高中数学线性规划题型总结

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

2xy2例1、设变量x、y满足约束条件xy1，则z2x3yxy1的最大值为 。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1

的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

x1,22例2、已知xy10,则xy的最小值是 .

2xy20解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而xy表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。xy的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

2222图1

图2

例3、在约束条件

x0y0yxsy2x4C

下，当3s5时，目标函数

z3x2y的最大值的变化范围是（）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当3s4时, 目标函数z3x2y在B(4s,2s4)处取得最大值, 即zmax3(4s)2(2s4)s4[7,8);当4s5时, 目标函数z3x2yzmaxE(0,处取得最大值,即

30248,故z[7,8],从而选D;

在点

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线xy4的两条渐近线与直线x3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

22xy0xy0xy0xy0(A)xy0 (B)xy0 (C) xy0 (D) xy0

0x30x30x30x322解析：双曲线xy4的两条渐近线方程为yx，与直线x3围

1

成一个三角形区域（如图4所示）时有xy0。

xy00x3点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x，y满足约束条件1xy4。若目标函数

2xy2zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取

值范围为 。

解析：如图5作出可行域，由zaxyyaxz其表示为斜率为a，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数zaxy（其中a0）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线yaxz过Ａ点且在直线xy4,x3（不含界线）之间。即a1a1.则a的取值范围为(1,)。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

xy20例６在平面直角坐标系中，不等式组xy20表示的平面

y0区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2

xy20解析：如图６，作出可行域，易知不等式组xy20表示

y0的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于

11是三角形的面积为：S|BC||AO|424.从而选Ｂ。

22点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约

5x11y22,束条件2x3y9,则z10x10y的最大值是(A)80

2x11.(B) 85 (C) 90 (D)95

解析：如图７，作出可行域，由z10x10yyx它表示为斜率为1，纵截距为

z，10z的平行直线系,要使z10x10y最得最大值。当直线10119z10x10y通过A(,)z取得最大值。因为x,yN，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑

22可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，Zmax90.

点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。

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