高中数学培养学生思维的四个维度例析

高中数学培养学生思维的四个维度例析

⑩江苏省常熟市梅李高级中学孙长

美国数学家克莱因认为数学这一目标明确的思维 活动是人类的一种理性精神，人类思维的完善往往能够 在数学现象、问题的探究中逐步得以实现.但是，当前的 高中数学教育却在很大程度上展现出与这一理念完全 相悖的局面，这主要是数学教学功利化造成的，学生与 教师因此也将数学成绩视作数学学习优良的唯一标准. 但事实上，学生在数学学习中能够不断提升其思维品质 才是数学教育应该确立的主要目标.

一、培养思维广阔性

对同一个问题能够从多种角度、多个方面进行考虑 就是我们所说的思维广阔性，数学中的一题多解正是培 养学生思维广阔性的有效途径.

解题方法单一是大多数学生数学学习时候的表现， 这主要是学生在大量练习中欠缺深人思考而造成的.因 此，教师在教学中应不断引导学生对同一问题进行多角 度的思考以达成思维广阔性的提高.

例1求函数!#&$的最大值.

解法1\"定义域是[0，1]，因为y2'1+2V$(1-$) '1 +2!--■2j +7，因此当时，\"™*2'2，ym'V2.

解法2:因为V^+Vi-$

4 / $+ (1 -$) _ V~2~2

V ~2~ ' 2

所以\"_= V2,当且仅当时等号成立.

解法3:因为定义域是[0,1 ]，所以令VV'co/!，！(0，-，则\"=sin!+cos!= V2sin \"+了 j，！ ％

0，會1，所

以当!’4 ，即$'2

时，

解法 4:令!=(^^^^，Vl-$ )，\"=( 1，1 )，则

V^+Vi-$=!.\"且丨！丨'1，i\"i=V2，

贝^■=fl.\"'|fl||\"|c〇S!$l!ll\"|'VT，

当且仅当!和\"平行且同向，即$'j时，y^'VT.

**0，

解法5:令!1-$ '+，由题意知+ * 0，且\"=

*2++2'1

*++，问题等价于:直线+'-*+\"与 *2++2'1 (**0，+*0)有交点时，截距\"的最大值是多少？如图1，由数形结合可知，当直线与圆相 切时，y_=V\"2.

解法6:因为（1 • ^^^+1 •

VT^)2$(12+12).[(V^)2+(VTz$)2]=2，

所以\"_'VT，当且仅当j时等号成立.解法7:\"\"=(*^^^+!1-$ )\"=

1

2 ^V~$ 2 !1-$

表1 ($)及厂($)随e的变化情况表

x1

(0，1)2(

f

，1)

/\"($)大于零0

小于零(

x

)

单调递增

单调递减

如表1，当$=了时，\"_= V2.

看似简单的一道题实际上却可以通过七种方法来解 决，这七种方法涵盖了高中整个阶段的主要内容，学生长 期在这种一题多解的训练中一定能提升思维的广阔性.

二、培养思维灵活性

数学思维僵化是很多学生在数学学习中普遍存在 的，很多时候是由于教师教学中过于强调程序化与模式 化而造成的，很多教师在例题教学中习惯于帮助学生归 纳类型与解题方法，学生在长期的重复练习中自然养成 了按部就班解题的思维习惯，学生自主思考与探索的意 识也就慢慢淡化了，长期的模仿、套用模式解题的习惯 使学生的思维应变能力逐渐丧失.因此，教师在教学中 应善于运用变式教学以清除数学思维僵化的现象.

例2求函数\"'VT^+x的值域.

高中十•？•!{：，■?

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数坛在线

教育纵横解析：令!\"!1#$，！\"0,贝U%=!+1-!2=-## \\ 2 1I ■&—(-.

因此值域为|

变式1 !求函数%\"!1-$+$，$ &■，1的值域.

解析::令!\"!1-$，！& 0，~2，贝J%=!+1

1-!2\"-#-了）&-，因此值域为[1，寻变式2:求函数%\"

的值域.

解析：定义域是[-1，1 ]，令$\"COS!，！ & [0，！]，则％\"

sin!+cos!\"^!2sin|!+~( j，！&[0，！]，因此值域是[-1，

].

层层递进的变式题目有力地激发了学生学习数学 的兴趣，学生在更好地掌握数学本质的同时也大大提升 了自身思维的灵活性.

三、培养思维的批判性

发现与辨别事物本质的能力往往与思维深刻性的 强弱息息相关，思维深刻的学生在数学对象本质属性及 其内在联系的把握上往往更有心得，在思维深刻性基础 上发展起来的批判性对于问题的深层分析与辩证又起 到决定性的作用.

学生的思维如果能具备一定的深刻性与批判性，就 能够对数学对象的本质属性和相互联系进行更好的认 知、分析与理解，但实际上，很多学生对数学概念、定理 往往缺少必要的思考，学生因为难以产生自己的见解而 导致学习缺乏创新.

例3

求函数%\"丄的单调区间.

$

(解题略)学生给出了单调减区间是(-\"，0) U(0, &\")的错误答案.

分析:一般地，给定区间(上的函数%\"($):若对属于 这个区间(上的自变量的任意两个修^^!，当$K$2时都有 /U ) ($2)，就说函数%\"($)在该区间上单调递减，区间恻称 作函数%\"($ )的单调减区间.这是函数的定义，其中“任 意”和“都有”这两个词是大家都需要注意的.在学生给 出的区间(-\"，0)U(0，+ \")上确实能找到$1\"-1，$2\" 1，则 /($1) \"- 1，/($2) \" 1，此时虽有$1<$2，但/($1) 若想学生能够在学习中勇于发现并提出自己的见

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十•？•!{：，■?高中

2018年9月

解，这与他们对概念、定理的精准把握与彻底理解是离 不开的.因此，教师在教学中应关注概念的形成过程并 促使学生在概念的学习中形成真正的理解，抓住问题的 本质才能展开问题的深人分析与解决，才不至于被问题 的一些表面现象所迷惑.

四、培养思维的创造性

思维创造性和创造性思维在数学的学习中表现形 式是一样的，即根据已有的信息与经验并在思考、探索 的基础上产生一些新颖、独特的有价值的思维成果.高 中数学中的“信息迁移题”就是考查学生思维创造性的 有效练习.

例4

已知M($。，%。)是圆+ :$2&%2\"r2上一点，则经过

点*的圆C的切线啲方程应该是怎样的？

结论：当点*($0，％0)在圆+ :$2&%2^上时，直线$0$& %0%\是过点*的切线.

教师在此题讲解结束之后可以这样启发学生:如果 *($0，%0)不在圆上，直线$t$+%0%\"r2会不会具备其他的意 义或性质呢？经过一番自主、合作探究易得下列结论：

结论1 :当点*($0,％0)在圆C:$2&%2\外时，过点*向 圆作两条切线且与圆切于点.和点/，故直线的方程 是 $0$+%0%\"r2.

结论2:当*($0，％0)在圆+:

xVy2\"^2内但不与圆心重合，直线

-:$t$+%0%\"r2 与圆+ :$2+%2\"—相离 并有以下性质：

如图2,连接0*并延长交直 线-:$0$+%0%\"—于点1,过点1作圆 的两条切线，切点分别是.和/，则直线过点*.

改变点*和圆的位置关系得到了上述两个结论，那 么如果题中某些条件改变之后能否得到其他的结论呢? 经过教师的启发，学生模仿上述探究过程并得到了以下 几个新的问题：

问题 1:已知圆+ :$2+%2+2$+3%+4\"0(22+£2-44>0)上 有一点*($。，%。)，则过点*的圆+的切线方程是怎样的？

问题2:已知*($0，％0)是椭圆^a2 +^622\"1(a>6>0)上一

点，求过点*的椭圆的切线方程.

问题3:问题2中的曲线是椭圆，如果这一条件改成 双曲线或者抛物线呢？结论又会是什么呢？

教师在教学中如果想加强学生思维创造性的培养， 首先要让学生能够对所学知识融会贯通，引导学生面对 问题时首先进行自主独立的思考，然后引导、启发学生

2018年9月教育纵横

如何提高高中数学试卷讲评课的有效性

⑩山东省青岛市第十六中学孟媛

高中复习阶段的快节奏对学生知识消化吸收的能 力提出了更高的要求，高中数学试卷讲评课对于教学效 果的提升、学生学习动力的促进都具有非常重大的意义 和价值.教师在高中复习阶段的试卷讲评课中如果能够 有效地促进学生突破、收获与提升，学生必然会在知识 点、解题方法与技巧、数学思想方法的运用上获得更加 独到而深人的理解并因此在数学学习上获得理想的成 绩.

学生解题能力无法提升.

二、对策研究

1. 充分做好准备工作

数学教师在批改试卷之后应及时对学生的考试情 况做好综合统计，将试题题型的设置情况、学生的平均 分、及格率、优秀率以及各分数段的具体人数都一一统 计出来，根据统计的情况将教学中的薄弱环节、问题、以 及学生错误的类型、原因等一一分析出来，以确定接下 来的试卷讲评课上的讲解内容、讲解方法并形成一个系 统的教学设计.

2. 引导学生主动参与

教师在试卷讲评课中应为学生创造出更多的思考 与表达的机会，使学生能够在教师的点拨中深思解题的 正确路径以及错误根源，这能够有效避免学生在类似问 题中再次出错，教师也可以请一些解答比较出彩的学生

将一些典型而突出的解题思路展示出来与同学们分享. 比如下题:假设方程#2-2$#+$+6&0有！、\"这两个实根，则 (!-1 )2+(\"-1 )2的最小值为多少?学生在此类题目的解决 中最没有反思的意识，教师在此类题目的讲解中就应该 帮助学生归纳总结并举一反三以促进学生真正掌握.教 师在一些比较具有警示作用的错误中可以引导学生将 自己的思考过程描述出来，然后帮助学生一起探究错误 的根源以实现学生认知与解题的提高.对于学生普遍做 错的一些题目，教师可以组织学生进行讨论并适时加以 点拨以促进学生深人思考，使学生能够在不断积累经验

一、当前试卷讲评课的不足

1. 教师准备不充分

教师在试卷讲评之前的准备应包含自己对试题的 分析与了解、学生的解题情况统计和分析、学生错误的 纠正方法、变式拓展等诸多方面的内容，但有些教师在 试卷讲评前却往往不做准备，试卷虽然看似得到了讲 评，但学生在遇到类似问题时还照样出错.

2. 重点不突出

一些教师在讲评时仅仅关注试题的答案公布，一些 难度较大、学生易错的题目无法却得到应有的分析、讲 解与变式，学生无法真正理解题目的内涵与考查要点以 致无法提高.

3. 方法陈旧

教师在一些难度较大或学生易错的题目的讲评中 不仅应将学生的错误、纠错方法进行到位的讲评，还应 根据题目对知识点、方法、思想进行综合梳理以帮助学 生完善知识体系，但有些教师在这方面却疏于整理以致

在合作探究中积极探索并勇于发现问题、提出问题，问 题的提出意味着学生创新思维的启动与发展.

教育家斯托利尔曾明确表达了数学教学是数学思 维活动的教学这一鲜明的观点，学生数学思维的发展在 他的观念里是数学教学所有目标中应该排在首位的.事 实上，重视“双基”基础上的思维深度、广度的挖掘与训 练确实能够很好地提升学生的数学思维品质，只有思维 品质提高了，学生在分析问题、解决问题时才能有较好 的基础与底蕴，这对于素质教育的深化改革来说也是极

具价值的有效途径.

参考文献：1. 2. 3.

曾盛.拓展思维空间激活创新思维[J].上海中学数 潘勇.数学变式题的构造及其教学[J].上海中学数 雷晓莉.新课引人的教学研究[J].中学数学教学参

学，2011(10).学，2011(1-2).考（上），2011(3).[!

高中十•？•!{：，■?

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