2021中考数学 二轮专题汇编：全等三角形
一、选择题
1. 如图，AD＝AE，若利用“SAS”证明△
ABE≌△ACD，则需要添加的条件是( )
A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠AEB＝∠ADC D．∠A＝∠B
2. 如图，在
Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD
＝4，则点D到AB的距离是( )
A．3 C．5
B．4 D．7
3. 如图，在正方形
ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两
点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
4. 在
Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF
的是( )
A．AC＝DF，∠B＝∠E C．AB＝DE，AC＝DF
B．∠A＝∠D，∠B＝∠E
D．AB＝DE，∠A＝∠D
PEA≌△PFA
5. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△
的依据是( )
1
A．HL
6. 如图，在直角坐标系中，AD
D．SAS
B．ASA C．SSS
是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点
D到AB的距离是 ( )
A.3
7. 如图，平面上到两两相交的三条直线
B.-3 C.2 D.-2
a，b，c的距离相等的点一共有( )
A．4个
8. 如图，点
B．3个 C．2个 D．1个
G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于点
H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为( )
A．40°
二、填空题
9.
D．60°
B．50° C．55°
如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝42°，∠C＝90°，∠EAB＝40°，则∠BAD＝
________°.
10. 如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画
2
弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC 于点D，则∠ADB= °.
11. 如图，AC
与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：________，使得
△ABO≌△CDO.
12. 如图，在△
ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还
需要添加条件：____________．
13. 如图，在△
ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交
DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．
14. 如图，D
为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交
AC于点E.若AE=12 cm，则DE的长为 cm.
15. 如图，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使
EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F.若EF＝5 cm，则AE＝________cm.
3
16. 如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交
DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是 .
三、解答题
17. 如图，BD，CE
是△ABC的高，且BE＝CD.求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.
18. 如图，D
是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD.
求证:∠CDE=∠BAD.
19. 已知：如图，C
为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝
ED.求证：AC＝CD.
4
20. 如图所示，在一条笔直的海岸线上有
A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海
岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸线的距离相等吗?为什么?
21. 如图，已知∠C＝60°，AE，BD
是△ABC的角平分线，且交于点P.
(1)求∠APB的度数．
(2)求证：点P在∠C的平分线上． (3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.
22. 已知正方形
ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD
于点F.
(1)如图①，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求证：△BCF≌△ABE；
(2)如图②，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；
(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，AG＝nCG，求n的值.
23. 在
Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作
线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和
5
CF，连接AE，BF.
(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图 (a). ①请你将图形补充完整;
②线段BF，AD所在直线的位置关系为 ，线段BF，AD的数量关系为 . (2)当点D在线段AB的延长线上时，如图(b)，在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明;如果不成立，请说明理由.
6
参考答案
一、选择题 1. 【答案】A
2. 【答案】A
3. 【答案】C 【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．
4. 【答案】B
[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，选项C可由“HL”
判定Rt△ABC≌Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
5. 【答案】A
6. 【答案】A [解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵点D的坐标是(0，-3)， ∴OD=3.
∵AD是△OAB的角平分线， ∴ED=OD=3，
即点D到AB的距离是3.
7. 【答案】A
[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．
8. 【答案】B
[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB
于点W.
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB， ∴FZ＝FW.同理FW＝FY. ∴FZ＝FY.
又∵FZ⊥AE，FY⊥CB， ∴∠FCZ＝∠FCY.
由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.
7
∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°. 二、填空题
9. 【答案】88
[解析] 因为△ABC≌△ADE，所以∠D＝∠B＝42°.又∠C＝90°，所以∠
E＝90°，所以∠EAD＝180°－42°－90°＝48°.这时∠BAD＝∠EAB＋∠EAD＝40°＋48°＝88°.
10. 【答案】125 [解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°.
∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.
11. 【答案】∠A＝∠C或∠B＝∠D
或AB∥CD(答案不唯一)
[解析] 由题意可知∠AOB＝∠COD，AB＝CD.
∵AB是∠AOB的对边，CD是∠COD的对边，∴只能添加角相等，故可添加∠A＝∠C或∠B＝∠D或AB∥CD.
12. 【答案】AB＝AC 13. 【答案】2
[解析] ∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE.
∠A＝∠FCE，在△ADE和△CFE中，∠AED＝∠CEF，
DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE(AAS)． ∴AD＝CF＝3.
∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.
14. 【答案】12 [解析] 如图，连接BE.∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，过点D作
BC的垂线，交AC于点E，∴∠A=∠BDE=90°. 在Rt△DBE和Rt△ABE中，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL).∴DE=AE.∵AE=12 cm，∴DE=12 cm.
15. 【答案】3
[解析] ∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＋∠BCD＝90°.∵CD⊥AB，
∴∠BCD＋∠B＝90°.
∴∠ECF＝∠B.
∠B＝∠ECF，在△ABC和△FCE中，BC＝CE，
∠ACB＝∠FEC，
8
∴△ABC≌△FCE(ASA)．∴AC＝FE. ∵AE＝AC－CE，BC＝2 cm，EF＝5 cm， ∴AE＝5－2＝3(cm)．
16. 【答案】16 [解析] ∵BF∥AC，
∴∠EBF=∠EAD.
在△BFE和△ADE中，
∴△BFE≌△ADE(ASA).∴BF=AD.
∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD. ∵当FD⊥AC时，FD最短，此时FD=BC=5， ∴四边形FBCD周长的最小值为5+11=16.
三、解答题
17. 【答案】
证明：∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. 在Rt△BEC和Rt△CDB中，
BC＝CB， BE＝CD，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)．
18. 【答案】
证明:∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE. 由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD. 又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE=∠BAD.
19. 【答案】
证明：∵AB∥ED， ∴∠B＝∠E.
AB＝CE，
在△ABC和△CED中，∠B＝∠E，
BC＝ED，
9
∴△ABC≌△CED. ∴AC＝CD.
20. 【答案】
解:相等.理由:设AD，BC相交于点O.
∵∠CAD=∠CBD，∠COA=∠DOB， ∴由三角形内角和定理，得∠C=∠D.
由已知得∠CAB=∠DBA=90°. 在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA. ∴CA=DB.
∴海岛C，D到观测点A，B所在海岸线的距离相等.
21. 【答案】
解：(1)∵AE，BD是△ABC的角平分线， 11
∴∠BAP＝∠BAC，∠ABP＝∠ABC.
22
11
∴∠BAP＋∠ABP＝(∠BAC＋∠ABC)＝(180°－∠C)＝60°.∴∠APB＝120°.
22(2)证明：如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，垂足分别为F，G，H.
∵AE，BD分别平分∠BAC，∠ABC， ∴PF＝PG，PF＝PH. ∴PH＝PG.
又∵PG⊥AC，PH⊥BC， ∴点P在∠C的平分线上．
(3)证明：①∵∠C＝60°，PG⊥AC，PH⊥BC， ∴∠GPH＝120°.
10
∴∠GPE＋∠EPH＝120°.
又∵∠APB＝∠DPE＝∠DPG＋∠GPE＝120°， ∴∠EPH＝∠DPG. 在△PGD和△PHE中， ，∠PGD＝∠PHE＝90°
PG＝PH，
∠DPG＝∠EPH，
∴△PGD≌△PHE.∴PD＝PE. ②如图，在AB上截取AM＝AD. 在△ADP和△AMP中，
AD＝AM，
∠DAP＝∠MAP， AP＝AP，
∴△ADP≌△AMP. ∴∠APD＝∠APM＝60°. ∴∠EPB＝∠MPB＝60°. 在△EBP和△MBP中，
∠EPB＝∠MPB，
BP＝BP，
∠EBP＝∠MBP，
∴△EBP≌△MBP. ∴BE＝BM.
∴AB＝AM＋BM＝AD＋BE.
22. 【答案】
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠ABE＝∠C＝∠D＝90°， ∴∠ABG＋∠CBF＝90°， ∵BF⊥AE，
∴∠ABG＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△BCF和△ABE中，
∠C＝∠ABE
， BC＝AB
∠CBF＝∠BAE
11
∴△BCF≌△ABE(ASA)；
(2)证明：∵AC⊥BD，BF⊥AE， ∴∠AOB＝∠AGB＝∠AGF＝90°， ∴A、B、G、O四点共圆， ∴∠AGO＝∠ABO＝45°，
∴∠FGO＝90°－45°＝45°＝∠AGO， ∴GO平分∠AGF；
(3)解：如解图，连接EF，
解图
∵CG⊥GO，
∴∠OGC＝90°，
∵∠EGF＝∠BCD＝90°， ∴∠EGF＋∠BCD＝180°， ∴C、E、G、F四点共圆，
∴∠EFC＝∠EGC＝180°－90°－45°＝45°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CE＝CF，
同(1)得△BCF ≌△ABE， ∴CF＝BE，
1
∴CE＝BE＝2 BC，
12
∴OA＝ AC＝ BC＝ 2CE，
22
由(2)得A、B、G、O四点共圆， ∴∠BOG＝∠BAE，
∵∠GEC＝90°＋∠BAE，∠GOA＝90°＋∠BOG， ∴∠GOA＝∠GEC，
又∵∠EGC＝∠AGO＝45°， ∴△AOG∽△CEG， AGOA
∴＝＝2， CGCE∴AG＝2 CG， ∴n=2 .
23. 【答案】
解:(1)①如图所示.
②∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°.
12
∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DCF. ∴∠ACD=∠BCF.
又∵AC=BC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD.
故答案为:互相垂直，相等. (2)成立.
证明:∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°.
∵∠ACB=90°，∴∠DCF=∠ACB. ∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
即∠BCF=∠ACD.
又∵AC=BC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF.
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC.
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD.
13
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容