高考三角函数经典解答题及答案

解：(1) 由余弦定理：conB= 4

sin

2AB1

+cos2B= - 42115,得sinB. ∵b=2， 44（2）由cosBa211158+c2=ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)

2233 故S△ABC的最大值为

15 32在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB. （I）求cosB的值；

（II）若BABC2，且b22，求a和cb的值.

解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，

则2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB,故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB,可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB,即sin(BC)3sinAcosB,可得sinA3sinAcosB.又sinA0,1因此cosB.

3 （II）解：由BABC2,可得acosB2，

1又cosB,故ac6,3由b2a2c22accosB, 可得a2c212,所以(ac)20,即ac,所以a＝c＝6

π

3已知向量m =sinB,1cosB, 向量n = （2，0），且m与n所成角为，

3

1

其中A、B、C是ABC的内角。 (1)求角B的大小;

(2)求 sinAsinC的取值范围。

解：（1） m =sinB,1cosB，且与向量n = （2，0）所成角为 ， 31cosB3

sinB 3sinAcosB1

sin(B6又0B

)1 27 6665B

662B

3B（2）由（1）知，B2，A+C=

33sinAsinC=sinAsin(13cosA=sin(A) A)=sinA22330A3，

3A32 3sin(33， ,1,1 sinAsinCA)3224已知向量m(1,2sinA)，n(sinA,1cosA),满足m//n,bc3a. （I）求A的大小；（II）求sin(B6)的值.

2解：（1）由m//n得2sinA1cosA0 ……2分

即2cos2AcosA10 cosA1或cosA1

2 A是ABC的内角,cosA1舍去 A

3

（2）bc3a

由正弦定理，sinBsinC3sinA3

2

2BC3

2

sinBsin(

23B) 32

3333 cosBsinB即sin(B)222625在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C＝2A，cosA（1）求cosC,cosB的值； （2）若BABC3， 427，求边AC的长。 2911 168解：（1）cosCcos2A2cos2A12 由cosC13737,得sinC;由cosA,得sinA 8844 cosBcosACsinAsinCcosAcosC （2）BABC737319 4848162727,accosB,ac24 ① 22ac3 又,C2A,c2acosAa ②

sinAsinC2 由①②解得a=4，c=6

b2a2c22accosB163648 b5，即AC边的长为5.

6已知A、B是△ABC的两个内角，向量a（2cos925 166ABAB，若|a|. , sin）222（Ⅰ）试问tanAtanB是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；

（Ⅱ）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状. 解：（Ⅰ）由条件

36()2|a|2 22ABAB1cos(AB) sin21cos(AB)2221∴cos(AB)cos(AB)

21∴3sinAsinBcosAcosB ∴tanAtanB为定值.

3tanAtanB（Ⅱ）tanCtan(AB)

1tanAtanB1 由（Ⅰ）知tanAtanB，∴tanA,tanB0

32cos2

3

从而tanC33(tanAtanB)≤2tanAtanB3 223， 即AB 取得最大值， 36∴取等号条件是tanAtanB7在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =

7，且

4sin2AB7cos2C. 22(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.

解：(1) ∵A+B+C=180°

AB7C7cos2C得4cos2cos2C 22221cosC7 ∴4(2cos2C1)

22 由4sin2整理，得4cos2C4cosC10

1 ……5分 2 ∵0C180 ∴C=60°

解 得：cosC（2）解：由余弦定理得：c=a+b－2abcosC，即7=a+b－ab

∴7(ab)3ab

由条件a+b=5得 7=25－3ab ab=6……10分 ∴SABC22

2

2

2

2

11333 absinC622228已知角A,B,C为ABC的三个内角，其对边分别为a,b,c，若m(cosAA,sin)，22AA1n(cos,sin)，a23，且mn．

222 （1）若ABC的面积S （2）求bc的取值范围．

3，求bc的值．

AAAA1,sin)，n(cos,sin)，且mn. 22222AA112………..2分 cos2sin2，即cosA，又A(0,)，A222231又由SABCbcsinA3，bc4

22由余弦定理得：a2b2c22bccosb2c2bc

3解：（1）m(cos16(bc)2，故bc4

4

（2）由正弦定理得：

bca234，又BCA，

2sinBsinCsinA3sin3bc4sinB4sinC4sinB4sin(0B3B)4sin(B3)

3，则

3B332sin(B)1，即bc的取值范围是.则233(23,4].…10分

9在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

(tanA－tanB)＝1＋

tanA·tanB．

222

(1)若a－ab＝c－b，求A、B、C的大小；

(2)已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取值范围．

10在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，m(2bc,a)，

n(cosA,cosC)，且mn。

⑴求角A的大小；

5

⑵当y2sin2Bsin(2B6)取最大值时，求角B的大小

解：⑴由mn，得mn0，从而(2bc)cosAacosC0 由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0

2sinBcosAsin(AC)0,2sinBcosAsinB0 A,B(0,)，sinB0,cosA分）

⑵y2sin2Bsin(2B1，A （6

326)(1cos2B)sin2Bcos6cos2Bsin6

131sin2Bcos2B1sin(2B) 226由(1)得，0B即B27,2B,时， 3666623时，y取最大值2

11在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 （I）求角B的大小；

（II）若b13，ac4，求△ABC的面积. 解：（I）解法一：由正弦定理

cosBb. cosC2acabc2R得 sinAsinBsinC a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 将上式代入已知

cosBbcosBsinB 得cosC2accosC2sinAsinC 即2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0 即2sinAcosBsin(BC)0

∵ABC，∴sin(BC)sinA，∴2sinAcosBsinA0 ∵sinA≠0，∴cosB1， 22. 3 ∵B为三角形的内角，∴Ba2c2b2a2b2c2，cosC 解法二：由余弦定理得cosB

2ac2abcosBba2c2b22abb得×2 将上式代入 22cosC2ac2ac2acabc

6

整理得a2c2b2ac

a2c2b2ac1 ∴cosB2ac2ac2 ∵B为三角形内角，∴B2 32代入余弦定理b2a2c22accosB得 3 （II）将b13，ac4，B b(ac)2ac2accosB，

22 ∴13162ac(1)，∴ac3

∴S△ABC1213acsinB3. 2412ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x 的不等式

x2cosC4xsinC60的解集是空集． （1）求角C的最大值；

73，ABC的面积S3，求当角C取最大值时ab的值． 22cosC0解析：（1）显然cosC0 不合题意， 则有，

0cosC0cosC0即， 即1， 2cosC2或cosC16sinC24cosC021 故，∴角的最大值为CcosC260。 …………………6分

133ab3，∴ab6， （2）当C=60时，SABCabsinC2422222 由余弦定理得cab2abcosC(ab)2ab2abcosC，

12111 ∴(ab)2c23ab，∴ab。

42 （2）若c13在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设msinA,cos2A,n4k,1k1,且mn的最大值是5，求k的值. 解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，

∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C)

∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分 ∵07

1.…………………………………………………………………5分 2∵03∴cosB=

（II）mn=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分

=－2sinA+4ksinA+1，A∈（0，设sinA=t，则t∈(0,1].

则mn=－2t+4kt+1=－2(t－k)+1+2k,t∈(0,1].…………………………12分

2

2

2

2

22）……………………………………10分 3∵k>1，∴t=1时，mn取最大值.

依题意得，－2+4k+1=5，∴k=

3. 214已知锐角△ABC三个内角为A、B、C，向量p22sinA,cosAsinA 与向量

C3B的最大值. 2qsinAcosA,1sinA是共线向量.

2sin2Bcos（Ⅰ）求角A. （Ⅱ）求函数y解：（Ⅰ）

p,q共线

22sinA1sinAcosAsinAcosAsinA……2分

3 sin2A…………4分

43又A为锐角，所以sinAA………6分

23B3BC3B32sin2Bcos （Ⅱ）y2sin2Bcos

2213sin2B 2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2B22331sin2Bcos2B1sin(2B)1……………9分 2265B0,2B, …………10分

2666 2BB时，ymax2…………12分

623CCCC15在三角形ABC中，m=（cos,sin）, n=(cos,－sin)且m,n的夹角为

22223 （1）求C； （2）已知c=

337,三角形的面积S=,求a+b（a、b、c分别∠A、∠B、∠C所对的边）

228

CCsin2cosC 221 m•n|m||n|cos

321 cosC= C=

237222

（2） c=a+b－2abcosC c=

2解：（1） m•ncos2

3334922112

=a+b－ab=(a+b)－3ab. S=absinC=absin=ab=

2422342

Ab=6 (a+b)=

494912111+3ab=+18= a+b= 442416已知ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a,b,c，且2a2b2c23ab； （1）求sin2AB

2 （2）若c2，求ABC面积的最大值。

3a2b2c232分 解：（Ⅰ）abcab,cosC22ab4222ABC,sin2AB1cosAB1cosC76分 222833（Ⅱ）a2b2c2ab,且c2，a2b24ab，

223又a2b22ab,ab2ab4,ab88分

2237310分 cosC,sinC1cos2C1444SABC1absinC7, 2当且仅当ab22时，△ABC面积取最大值，最大值为7. 17在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

解析：（I）由正弦定理得sinCsinAsinAcosC. 因为0A,所以

9

sinA0.从而sinCcosC.又cosC0,所以tanC1,则C4

B3（II）由（I）知

4A.于是

3sinAcos(B4)3sinAcos(A)3sinAcosA2sin(A6).0A3114,6A612,从而当A62,即A3时,

2sin(A6)取最大值2．

3sinAcos(B)A,B5综上所述，4的最大值为2，此时312.

18 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求解：由ac2b及正弦定理可得

sinAsinC2sinB.

…………3分

又由于AC90,B180(AC),故 cosCsinC2sin(AC)

2sin(902C)

2cos2C.

…………7分

22cosC2sinCcos2C, 2

cos(45C)cos2C. 因为0C90， 所以2C45C,

cosA-2cosC2c-a19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

cosB=b． 10

C．

sinC1 （I）求sinA的值；（II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

abck,sinAsinBsinC解： （I）由正弦定理，设 2ca2ksinCksinA2sinCsinA,ksinBsinB则b cosA2cosC2sinCsinA.cosBsinB所以

即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB， 化简可得sin(AB)2sin(BC). 又ABC， 所以sinC2sinA

sinC2.因此sinA

sinC2sinA （II）由得c2a.

由余弦定理

1b2a2c22accosB及cosB,b2,41得4=a24a24a2.4

解得a=1。因此c=2

151sinB.cosB,且GB.4 4又因为所以

因此

20在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，

且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a(2bc)b(2cb)c

11

2

即abcbc

由余弦定理得abc2bccosA 故cosA2222221,A120 2222 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinAsinBsinCsinBsinC.

又sinBsinC1，得sinBsinC因为0B90,0C90，

1 2 故BC

所以ABC是等腰的钝角三角形。

21在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值. 解：

（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a(2bc)b(2cb)c 即 abcbc

由余弦定理得 abc2bccosA 故 cosA22222221，A=120° ……6分 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinBsinCsinBsin(60B)

31cosBsinB 22sin(60B)故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分

22△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足

S32(ab2c2)。 4（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinAsinB的最大值。

12

23设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．

解：（Ⅰ）由a2bsinA，根据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB由△ABC为锐角三角形得B1， 2π． 6A （Ⅱ）cosAsinCcosAsincosAsinA

613cosAcosAsinA

223sinA．

3由△ABC为锐角三角形知，

AB，B． 2222632A， 336所以

13． sinA232 13

由此有333sinA3， 232332，． 2所以，cosAsinC的取值范围为24在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，a23，tanABCtan4, 222sinBcosCsinA，求A,B及b,c

ABCCCtan4得cottan4 2222CCcossin1224 ∴∴4 CCCCsincossincos22221∴sinC，又C(0,)

25∴C，或C

66解：由

tan由2sinBcosCsinA得 2sinBcosBsin(BC) 即sin(BC)0 ∴BC

BC6

2 3abc由正弦定理得 sinAsinBsinC1sinBbca2322

sinA32A(BC)25在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA

(Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

332,求a＋b的值。

解（1）由3a2csinA及正弦定理得，

a2sinAsinA 21世纪教育网 csinC3 14

sinA0,sinC3 2ABC是锐角三角形，C（2）解法1：

3

c7,C3.由面积公式得

133absin,即ab6　　　　　　　　① 232由余弦定理得21世纪教育网

a2b22abcos327,即a2b2ab7　　　　②

（a+b)25,故ab5 由②变形得

解法2：前同解法1，联立①、②得

a2b2ab7a2b2＝１３ 　ab6ab6消去b并整理得a13a360解得a4或a9 所以

4222a2a3故ab5 或b3b2 15