大学物理学 (第3版.修订版) 北京邮电大学出版社 上册 第七章习题7 答案

7.1选择题

(1) 容器中贮有一定量的理想气体，气体分子的质量为m，当温度为T时，根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x方向的分量平方的平均值是：

13kT3kT2． (B) x． ［ ］

3mm3kTkT22 (C) x ． (D) x ． mm13kT222222[答案：D。xyz， x。] yz22，23m (A) x2

(2) 一瓶氦气和一瓶氮气的密度相同，分子平均平动动能相同，而且都处于平

衡状态，则它们 ［ ］ (A) 温度相同、压强相同． (B) 温度、压强都不相同． (C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强． (D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强．

[答案：C。由w由3kT，w氦w氮，得T氦=T氮 ； 2pMmol氦氮，，T氦=T氮 ，而Mmol氦Mmol氮，故p氦p氮。]

RT

(3) 在标准状态下，氧气和氦气体积比为V1 /V2=1/2，都视为刚性分子理想气体，则其内能之比E1 / E2为: ［ ］ (A) 3 / 10． (B) 1 / 2． (C) 5 / 6． (D) 5 / 3．

[答案：C。由EMiEipViV5iRTpV，得11111。]

Mmol2E2i2pV2i2V262

(4) 一定质量的理想气体的内能E随体积V的变化关系为一直线，其延长线过E~V图的原点，题7.1图所示，则此直线表示的过程为： ［ ］ (A) 等温过程． (B) 等压过程． (C) 等体过程． (D) 绝热过程．

1

E O 题7.1图

V

[答案：B。由图得E=kV, 而EiipV，i不变，kp为一常数。] 22

(5) 在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率Z与气体的热力学温度T的关系为 [ ] (A) Z与T无关． (B)．Z与T成正比 ． (C) Z与T成反比． (D) Z与T成正比．

[答案：C。Z2d2n2d28RTp1。]

MmolkTT

7.2填空题

（1）某容器内分子数密度为10 26 m-3，每个分子的质量为 3×10-27 kg，设其中 1/6分子数以速率＝200 m /s 垂直地向容器的一壁运动，而其余 5/6分子或者离开此壁、或者平行此壁方向运动，且分子与容器壁的碰撞为完全弹性的．则每个分子作用于器壁的冲量P＝_______________； 每秒碰在器壁单位面积上的分子数n0＝______________；作用在器壁上的压强p＝_________________． [答案：P[(mix)mix]2mix=1.2×10-24 kg m / s

n/6n/611n= ×1028 m-2.s-1 ; t1/63nS1或n0xnx1026200

S6n0 或 n0NNn/61n（见教材图7.1 ）

6l2l3t6l2l3(l1/)1/6 pn0P=4×103 Pa

或p

11nm21026310272002=4×103 Pa. ] 332

（2）有一瓶质量为M的氢气，温度为T，视为刚性分子理想气体，则氢分子的平均平动动能为____________，氢分子的平均动能为______________，该瓶氢气的内能为____________________． [答案：w

（3）容积为3.0×102m3的容器内贮有某种理想气体20 g，设气体的压强为0.5 atm．则气体分子的最概然速率 ，平均速率 和方均根速率 ．

[答案：由理想气体状态方程 可得 p1.41 1.60Mi5M3i5RTRT] kT， kT=k T， EMmol22Mmol222pVRT MMmolRTpV1.413.89×102 m/s MmolMRTpV1.604.41×102 m/s MmolM21.73RTpV1.734.77×102 m/s ] MmolM

（4）题7.2图所示的两条f()~曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线．由此可得氢气分子的最概然速率为___________；氧气分子的最概然速率为___________．

f() O 2000 题7.2图

 (m.s-1)

[答案：由p1.41RT，及Mmol氢Mmol氧可知，p氢=2000 m·s-1 ; Mmol 3

又

p氧Mmol氢Mmol氢，得p氧p氢= 500 m·s-1 ] p氢Mmol氧Mmol氧

(5) 一定量的某种理想气体，当体积不变，温度升高时，则其平均自由程

 ，平均碰撞频率Z 。（减少、增大、不变）

[答案：体积不变，n不变，由1可知， 不变 22dn2d2n可知，Z增

体积不变，n不变，但T升高，增大，由Z大．]

7.3 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答：平衡态是指热力学系不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化状态。

平衡态是动态平衡，当系统处于平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变。而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．

7.4 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．

7.5 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?

答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．

描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．

气体宏观量是微观量统计平均的结果．

7.6 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率?

4

Ni 21 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 i(m·s-1) 解：平均速率

方均根速率

NiiiN2110420630840250=21.7m/s

2146822NNi2ii211024202610384022502=25.6 m/s 214682

7.7 速率分布函数f()的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数)．

（1） f()d （2）nf()d （3）Nf()d （4）

0f()d （5）f()d （6）Nf()d

021答：f()1dN：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在NddN表示分布在速率附近，速率区间d内的分子数占总分子数Nf()NddN表示分布在速率附近、速率区间d内的分子数VV速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比. (1)f()d的百分比. (2) Nf()d =密度．

(3) Nf()ddN表示分布在速率附近、速率区间d内的分子数． (4)f()d0 N比．

10dN表示分布在1~2区间内的分子数占总分子数的百分

(5)f()d1表示分布在0~的速率区间内所有分子，其与总分子数的比 0值是1.

Nf()ddN表示分布在1~2区间内的分子数. (6)11

7.8 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们

5

22各有何用处?

答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言（或在单位速率区间内），在含有p的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率p表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．

7.9 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么?

答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0.

7.10在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?

答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．

7.11如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了，温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化．

7.12 题7.12图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢? 题7.12图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

f() (1) (2) f() T (1) (2) Mmol O (a)

 题7.12图

6

O  (b)

答：用p1.41高．

RT来判断。图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度Mmol

7.13温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是大量分子平均平动动能的量度．

7.14下列系统各有多少个自由度： (1) 在一平面上滑动的粒子；

(2) 可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3) 一弯成三角形的金属棒在空间自由运动。 答：(1)2，(2) 3，(3) 6。

7.15 试说明下列各量的物理意义． （1）

13ikT （2）kT （3）kT 222Mii3RT （5）RT （6）RT

Mmol222（4）

答：(1)

1kT表示在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由2度上的能量．

3kT表示在平衡态下，分子的平均平动动能（或单原子分子的平均能量）. 2i(3) kT表示在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为.

2(2) (4)

MiRT表示由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的

Mmol2系统的内能.

iRT表示1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能. 23(6) RT表示 1摩尔自由度为3分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，

2(5)

1摩尔分子的平均平动动能之总和.

7

7.16 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同? (1) 分子数密度；(2) 气体质量密度；(3) 单位体积内气体分子总平动动能；(4) 单位体积内气体分子的总动能。 答：(1)由pnkT,n(2)由(3)由np知分子数密度相同； kTMMmolp知气体质量密度不相同； VRT3kT知单位体积内气体分子总平动动能相同； 2i(4)由nkT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．

2

7.17 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数? 答：理想气体内，分子各种运动能量的总和称为理想气体的内能．

在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．

由于理想气体不计分子间相互作用，内能仅为热运动能量之总和．即

EMiRT是温度的单值函数．

Mmol2 因为气体内部分子永远不停地运动着，所以内能不会等于零．

7.18 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么? (1) 分子的平均平动动能；(2) 分子的平均动能；(3) 内能。 解：(1)相等，分子的平动自由度相同，平均平动动能都为(2)不相等，因为平均动能为为i=3．

(3)不相等，因为分子的内能v3kT． 2ikT，而氢分子的自由度为i=5,，氦分子的自由度2iRT，理由同（2） 2

7.19有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面 0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2,当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg/mol)?

8

解：由理想气体状态方程pVMRT 得 Mmol MMmol汞的重度 dHg1.3310N·m-3 氦气的压强 p(0.760.60)dHg

5pV RT氦气的体积 V(0.880.60)2.010 M0.0044m3

(0.760.60)dHg(0.282.0104)8.31(27327)1.91106Kg

7.20 设有N个粒子的系统，其速率分布如题7.20图所示．求 (1)分布函数f()的表达式； (2)a与0之间的关系；

(3)速度在1.50到2.00之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.50到0区间内粒子平均速率．

Nf() O 0 20



题7.20图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

Nf()a/0Nf()aNf()0(00)(020) (20)a/N0(00)f()a/N(020)

0(20)

9

(2) f()满足归一化条件，但这里纵坐标是N f()而不是f(),故曲线下的总面积为N. 由归一化条件

00Na0dN可得a200adN,

2N 30(3)可通过面积计算Na(201.50)(4)N个粒子平均速率

1N 32001f()dN0Nf()d0a200d0ad

1123211(a0a0)0 N329131N1(a0.5a)(00.50)a0N

284(5) 0.50到0区间内粒子数

0.50到0区间内粒子平均速率

00.50dNN1N0dNN0f()d 0.50.500N1N1N332av0N0a210a21a017a0dd()

N10.50N0N10.500N130240N12427a0706N9

7.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于p-p/100与p+p/100之间的分子数占总分子数的百分比。 解：令u，则麦克斯韦速率分布函数可表示为 PdN42u2uedu N 10

因为u=1,u=0.02

由

N42u2ueu N得

N41e10.021.66% N

7.22 容器中储有氧气，其压强为P=0.1MPa(即1atm)温度为27℃求

(1) 单位体积中的分子数n；(2) 氧分子的质量m；(3) 气体密度ρ；(4) 分子间的平均距离e；(5) 平均速率；(6)方根速率2；(7)分子的平均动能。 解：(1)由气体状态方程pnkT得

p0.11.013105n2.451024m-3

23kT1.3810300(2)氧分子的质量

mMmol0.032265.3210 Kg 23N06.0210MRT 得 Mmol(3)由气体状态方程pVMmolp0.0320.11.0131050.13kgm3

RT8.31300(4)分子间的平均距离可近似计算

e(5)平均速率

13n132.4510247.42109 m

1.60 (6) 方均根速率

RT8.313001.60446.58ms1 Mmol0.032 11

21.73(7) 氧分子的平均动能

RT482.87ms1 MmolkT1.3810233001.041020J

7.23 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量

E平动动能 t=3 Et5252iRT 238.31300373.95J 22转动动能 r=2 Er8.313002493J

25内 能 i=5 Ei8.31300623.25J

2

7.24 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比。 解：(1)因为 pnkT则

(2)由平均速率公式

nO1 nH1.60RT MmolOMmolH1 HMmolO4

7-25 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)． 解：由气体状态方程pnkT得

12

p1.3810317-3

m n3.3310kT1.381023300由平均自由程公式 12dn2

12910203.3310177.5 m

7.26 (1) 求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2) 若温度不变，气压降到1.33×10-4Pa,平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径为10-10m)? 解：(1)碰撞频率公式z2d2n

对于理想气体有pnkT，即 np kT2d2p所以有 z

kT而 1.60RT8.31273455.43 1.60 ms1

Mmol28氮气在标准状态下的平均碰撞频率

z21020455.431.0131055.44108s-1

01.3810273(2)气压下降后的平均碰撞频率

21020455.431.33104z0.714 s-1

231.3810273

7.27 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比；(2) 分子平均自由程之比。 解：(1)由气体状态方程

13

p1p2 及 p2V2p3V3 T1T2方均根速率公式

21.73T1T2RT Mmol2初2末p11 p22(2)对于理想气体，pnkT，即 n所以有 p kTkT2dp2

初T1p21 末p1T2

7.28飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0atm(1.013×105Pa),温度为27℃；起飞

5

后压力计指示为0.8atm(0.8104×10Pa),温度仍为27℃，试计算飞机距地面的高度。

解：气体压强随高度变化的规律：由pnkT及nn0emgzkT

pn0kTemgzkTp0emgzkTp0eMmolgzRT

zpRTln0

Mmolgpz8.313001ln1.96103 m

0.02899.80.8

7.29 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%(设空气的温度为0℃)。 解：压强随高度变化的规律

zpRTln0

Mmolgpz

8.312731ln2.3103m

0.02899.80.7514

7.30在标准状态下，氦气的粘度=1.89×10-5 Pa·s，摩尔质量Mmol =0.004 kg/mol，分子平均速率1.20×103 m/s．试求在标准状态下氦分子的平均自由程．

1 33V03得  = 2.65×107 m Mmol解：据 

7.31 在标准状态下氦气的导热系数= 5.79×10-2W/(m·K)，分子平均自由程

2.60×10-7m，试求氦分子的平均速率．

1CV1CV

3V03Mmol3V3V02V0得 0 = 1.20×103 m/s CV3RR2解： 

7.32 实验测得在标准状态下，氧气的扩散系数为1.9×10-5m2/s，试根据这数据计算分子的平均自由程和分子的有效直径． 解：(1) ∵ D 氧气在标准状态下   138RT425 m/s

πMmol3D1.3107 m kT2d2pkT2p

(2) ∵  ∴ d2.51010 m

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