Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｍａｎｙ ｄａｔａ ｉｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｏｂｅｙｅｄ ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ，ａ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｕｔｔｉｇｎ－ｔａｉｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｐａ－ ｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎ＿ｉｆｎｎ ｉｔｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｙｐｅ ｗｈｉｃｈ ｗａｓ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｇｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｕｎｃｏｎｓｔｒａｌｎｔ ｍｉｎｉｍｕｍ）［。ｖａｌｕｅ ｍｏｄｅｌ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄ ｉｔ Ｗａｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｂｅ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ＣｌｔＳｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ； ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；Ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｎｔａｌｉｏｎ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ：ＬＩＵＣｈｕｎｌ￣ｉ，Ｅ－ｍａｌｌ：ｌｉｕｃｈｅｎｌｅｉ０２１５＠ｅｙｏｕ．Ｌ＇ｏｒｆｔ，Ｔｅｌｉ＋８６—１０—５１６８８２０４，Ｆａｘ：＋８６一ｌ０—５１６８３１９５ Ｍａｎｕｓｃｒｉｐｔ ｒｅｃｅｉｖｅｄ ２００４０３１８，ｉｎ ｒｅｖｉｓｅｄ ｆｏｒｍ ２００４０５２８． １引言 回归分析方法是数理统计中解决变量之间关系的一种 从实验室或现场收集到的可靠性数据必须进行分 方法，它不仅可以进行参数估计，还可以进行分布类型 析和整理，才能获得有用的信息。在工程实际中，很多 的检验。总之，每种方法都有其优缺点，在实际应用中 数据如载荷、寿命、强度、裂纹的几何尺寸等都不是从 可以按具体情况选用。 负无穷大到正的无穷大，而是集中在一个有限的区间 但对于截尾数据或数据不完全状态，极大似然方 内，很多都满足截尾分布，因此对于截尾数据的参数估 法、矩法、图分析法等传统方法的误差相当大，下面通 计及分布模型的确定有着很重要的意义。 过 最小的优化方法来估计截尾数据或不完整数据 参数估计一般有图分析法和数值分析法两种，图 的分布参数及确定其分布类型。 分析法一般在概率纸上进行，它的缺点是精度低，如果 数据量相当大，作图也有困难；优点是简单、方便、直 ２ 截尾分布参数的确定 观，适用于现场和精度要求不高的场合。但现在辅助 截尾分布实际是引入一个正规化常数 ，对于不 ＭＡＴＬＡＢ软件可方便地做出一些数据的概率图，为用 完整数据的分布形式，要求满足 其他方法提供参数的大致范围。与图分析法相比，数 值法精度高，但计算量大。其主要方法有矩法、极大似 Ｉ （ ，ｂＩ，ｂ２，…，ｂ ）ｄｘ＝１ 然法、顺序统计量法、回归分析法和线性估计法等。矩 Ｊｎ 法直观简便，特别是在对总体的数学期望及方差作估 式中ｆ（戈，ｂ ，ｂ ，…，ｂ ）为理论分布密度，其中ｂ ，ｂ ， …计时，并不一定要知道总体的分布函数，而只要求总体 ，ｂ 为分布参数。则截尾分布的概率密度函数为 的原点矩存在。而且，样本矩的表达式与总体的分布 厂＊（ ）： 函数的表达式无关，但也由于这点使得该种方法有效 性差，而且有偏。极大似然法是一种比较有效的方法， ）［ 检验的原理是把作为总体的随机变量 的值 它要求总体的分布类型已知，而且经常有偏，对于一些 域划分为互不相交的 个区间，Ａ，＝（ｏ。，ｏ ），Ａ ＝ 概率函数复杂的分布，解非线性方程组有时比较困难。 （ａ１，ａ２），…，Ａ ＝（ａ㈦，ａ ），分组可以按照Ｌｕｉｓｅ的 ＊２００４０３１８收到初稿，２００４０５２８收到修改稿。 刘春雷，男，１９７９年２月生，吉林省农安县人，汉族。硕士研究生，研究方向为机械强度。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第２期 刘春雷等：截尾分布的 优化参数估计法 建议，区间长度由下式确定 △ （１） （２）确定 ／（ ｎ 。 ）） （ ， 式中Ｒ为随机数变化范围，Ⅳ为样本总数；设（ ， ：， …／（ ｒ ）＿ ）） ， ）为 容量为／７，的样本的观察值， 为样本落入 （３）计算最坏点的对称点 ＸＴ＝（１＋ａ）ＸＦ、一ａＸ（Ｒ） ２ｍ＋１ 区间Ａ 内的实际频数，则∑ｖ ＝凡，把随机变量 落 １ 入区间 的事件用Ａ 表示，那么在这ｎ重试验中 事件Ａ 发生的频率为 。事件Ａ 发生的概率为 Ｐ ＝Ｐ｛ａ —ｌ≤ ≤ａ ）＝ Ｔ０（ａ ）一Ｆｏ（ａ 一】） ｉ＝ｌ，２，…，ｋ 根据大数定律，当凡充分大时，Ａ 的频率 与事件Ａ 的概率Ｐ （ ＝１，２，…，ｋ）的差异应该比较小，且 （ 一Ｐ ）仍然应该比较小。根据这种想法， Ｋ．Ｐｅａｒｓｏｎ构造了一个统计量 ２ （ｖ —ｎｐ ） 刍— Ｉ ｉ‘ 这里使用这个统计量，如果服从某一分布，它的 值应该比较小，而且其最小值所对应的参数应该是 该种分布的实际参数。对各种假设分布Ｆ．，Ｆ ，…， Ｆｍ，分别求出其 值，则该组数据应服从 值最小的 一个假设分布。 对于一般的截尾分布有 ｉ＋１ １（ｖ 一凡＿ｒ／（ ，６．，６ ，…，６ ）／．ｊ｝ｄ ） ｘｉ＋ｌ ｎ ｆ／（ ，６ ，６：，…，６ ）／ｋｄｔ 本文的目的是求ｋ，ｂ ，ｂ：，…，ｂ 的值使得 最 小，有些分布函数的密度函数是不可积的，很难通过求 偏导的办法求其最小值，对于此类多变量极小化问题， 本文采用复合形法求解。 该问题的目标函数是．，：ｆ （ｋ，ｂ ，ｂ ，…，ｂ ）， 因此复合形共有２（ｍ＋１）个顶点，设第一个顶点坐标 为Ｘ（ｏ）＝（ （００）， （０１），…， （。 ）），该坐标应该满足所有 的约束条件。 （１）确定其他２ｍ＋１个顶点，方法是利用伪随机 数按照约束条件产生第＿『个顶点 ㈤＝ （ ０，， ｌ／，…， ）中的各分量置ｆ（ｉ＝０，ｌ，２，…，２ｍ＋ １），即 （ｉ，＿『）：ｂ ＋ｒ（ｃ 一ｂ ） ｉ＝０，１，…，ｍ ＝０，Ｉ，…，２ｍ＋ｌ 其中ｒ为（０，１）间的伪随机数。 ） ； ａ为反射系数。 （４）求一个新的顶点替代最坏点 ㈩，以构成新 的复形，其方法是 若／（Ｘ ）＞ｆ（Ｘ。），则用下式修改 ， （ Ｆ＋Ｘ＿ｒ） Ａ１、 一。 直到／（Ｘ ）≤ｆ（Ｘ。）为止，然后检查是否满足所有的 约束条件。如果对于某个分量Ｘ （ ）＜ｂｊ或 （ ）＞ ｃ ，则令 ｜ｒ（ ）＝ｂｊ＋占或 （ ）＝ｃ 一占 其中艿为很小的常数，然后重复（４）。反复计算直到复 形中各顶点距离小于预先给定的精度为止。在获得 。 的最小值的同时， （。）， （１），…， （ ）所对应的分别是 ｋ，ｂ】，ｂ２，…，ｂ 。 ３ 方法验证 用ＭＡＴＬＡＢ中的ｒａｎｄ命令产生一组服从（Ｏ，１）之 间均匀分布的１００００个随机数ｒ，用反函数法产生一组 服从三参数威布尔分布的随机数，其中７：２０，７７＝８， ＝２．５，其抽样公式为 ｔ＝７７［一Ｉｎ（１一ｒ）】“ ＋７ １００００个数按式（１）的要求分组，然后按图１和图 ２的方式作截尾（画线部分表示末截部分），图１为单边 截尾，图２为双边截尾；数据的基本情况如表１所示，假 设被截数据可能来自于截尾正态分布总体、截尾指数 分布总体、截尾对数正态分布总体、截尾威布尔分布总 体，它们的密度函数可表示为 截尾正态分布 ／（ ）＝— ｅ‘ ‘／ 截尾指数分布 ／（ ）： 截尾三参数威布尔分布 ｆ（ｘ）＝ （ ） ｅ［一（ ） 截尾对数正态分布 厂（ ）：— — ｅ一‘ ／ ‘ 维普资讯 http://www.cqvip.com 机 械 强 度 ２０ｏ６年 对这些假设分布进行上述的优化计算（图１方式的截 左右时，威布尔分布接近于正态分布的实际情况。因为 尾计算结果如表２，图２方式的截尾计算结果列于表３， 此方法以经典大数定律为基础，因此实际应用中此方 画线部分表示未截部分）。 法主要适用于大子样截尾分布情况。 表１数据分组情况 Ｔａｂ．１ Ｄａｔａ ｇｒｏｕｐ Ｉｎｓｔａｎｃｅ 单边截尾 双边截尾 Ｓｉｎｇｌｅ ｓｉｄｅ ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ Ｄｏｕｂｌｅ ｓｉｄｅｓ ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ 图１ 图２ Ｆｉｇ．１ Ｆｉｇ．２ 以上结果中， 优化法计算出的截尾威布尔分布 的 值最小，而且分布参数也拟合的很好，同时也满 足经典 检验的要求。从第一组截尾方式得出的三个 威布尔分布参数与实际值的相对误差为 ＝１２．８％， ｙ：５．８５％，＝１３％；从第二组截尾方式得出的三个 威布尔分布参数与实际值的相对误差为 ＝３．７９％， ｙ：８．８８％，＝７．２％，精度满足要求，验证了该方法 的可行性。同时会发现截尾对数分布的 值与截尾威 布尔分布的 值很接近，进一步验证了当 值在３．２５ 寝２单边截尾计算结果 Ｔａｂ．２ Ｓｉｎｇｌｅ ｓｉｄｅ ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｌｌ ｒｅｓｕｌｔｓ 截尾对数正态分布 ＝３．３０，口＝０．１０ ：３．３７，口＝０．１４ ６．４８ Ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ ｌｏｇｎｏｒｍａｌ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ：Ｏ．０６ ＝０．∞ 截尾对数正态分布 ｕ：３．２９．口＝０．１１５ ＝３．２８，口＝０．１２７ Ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ ｌｏｇ￣ｏｒｍａｌ ｌｌｏｔｎ￣ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｎｏ ＝０．８１４ ＝０．∞０３ 截尾正态分布 ＝２６，５２，口：３．５ ；２７，２５．ｄ＝３，４５ Ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ ；０．７４ ＝０．４３８ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第２期 刘春雷等：截尾分布的 优化参数估计法 ２ ＳＵ ＪｉｎＭｉｎｇ．ＲＵＡＮ ＳｈｅｎＹｏｎｇ．ＭＡＴＬＡＢ６．１ Ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｄｉｒｅｃｔｏｒｙ．Ｂｅｉｊｉｎｇ： ４ 结论 用Ｋ．Ｐｅａｒｓｏｎ的 统计量，采用合适的分组方式， Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ ＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，２００２．３１８～３２０（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）（苏今明，阮沈 勇．ＭＡ￣Ｂ６．１实用指南．北京：电子工业出版社，２００２．３１８～３２０）． ３ ＪＩＡＮＧ ＲｅｎＹａｎ．Ｗｅｉｂｕｌｌ ｍｏｄｅｌｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ．１９９８．２２—２４ 构造出非线性极小化问题的模型，采用非线性复合形 法优化出该统计量的极小值，同时得出该种分布的参 数值，因此非线性复合形法是一种精度较高的适合大 子样截尾分布参数估计及分布类型确定的方法。 （Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）（蒋仁言．威布尔模型族．北京：科学出版社，１９９８．２２— ２４）． ４ Ｌｅｗｅｓ Ｅ Ｅ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ， １９８６．６３～６９． ５ ＰＡＮ ＥｉＳｈｕｎ．ＷＡＮＧ ＳｈｕＹｉ．Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｉｎ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ １ ＺＨＵＡＮＧ ＣｈｕＱｉａｎｇ，ＷＵ ＹａＳｅｎｇ．Ｂａｓｉｓ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ：Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｅｓｓ， ２０Ｏ２．２４５ ２５４（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）（庄楚强，吴亚森．应用数理统计基础． 广州：华南理工大学出版社．２０Ｏ２．４２５～２５４）． ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｄｅｓｉｇｎ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｃｕｔｔｉｎｇ－ｔａｉｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ， ｒｅｌｉｂａｉｌｉｔｙ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ Ｄｅｓｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ，１９９８。（３）：６ ７（Ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）（潘尔顺，王殊轶．机械可靠性设计中基于截尾分布 的参数估计．机械设计与制造。１９９８，（３）：６～７）．
