一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．一元二次方程x2﹣3x+2=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
2．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（ ） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180
6．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ） A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．95°
10．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：
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①EG⊥FH；
②四边形EFGH是矩形； ③HF平分∠EHG； ④EG=（BC﹣AD）；
⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．一元二次方程x2+x=0的根是 ．
12．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ． 13．若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为 ．
14．某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部（两男两女）中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ．
三、解答题（共6小题，满分70分） 16．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x+3=0； （2）（x﹣2）（3x﹣5）=1．
17．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
18．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．
（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是 ；
（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．
19．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．
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20．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元． （1）填表：（不需化简）
第一个月 第二个月 清仓时 时间
单价（元） 80 40 销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 21．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
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2020-2020学年江西省九江市都昌县九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．一元二次方程x2﹣3x+2=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=【解答】解：这里a=1，b=﹣3， 则x1+x2=﹣=3，
故选A．
2．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式．
【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0， 所以原方程没有实数根． 故选：D．
3．如果2是方程x2﹣3x+c=0的一个根，那么c的值是（ ） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【考点】一元二次方程的解．
【分析】由2为方程x2﹣3x+c=0的一个根，将x=2代入方程得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解答】解：∵2是方程x2﹣3x+c=0的一个根， ∴将x=2代入方程得：22﹣3×2+c=0， 解得：c=2． 故选C
4．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
，x1x2=．
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【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7． 当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形． ∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
5．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【解答】解：设宽为x米，则长为（x+11）米， 根据题意得：x（x+11）=180， 故选C．
6．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，可以列表得出，注意重复去掉．
【解答】解：∵一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球， ∴其中2个球的颜色相同的概率是：
=．
故选：D．
红1 红2 红3 黄1 黄2 红1 ﹣ 红1红2 红1红3 红1黄1 红1黄2 红2 红2红1 ﹣ 红2红3 红2黄1 红2黄2 红3 红3红1 红3红2 ﹣ 红3黄1 红3黄2 黄1 黄1红1 黄1红2 黄1红3 ﹣ 黄1黄2 黄2 黄2红1 黄2红2 黄2红3 黄2黄1 ﹣
7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ） A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根， ∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3， ∴m的取值范围是 m≤3且m≠2． 故选：D．
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8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．
DE∥AC，【分析】首先由CE∥BD，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD
是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8． 故选C．
9．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．75° C．80° D．95°
【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【分析】正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，所以AB=AE，AF=AD，根据邻角之和为180°即可求得∠B的度数．
【解答】解：正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，所以AB=AE，AF=AD， 设∠B=x，则∠BAD=180°﹣x， ∠BAE=∠DAF=180°﹣2x，
即180°﹣2x+180°﹣2x+60°=180°﹣x 解得x=80°， 故选 C．
10．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：
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①EG⊥FH；
②四边形EFGH是矩形； ③HF平分∠EHG； ④EG=（BC﹣AD）；
⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形中位线定理；菱形的判定与性质．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．
【解答】解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点， ∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB， ∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形， ∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是矩形，错误； ③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点， ∴连接CD，延长EG到CD上一点N， ∴EN=BC，GN=AD，
∴EG=（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；
⑤四边形EFGH是菱形，正确． 综上所述，①③⑤共3个正确． 故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．一元二次方程x2+x=0的根是 x1=0，x2=﹣1 ．
第7页（共14页）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法；解一元一次方程． 【分析】提公因式得到x（x+1）=0，推出x=0，x+1=0，求出方程的解即可． 【解答】解：x2+x=0， x（x+1）=0， x=0，x+1=0， x1=0，x2=﹣1，
故答案为：x1=0，x2=﹣1．
12．在矩形ABCD中，AC=10， 对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形． ∴AB=OA=AC=5， 故答案是：5．
13．若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为 ﹣ ． 【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=，x1•x2=﹣2，然后代入所求的代数式中计算即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2=，x1•x2=﹣2， 所以x1•x2+x1+x2=﹣2+=﹣． 故答案为﹣．
14．某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部（两男两女）中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得恰好选中一男一女的概率． 【解答】解：由题意可得，
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∴恰好选中一男一女的概率是：故答案为：．
，
15．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值． 【解答】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′=45°， ∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16， ∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16， ∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2， 故答案为：2．
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三、解答题（共6小题，满分70分） 16．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣4x+3=0； （2）（x﹣2）（3x﹣5）=1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）先去括号，再用公式法求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣1）=0， x﹣3=0或x﹣1=0， x1=1，x2=3；
（2）整理得，3x2﹣11x+9=0， a=3，b=﹣11，c=9，
△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×3×9=13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴x=
=
，
∴x1=，x2=．
17．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解． 【解答】解：设这个增长率为x．
依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8， 解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）． 0.2=20%．
答：这个增长率是20%．
18．商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．
（1）若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是
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；
（2）若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）由商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他恰好买到雪碧和奶汁的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同， ∴他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是：； 故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有2种情况， ∴他恰好买到雪碧和奶汁的概率为：
=．
19．如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【分析】过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，根据题干条件证明出AP=MF，PM=ME，进而证明△APM≌△FME，即可证明出AM=EF． 【解答】证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P， ∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形， ∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME， ∵在△APM和△FME中，
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，
∴△APM≌△FME（SAS）， ∴AM=EF．
20．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元． （1）填表：（不需化简）
第一个月 第二个月 清仓时 时间
单价（元） 80 40 销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍． 【解答】解：（1）80﹣x，200+10x，800﹣200﹣
第一个月 第二个月 时间 清仓时
单价（元） 80﹣x 80 40 销售量（件） 200+10x 800﹣200﹣ 200 （2）根据题意，得
80×200+（80﹣x）+40[800﹣200﹣]﹣50×800=9000 整理得10x2﹣200x+1000=0， 即x2﹣20x+100=0， 解得x1=x2=10
当x=10时，80﹣x=70＞50
答：第二个月的单价应是70元．
21．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
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【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质． 【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长； （2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，
∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0， 整理得：（m﹣1）2=0， 解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，
解得：x1=x2=0.5，
故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5， ∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．
第13页（共14页）
2020年11月28日
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