2020-2021学年湖北省恩施市某校初三（上）10月月考数学试
卷
一、选择题
1. 将方程−2𝑥2+6𝑥=8化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为−2，一次项系数、常数项分别是( ) A.6，8
2. 若方程(𝑎−1)𝑥|𝑎|+1+3𝑎𝑥+5=0是关于𝑥的一元二次方程，则( ) A.𝑎=±1 C.𝑎=−1
3. 已知一元二次方程𝑥2+𝑘𝑥−6=0有一个根是2，则𝑘的值为( ) A.−1
4. 设𝛼，𝛽一元二次方程𝑥2−3𝑥+1=0的两根，则𝛼+𝛽的值是( ) A.3
5. 已知关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0与𝑥2+𝑛𝑥+𝑚=0(𝑚≠𝑛)有一个公共根，则(𝑚+𝑛)2020的值为( ) A.−1
6. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为−3和4，乙把常数项看错了，解得两根为−2和3，则原方程是( ) A.𝑥2+𝑥−12=0 B.𝑥2−𝑥−12=0 C.𝑥2+𝑥+12=0 D.𝑥2−𝑥+12=0
7. 若关于𝑥的一元二次方程3𝑥2−2𝑥+A.𝑚<1
8. 一元二次方程5𝑥2−2𝑥−1=0的根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根
B.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
B.𝑚>1
𝑚3
B.−6，−8 C.6，−8 D.−6，8
B.𝑎=1
D.𝑎≠±1的一切实数
B.1 C.−2 D.2
B.1 C.−3 D.−1
B.1 C.−2019 D.2019
=0有实数根，则实数𝑚的取值范围是( )
D.𝑚≥1
C.𝑚≤1
试卷第1页，总17页
9. 已知𝑎，𝑏是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑥−𝑘2+2𝑘−2=0的两个实数根，直线𝑦=𝑏𝑥+𝑎一定经过的象限是( ) A.第一、二象限
10. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出( ) A.2根小分支
11. 如图，有一张矩形纸片，长10𝑐𝑚，宽6𝑐𝑚，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32𝑐𝑚2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是𝑥𝑐𝑚，根据题意可列方程为( )
B.3根小分支
C.4根小分支
D.5根小分支
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
A.10×6−4×6𝑥=32 C.(10−𝑥)(6−𝑥)=32
12. 用[𝑥]表示不大于𝑥的最大整数，如[1.2]=1，[−0.5]=−1，则一元二次方程𝑥2−2[𝑥]−3=0的解的个数为( ) A.1 二、填空题
一元二次方程𝑥2−2𝑥+1=0的解是________.
将一元二次方程𝑥2−6𝑥−6=0配方后可写为________.
据市场调查，某商品2018年的售价为120元/件，2020年的售价为180元/件，若该商品连续两年售价的年平均上涨率相同，求该商品售价的年平均上涨率．假设该商品售价的年平均上涨率为𝑥，则可列方程为________.
已知3𝑥−𝑦=3𝑎2−6𝑎+9，𝑥+𝑦=𝑎2+6𝑎−9，若𝑥≤𝑦，则实数𝑎的值为________． 三、解答题
试卷第2页，总17页
B.10×6−4𝑥2=32
D.(10−2𝑥)(6−2𝑥)=32
B.2 C.3 D.4
解方程：
(1)(𝑥−1)2=9（直接开平方法）；
(2)𝑥2−5𝑥=0（因式分解法）；
(3)𝑥2−6𝑥+4=0（配方法）；
(4)𝑥2+2𝑥−1=0（公式法）.
已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2−6𝑥+𝑚+4=0有两个实数根𝑥1，𝑥2. (1)求𝑚的取值范围；
(2)若𝑥1，𝑥2满足3𝑥1=|𝑥2|+2，求𝑚的值．
如果关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程𝑥2−6𝑥+8=0的两个根是𝑥1=2和𝑥2=4，则方程𝑥2−6𝑥+8=0是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程2𝑥2+𝑥−1=0________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；
(2)若一元二次方程𝑥2−3𝑥+𝑐=0是“倍根方程”，则𝑐=________；
(3)若关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)是“倍根方程”，则𝑎、𝑏、𝑐之间的关系为________；
(4)若(𝑥−2)(𝑚𝑥−𝑛)=0(𝑚≠0)是“倍根方程”，求代数式4𝑚2−5𝑚𝑛+𝑛2的值．
阅读下面的材料：
解方程𝑥4−7𝑥2+12=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常如下：
设𝑥2=𝑦，则𝑥4=𝑦2，
∴ 原方程可化为𝑦2−7𝑦+12=0， ∴ 𝑎=1，𝑏=−7，𝑐=12，
∴ 𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=(−7)2−4×1×12=1， ∴ 𝑦=
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎
=
(−7)±√(−7)2−4×1×122
，
解得𝑦1=3，𝑦2=4.
当𝑦=3时，𝑥2=3，𝑥=±√3． 当𝑦=4时，𝑥2=4，𝑥=±2．
试卷第3页，总17页
∴ 原方程有四个根，分别是𝑥1=√3，𝑥2=−√3，𝑥3=2，𝑥4=−2.
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
(1)解方程：(𝑥2+𝑥)2−5(𝑥2+𝑥)+4=0；
(2)已知实数𝑎，𝑏满足(𝑎2+𝑏2)2−3(𝑎2+𝑏2)−10=0，试求𝑎2+𝑏2的值．
改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(𝐴𝐷)16𝑚，宽(𝐴𝐵)9𝑚的矩形场地𝐴𝐵𝐶𝐷上修建三条同样宽的小路，其中两条与𝐴𝐵平行，另一条与𝐴𝐷平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112𝑚2，则小路的宽应为多少？
某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件． (1)求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
(2)从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？
2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求： (1)求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2020年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍． (1)按计划，2020年前5个月至少要修建多少个沼气池？
(2)到2020年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼
试卷第4页，总17页
气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1:2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10𝑎%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2020年前5个月的基础上分别增加𝑎%，5𝑎%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2020年前5个月的基础上分别增加5𝑎%，8𝑎%，求𝑎的值．
试卷第5页，总17页
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省恩施市某校初三（上）10月月考数学试
卷
一、选择题 1.
【答案】 C
【考点】
一元二次方程的一般形式 【解析】
一元二次方程的一般形式是：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎，𝑏，𝑐是常数且𝑎≠0)．在一般形式中𝑎𝑥2叫二次项，𝑏𝑥叫一次项，𝑐是常数项．其中𝑎，𝑏，𝑐分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】
解：一元二次方程的一般形式是：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，(𝑎，𝑏，𝑐是常数且𝑎≠0)． 在一般形式中𝑎𝑥2叫二次项，𝑏𝑥叫一次项，𝑐是常数项．其中𝑎，𝑏，𝑐分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
一元二次方程−2𝑥2+6𝑥=8化为一般形式是−2𝑥2+6𝑥−8=0，一次项系数和常数项分别为6，−8． 故选C. 2. 【答案】 C
【考点】
一元二次方程的定义 【解析】
由一元二次方程的定义得到|𝑎|+1=2，且𝑎−1≠0．所以易求𝑎的值． 【解答】
解：∵ 方程(𝑎−1)𝑥|𝑎|+1+3𝑎𝑥+5=0是关于𝑥的一元二次方程， ∴ |𝑎|+1=2，且𝑎−1≠0 解得，𝑎=−1 故选C. 3.
【答案】 B
【考点】
根与系数的关系 【解析】
设方程另一个根为𝑡，根据根与系数的关系得到2+𝑡=−𝑘，2𝑡=−6，然后先求出𝑡，再求𝑘的值． 【解答】
解：设方程另一个根为𝑡，
根据题意得2+𝑡=−𝑘，2𝑡=−6， 解得𝑡=−3，𝑘=1
试卷第6页，总17页
故选𝐵． 4.
【答案】 A
【考点】
根与系数的关系 【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系求则可．𝛼，𝛽是关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0（𝑎≠0，𝑎，𝑏，𝑐为常数）的两个实数根，则𝛼+𝛽=−．
𝑎𝑏
【解答】
解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ∴ 𝛼+𝛽=−=3．
𝑎𝑏
故选𝐴. 5.
【答案】 B
【考点】
一元二次方程的解 【解析】
根据题意得出方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=𝑥2+𝑛𝑥+𝑚，求出𝑥=1，再求出𝑚+𝑛的值，即可解答. 【解答】
解：由题意得：𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=𝑥2+𝑛𝑥+𝑚, (𝑚−𝑛)𝑥=𝑚−𝑛, 𝑥=1,
把𝑥=1代入𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0，可得：1+𝑚+𝑛=0, 则𝑚+𝑛=−1,
则(𝑚+𝑛)2020=(−1)2020=1. 故选B. 6.
【答案】 B
【考点】
根与系数的关系 【解析】
根据根与系数的方程，由甲把一次项系数看错可得到常数项𝑐，由乙把常数项看错可得到一次项系数𝑏，于是可确定原一元二次方程． 【解答】
解：设一元二次方程为𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，
∵ 甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为−3和4， ∴ −3×4=𝑐， 即𝑐=−12.
∵ 乙把常数项看错了，解得两根为−2和3， ∴ −2+3=−𝑏，
试卷第7页，总17页
即𝑏=−1，
∴ 原方程为𝑥2−𝑥−12=0. 故选B. 7.
【答案】 C
【考点】 根的判别式 【解析】
直接由根的判别式判断即可. 【解答】
解：由题意得： 𝛥=(−2)2−4×3×解得：𝑚≤1. 故选C. 8.
【答案】 B
【考点】 根的判别式 【解析】
直接判断判别式的正负情况，即可判断根的情况. 【解答】
解：由题意可知：
𝛥=(−2)2−4×5×(−1)=24>0，
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根. 故选B. 9. 【答案】 D
【考点】
一次函数图象与系数的关系 根与系数的关系
【解析】
由根与系数的关系可得出𝑎+𝑏=1，𝑎𝑏=−𝑘2+2𝑘−2=−(𝑘−1)2−1<0，进而可得出𝑎，𝑏异号，分𝑎＞0，𝑏<0及𝑎<0，𝑏>0两种情况考虑，根据一次函数图象与系数的关系找出直线经过的象限，由此即可得出结论． 【解答】
解：∵ 𝑎，𝑏是关于𝑥的一元二次方程𝑥2−𝑥−𝑘2+2𝑘−2=0的两个实数根， 则𝑎+𝑏=1，𝑎𝑏=−𝑘2+2𝑘−2=−(𝑘−1)2−1<0， ∴ 𝑎，𝑏异号，
当𝑎>0， 𝑏<0时，直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏经过第一、三、四象限； 当𝑎<0， 𝑏>0时，直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏经过第一、二、四象限； 综上可知：直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏一定经过的象限是第一、四象限． 故选D．
试卷第8页，总17页
𝑚3
≥0，
10.
【答案】 B
【考点】
一元二次方程的应用 【解析】
设每个支干长出𝑥个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是13列方程得到1+𝑥+𝑥⋅𝑥=13，整理得𝑥2+𝑥−12=0，再利用因式分解法解方程求出𝑥，然后检验即可得到𝑥的值． 【解答】
解：设每个支干长出𝑥根小分支， 根据题意得1+𝑥+𝑥⋅𝑥=13， 整理得𝑥2+𝑥−12=0，
解得𝑥1=3，𝑥2=−4（舍去）， 则每个支干长出3根小分支． 故选𝐵． 11.
【答案】 D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：因为剪去的小正方形边长是𝑥𝑐𝑚，则
纸盒底面的长为(10−2𝑥)𝑐𝑚，宽为(6−2𝑥)𝑐𝑚， 根据题意得：(10−2𝑥)(6−2𝑥)=32. 故选𝐷. 12. 【答案】 C
【考点】 定义新符号
一元二次方程的解
【解析】
根据新定义得出𝑥2−3≤2𝑥,根据二次函数的性质得出𝑥的取值范围，得出[𝑥]的可能值，再代入方程，求出符合题意的𝑥的值. 【解答】
解：𝑥2−2[𝑥]−3=0，则2[𝑥]=𝑥2−3，[𝑥]=因为𝑥2≥0， 所以[𝑥]=
𝑥2−32
𝑥2−32
，
≥−2，
3
因为[𝑥]表示不大于𝑥的最大整数，
所以[𝑥]的取值为：−1，0，1，2，3，⋯⋯
当[𝑥]=−1，则方程𝑥2+2−3=0的解为𝑥1=−1，𝑥2=1(舍去）；
试卷第9页，总17页
当[𝑥]=0，则方程𝑥2−3=0的解为𝑥=±√3（舍去）； 当[𝑥]=1，则方程𝑥2−2−3=0的解为𝑥=±√5（舍去）；
当[𝑥]=2，则方程𝑥2−4−3=0的解为𝑥1=√7，𝑥2=−√7（舍去）； 当[𝑥]=3，则方程𝑥2−6−3=0的解为𝑥1=−3(舍去），𝑥2=3； 当[𝑥]=4，则方程𝑥2−8−3=0的解为𝑥=±√11(舍去）； 当[𝑥]=5，则方程𝑥2−10−3=0的解为𝑥=±√13(舍去）； ⋯⋯
观察可得，当[𝑥]≥4时，不符合题意， 则符合题意的解为−1，√7，3. 故选𝐶.
二、填空题
【答案】 𝑥1=𝑥2=1 【考点】
解一元二次方程-直接开平方法 【解析】
根据一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，即为方程的根． 【解答】
解：一元二次方程𝑥2−2𝑥+1=0根据完全平方公式可化简为(𝑥−1)2=0，解得𝑥=1.
故答案为：𝑥1=𝑥2=1. 【答案】 (𝑥−3)2=15 【考点】
解一元二次方程-配方法 【解析】
方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解． 【解答】
解：𝑥2−6𝑥−6=0， 𝑥2−6𝑥=6，
𝑥2−6𝑥+9=6+9，
𝑥2−6𝑥+9=15，即(𝑥−3)2=15. 故答案为：(𝑥−3)2=15. 【答案】
120(1+𝑥)2=180 【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题 【解析】
根据该商品2018年及2020年的售价，即可得出关于𝑥的一元二次方程，此题得解． 【解答】
解：依题意，得120(1+𝑥)2=180. 故答案为：120(1+𝑥)2=180. 【答案】 3
【考点】
非负数的性质：偶次方
试卷第10页，总17页
配方法的应用
代入消元法解二元一次方程组
【解析】
根据题意列出关于𝑥、𝑦的方程组，然后求得𝑥、𝑦的值，结合已知条件𝑥≤𝑦来求𝑎的取值． 【解答】
3𝑥−𝑦=3𝑎2−6𝑎+9
解：依题意得：{ ，
𝑥+𝑦=𝑎2+6𝑎−9𝑥=𝑎2
解得{
𝑦=6𝑎−9∵ 𝑥≤𝑦，
∴ 𝑎2≤6𝑎−9，
整理，得(𝑎−3)2≤0， 故𝑎−3=0， 解得𝑎=3． 故答案为：3.
三、解答题
【答案】
解：(1)(𝑥−1)2=9， 𝑥−1=±3， 𝑥1=4，𝑥2=−2. (2)𝑥2−5𝑥=0， 𝑥(𝑥−5)=0， 𝑥1=0，𝑥2=5. (3)𝑥2−6𝑥+4=0， 𝑥2−6𝑥=−4，
𝑥2−6𝑥+9=−4+9， (𝑥−3)2=5，
𝑥−3=±√5，
𝑥1=3+√5，𝑥2=3−√5.
(4)𝑥2+2𝑥−1=0，
∵ 𝛥=22−4×1×(−1)=8>0， ∴ 𝑥=
−2±√82
=−1±√2，
∴ 𝑥1=−1+√2，𝑥2=−1−√2. 【考点】
解一元二次方程-因式分解法 解一元二次方程-公式法 解一元二次方程-配方法 解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
用直接开平方法得到𝑥−1=±3,即可解答. 先分解，得出𝑥=0 ,𝑥−5=0，即可解答.
试卷第11页，总17页
先配方，再用直接开平方法法求出方程的解. 先求出判别式，再用求根公式解答，即可. 【解答】
解：(1)(𝑥−1)2=9， 𝑥−1=±3， 𝑥1=4，𝑥2=−2. (2)𝑥2−5𝑥=0， 𝑥(𝑥−5)=0， 𝑥1=0，𝑥2=5. (3)𝑥2−6𝑥+4=0， 𝑥2−6𝑥=−4，
𝑥2−6𝑥+9=−4+9， (𝑥−3)2=5，
𝑥−3=±√5，
𝑥1=3+√5，𝑥2=3−√5.
(4)𝑥2+2𝑥−1=0，
∵ 𝛥=22−4×1×(−1)=8>0， ∴ 𝑥=
−2±√82
=−1±√2，
∴ 𝑥1=−1+√2，𝑥2=−1−√2. 【答案】
解：(1)∵ 该一元二次方程有两个实数根， ∴ 𝛥=36−4(𝑚+4)≥0， ∴ 解得，𝑚≤5.
(2)若𝑥2≥0， 则3𝑥1−𝑥2=2， ∵ 𝑥1+𝑥2=6， ∴ {
3𝑥1−𝑥2=2，
𝑥1+𝑥2=6，𝑥1=2，
解得{
𝑥2=4，将𝑥=2代入原一元二次方程， ∴ 求得𝑚=4， 若𝑥2<0，
则3𝑥1+𝑥2=2， ∴ {
3𝑥1+𝑥2=2，
𝑥1+𝑥2=6，𝑥1=−2，
𝑥2=8，解得{
∵ 𝑥2<0，
试卷第12页，总17页
∴ 舍去， ∴ 𝑚=4.
【考点】
根与系数的关系 根的判别式
【解析】
（1）方程有实数根，则根的判别式大于或等于0，求出𝑚的取值范围．
（2）根据根与系数的关系即可求得𝑥1+𝑥2=6，即可得到关于𝑚的方程，求出𝑚的值． 【解答】
解：(1)∵ 该一元二次方程有两个实数根， ∴ 𝛥=36−4(𝑚+4)≥0， ∴ 解得，𝑚≤5. (2)若𝑥2≥0， 则3𝑥1−𝑥2=2， ∵ 𝑥1+𝑥2=6， ∴ {
3𝑥1−𝑥2=2，
𝑥1+𝑥2=6，
𝑥2=4，𝑥1=2，解得{
将𝑥=2代入原一元二次方程， ∴ 求得𝑚=4， 若𝑥2<0，
则3𝑥1+𝑥2=2， ∴ {
3𝑥1+𝑥2=2，
𝑥1+𝑥2=6，𝑥1=−2，
𝑥2=8，解得{
∵ 𝑥2<0， ∴ 舍去， ∴ 𝑚=4. 【答案】 不是 2 2𝑏2=9𝑎𝑐
(4)∵ (𝑥−2)(𝑚𝑥−𝑛)=0(𝑚≠0)是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为𝑥=2和𝑥=𝑚， ∴ 𝑚=4或𝑚=1，即𝑛=4𝑚或𝑛=𝑚. ∵ 4𝑚2−5𝑚𝑛+𝑛2=(𝑚−𝑛)(4𝑚−𝑛) ，
试卷第13页，总17页
𝑛
𝑛
𝑛
∴ 当𝑛=4𝑚时，原式=(𝑚−𝑛)(4𝑚−𝑛)=0 ， 当𝑛=𝑚时，原式=(𝑚−𝑛)(4𝑚−𝑛)=0， 故所求代数式的值为0. 【考点】
因式分解-十字相乘法 根与系数的关系
解一元二次方程-因式分解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)2𝑥2+𝑥−1=0， (2𝑥−1)(𝑥+1)=0， 解得𝑥1=2和𝑥2=−1，
故一元二次方程2𝑥2+𝑥−1=0不是“倍根方程”． 故答案为：不是．
(2)由题意可知： 𝑥=𝑚与𝑥=2𝑚是方程𝑥2−3𝑥+𝑐=0的解， ∴ 2𝑚+𝑚=3，2𝑚2=𝑐， ∴ 𝑚=1，𝑐=2． 故答案为：2．
(3)设𝑥=𝑚与𝑥=2𝑚是方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的解， ∴ 2𝑚+𝑚=−，2𝑚2=，
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
1
∴ 消去𝑚得：2𝑏2=9𝑎𝑐． 故答案为：2𝑏2=9𝑎𝑐．
(4)∵ (𝑥−2)(𝑚𝑥−𝑛)=0(𝑚≠0)是“倍根方程”， 且该方程的两根分别为𝑥=2和𝑥=，
𝑚𝑛
∴ =4或=1，即𝑛=4𝑚或𝑛=𝑚.
𝑚
𝑚
𝑛𝑛
∵ 4𝑚2−5𝑚𝑛+𝑛2=(𝑚−𝑛)(4𝑚−𝑛) ，
∴ 当𝑛=4𝑚时，原式=(𝑚−𝑛)(4𝑚−𝑛)=0 ， 当𝑛=𝑚时，原式=(𝑚−𝑛)(4𝑚−𝑛)=0， 故所求代数式的值为0.
【答案】
解：(1)设𝑦=𝑥2+𝑥，则𝑦2−5𝑦+4=0， 整理，得(𝑦−1)(𝑦−4)=0， 解得𝑦1=1，𝑦2=4，
当𝑥2+𝑥=1，即𝑥2+𝑥−1=0时，解得𝑥=当𝑥2+𝑥=4，即𝑥2+𝑥−4=0时，解得𝑥=综上所述，原方程的解为𝑥1=
−1+√52
−1±√5； 2−1±√17. 2
，𝑥2=
−1−√52
，𝑥3=
−1+√172
，𝑥4=
−1−√172
. (2)设𝑡=𝑎2+𝑏2，则𝑡2−3𝑡−10=0，
试卷第14页，总17页
整理，得(𝑡−5)(𝑡+2)=0， 解得𝑡1=5，𝑡2=−2（舍去）， 故𝑎2+𝑏2=5．
【考点】
换元法解一元二次方程 【解析】
(1)设𝑦=𝑥2+𝑥，则由已知方程得到：𝑦2−5𝑦+4=0，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于𝑥的一元二次方程；
(2)设𝑥=𝑎2+𝑏2，则由已知方程得到：𝑥2−3𝑥−10=0，利用因式分解法求得该方程的解即可．
【解答】
解：(1)设𝑦=𝑥2+𝑥，则𝑦2−5𝑦+4=0， 整理，得(𝑦−1)(𝑦−4)=0， 解得𝑦1=1，𝑦2=4，
当𝑥2+𝑥=1，即𝑥2+𝑥−1=0时，解得𝑥=当𝑥2+𝑥=4，即𝑥2+𝑥−4=0时，解得𝑥=综上所述，原方程的解为𝑥1=
−1+√52
−1±√5； 2−1±√17. 2
，𝑥2=
−1−√52
，𝑥3=
−1+√172
，𝑥4=
−1−√172
. (2)设𝑡=𝑎2+𝑏2，则𝑡2−3𝑡−10=0， 整理，得(𝑡−5)(𝑡+2)=0， 解得𝑡1=5，𝑡2=−2（舍去）， 故𝑎2+𝑏2=5．
【答案】
解：设小路的宽应为𝑥𝑚，
根据题意得：(16−2𝑥)(9−𝑥)=112， 解得：𝑥1=1，𝑥2=16． ∵ 16>9，
∴ 𝑥=16不符合题意，舍去， ∴ 𝑥=1．
答：小路的宽为1𝑚. 【考点】
一元二次方程的应用——其他问题 【解析】
设小路的宽应为𝑥𝑚，那么草坪的总长度和总宽度应该为(16−2𝑥)，(9−𝑥)；那么根据题意得出方程，解方程即可． 【解答】
解：设小路的宽应为𝑥𝑚，
根据题意得：(16−2𝑥)(9−𝑥)=112， 解得：𝑥1=1，𝑥2=16． ∵ 16>9，
∴ 𝑥=16不符合题意，舍去， ∴ 𝑥=1．
答：小路的宽为1𝑚. 【答案】
试卷第15页，总17页
解：(1)设二、三月份服装销售量的平均月增长率为𝑥， 依题意，得：320(1+𝑥)2=500，
解得：𝑥1=0.25=25%，𝑥2=−2.25（不合题意，舍去）． 答：二、三月份服装销售量的平均月增长率为25%． (2)设每件降价𝑦元，则四月份可售出(500+10×5)件， 依题意，得：(150−80−𝑦)(500+10×)=12000，
5整理，得：𝑦2+180𝑦−11500=0，
解得： 𝑦1=50，𝑦2=−230（不合题意，舍去）． 答：每件降价50元时，四月份可获利12000元． 【考点】
一元二次方程的应用——利润问题 一元二次方程的应用——增长率问题 由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)设二、三月份服装销售量的平均月增长率为𝑥， 依题意，得：320(1+𝑥)2=500，
解得：𝑥1=0.25=25%，𝑥2=−2.25（不合题意，舍去）． 答：二、三月份服装销售量的平均月增长率为25%． (2)设每件降价𝑦元，则四月份可售出(500+10×5)件， 依题意，得：(150−80−𝑦)(500+10×)=12000，
5整理，得：𝑦2+180𝑦−11500=0，
解得： 𝑦1=50，𝑦2=−230（不合题意，舍去）． 答：每件降价50元时，四月份可获利12000元．
【答案】
解：(1)设每轮传染中平均每个人传染了𝑥个人， 依题意，得：1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=256 ，
解得：𝑥1=15，𝑥2=−17(不合题意，舍去)． 答：每轮传染中平均每个人传染了15个人． (2)256×(1+15)=4096(人)．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【考点】
一元二次方程的应用——其他问题 【解析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了𝑥个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×(1+15)，即可求出结论． 【解答】
解：(1)设每轮传染中平均每个人传染了𝑥个人，
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
试卷第16页，总17页
依题意，得：1+𝑥+𝑥(1+𝑥)=256 ，
解得：𝑥1=15，𝑥2=−17(不合题意，舍去)． 答：每轮传染中平均每个人传染了15个人． (2)256×(1+15)=4096(人)．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【答案】
解：(1)设2020年前5个月要修建𝑥个沼气池，则2020年前5个月要修建(50−𝑥)个垃圾集中处理点，
根据题意得：𝑥≥4(50−𝑥)， 解得：𝑥≥40．
答：按计划，2020年前5个月至少要修建40个沼气池．
(2)∵ 修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值，即修建沼气池40个， 则修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+(50−40)×2]=1.3（万元）， 修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×(1+𝑎%)×40×(1+5𝑎%)+2.6×(1+5𝑎%)×10×(1+8𝑎%)=78×(1+10𝑎%)，
设𝑦=𝑎%，整理得：50𝑦2−5𝑦=0， 解得：𝑦1=0（不合题意，舍去），𝑦2=0.1， ∴ 𝑎的值为10．
【考点】
一元一次不等式的实际应用 一元二次方程的应用
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
（1）设2018年前5个月要修建𝑥个沼气池，则2018年前5个月要修建(50−𝑥)个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于𝑥的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设𝑦=𝑎%结合总价=单价×数量即可得出关于𝑦的一元二次方程，解之即可得出𝑦值，进而可得出𝑎的值． 【解答】
解：(1)设2020年前5个月要修建𝑥个沼气池，则2020年前5个月要修建(50−𝑥)个垃圾集中处理点，
根据题意得：𝑥≥4(50−𝑥)， 解得：𝑥≥40．
答：按计划，2020年前5个月至少要修建40个沼气池．
(2)∵ 修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值，即修建沼气池40个， 则修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+(50−40)×2]=1.3（万元）， 修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×(1+𝑎%)×40×(1+5𝑎%)+2.6×(1+5𝑎%)×10×(1+8𝑎%)=78×(1+10𝑎%)，
设𝑦=𝑎%，整理得：50𝑦2−5𝑦=0， 解得：𝑦1=0（不合题意，舍去），𝑦2=0.1， ∴ 𝑎的值为10．
试卷第17页，总17页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容