立体几何章节总结

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 （一） 平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界 1.1三个定理与三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 用途：常用于证明直线在平面内.

图形语言： 符号语言：

公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言： ．．．

推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言： 推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言： 推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言： 用途：用于确定平面。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.

用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.

图形语言： 符号语言： 形语言，文字语言，符号语言的转化：

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（二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：共面:ab=A,a//b异面:a与b异面

1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：

a//b,b//ca// c1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 1.3异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的

直线是异面直线。

Pa图形语言：

APA 符号语言：与a异面 PAaAa1.4异面直线所成的角：（1）范围：0,90；（2）作异面直线所成的角：平移法.

'如右图，在空间任取一点O，过O作a'//a,b'//b，则a,'ba'所成的角为异面直线a,b所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特

殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.

abb'Ol2.直线与平面的位置关系： lA

ll//第2页

图形语言：

平行：//3.平面与平面的位置关系：斜交：=a

相交垂直：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

①定义：直线与平面无公共点.

a//b②判定定理：aa//（线线平行线面平行）【如图】

b③性质定理：a【如图】 a//b（线面平行线线平行）

b④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：la//l//（用于判断）；（ii）

a//b//判定定理：aa//“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii）a//abba“面面平行线面平行”（用于证明）；（4）ba//（用于判断）；

a2.线面斜交：lA

P①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平

面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 PO于O，则AO是PA在平面内的射影， 则PAO就是直线PA与平面所成的角。

范围：0,90，注：若l或l//，则直线l与平面所成的角为0；若l，则直线l与平面所成的角为90。 3.面面平行： ①定义：AO//；

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②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：a,b,aOabO,a//,b//// 【如下图①】

OaOa'bbb'

图① 图②

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述：a,b,abO,a',b',a//a',b//b'// 【如上图②】

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：

a,a//.【如右图】

③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2 ④面面平行的性质：（1）

a//a//（面面平行线a//面平行）；（2）aa//b；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的

b平行线段相等。【如图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意a,都有la，且l，则l.

a,babO②判定定理：ll（线线垂直线面垂直）

lalb③性质：（1）l,ala（线面垂直线线垂直）；（2）a,ba//b；

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a//b④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）ba//ab（较常用）；（4）（5）a；a（面面垂直线面垂直）

aaab常用；

⑤三垂线定理及逆定理：

（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，PO（1）斜线相等射影相等；（2）斜线越长射影越长；（3）垂线段最P短。【如图】PBPCOBOC；PAPBOAOB （II）三垂线定理及逆定理：已知PO，斜线PA在平面内的射影为OA，a，

①若aOA，则aPA——垂直射影垂直斜线，此为O三垂线定理； BAC ②若aPA，则aOA——垂直斜线垂直射影，此为

P三垂线定理的逆定理；

三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】 aAO3.2面面斜交

①二面角：（1）定义：【如图】

OBl,OAlAOB是二面角－l的平面角 范围：AOB[0,180]

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直

（1）定义：若二面角l的平面角为90，则； （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

aBa（线面垂直面面垂直） a（3）性质：①若，二面角的一个平面角为MON，则

AMON90；

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aAB②； a（面面垂直线面垂直）aaABaB③

AAaAaAaa. ④

a或a//a

二、立体几何常见题型归纳例讲 1、概念辨析题：

（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。

（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和

性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。

（3）相关例题：课本和报纸上出现很多这样的题型，举例说明如下： 例：（04年北京卷）设m，n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个说

法：①m,n//mn；②//,//,mm；③m//,n//m//n ④,//，说法正确的序号是：_________________ 2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。 （1）基础知识网络：

平行与垂直关系可互相转化 平行关系 1.a,ba//b 2.a,a//bb 3.a,a// 4.//,aa 5.//, 判定推论 判定 垂直关系 平面几何知识 平面几何知识 线线平行 判定 线线垂直 性质 判定 性质 性质 判定 面面垂直定义 面面垂直

线面平行 面面平行 线面垂直 请根据以上知识网络图，写出相关定理的图形语言与符号语言.

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（2）相关例题：

例1（06广州市高一质量抽测）如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1； （2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1

例2.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A且A1点，1在平面BCD上的射影O恰好在CD上． （Ⅰ）求证：BCA1D；

（Ⅱ）求证：平面A1BC平面A1BD；

（Ⅲ）求三棱锥A的体积（答案：1BCDD1 A1 B1 C1

E A D F

B C VA1BCD48）

3、计算题。包括空间角（异面直线所成的角，线面角，二面角）和空间几何体的表面积、体

积的计算。

（1）对于空间角和空间距离的计算，关键是做好“三步曲”：step1：找；step2：证；step3：

计算。 1.1求异面直线所成的角0,90：

解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

1.2求直线与平面所成的角0,90：关键找“两足”：垂足与斜足

解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）； 三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

1.3求二面角的平面角0,解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

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1．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a（1）求证：直线A1B//平面ACD1 （2）求证：平面ACD1平面BD1D；

2. 如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，

(1) 求证：AC⊥平面B1D1DB; (2) 求证：BD1⊥平面ACB1 (3) 求三棱锥B-ACB1体积．

3.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面 ABCD，E是PC的中点。 求证：（1）PA∥平面BDE ； （2）BD平面PAC

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D

CA

B

D1

C1

A1 B1

4、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，

PADCD，DB平分ADC，E为的PC中点，

ADCD1,DB22（1）证明：PA//平面BDE （2）证明：ACEAB平面PBD

DC（3）求直线BC与平面PBD所成角的正切值

5、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

1AD 2FE(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II) 求平面AMD与平面CDE所成角的大小； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。

BAPQCMD

6.如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）ABCA1B1C1中，AB2AA1，

C1DEAE。 D是A1B1的中点，点E在AC11上，且

证明平面ADE平面ACC1A1

求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值。

A1EDB1A

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BC

7在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离； (2)求(1) 中的点N到平面PAC的距离．

8、 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：ACSD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角PACD的大小；

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P E D C

A B

SPADBC