高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》难题汇编及答案

一、选择题

1．复数z满足z(2i)36i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：zB．3i

C．3i

D．3

36i36i2i115i13i， 2i552i2i据此可知，复数z的虚部为3. 本题选择D选项. 【点睛】

复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

2．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是( ) A．直线 C．椭圆 【答案】A 【解析】 【分析】

设zxyi(x、yR)，代入z11iz，求模后整理得z在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】

设zxyi(x、yR)，

B．圆 D．抛物线

x1yi则2x12y2，1iz1ixyi2y12x2，

x1y2＝y1x2，得yx，

所以复数zxyi对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．

3．已知复数z2，则（ ） 1iA．z2

B．z的实部为1 C．z的虚部为1 D．z的共轭复数为

1i

【答案】C 【解析】

分析：由题意首先化简复数z，然后结合z的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：z则

21i1i1i21i21i，

z2，选项A错误；

z的实部为1，选项B错误； z的虚部为1，选项C正确； z的共轭复数为z1i，选项D错误.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．若复数z满足2zz32i,其中i为虚数单位，则z= A．1+2i 【答案】B 【解析】

试题分析：设zabi，则2zz3abi32i，故B.

【考点】注意共轭复数的概念

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.

，则z12i，选

B．12i

C．12i

D．12i

5．已知复数z满足1izA．1i 【答案】A 【解析】 因为zB．1i

3i，i为虚数单位，则z等于（ ）

C．

11i 22D．

11i 22|3+i|2(1i)1i，所以应选答案A． 1i(1i)(1i)

6．已知复数z123i,z2abi（a,bR,且b0），其中i为虚数单位，若z1z2为实数，则

a的值为（ ） bA．3 2B．2 3C．

2 3D．

3 2【答案】B 【解析】 【分析】

先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值. 【详解】

2a3b(3a2b) i， 因为z1z223i(abi) 所以3a2b0， 因为b0，所以【点睛】

本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为

a2，选B. b3a2b2、对应点为(a,b)、共轭为abi.

7．已知i是虚数单位，则A．2i 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】

由复数的运算法则有：

13i（ ） 1iC．2i

D．2i

B．2i

13i(13i)(1i)42i2i. 1i(1i)(1i)2故选B. 【点睛】

对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.

8．复数z2i，i是虚数单位，则下列结论正确的是 1iB．z的共轭复数为

A．z5 C．z的实部与虚部之和为1 【答案】D 【解析】 【分析】

利用复数的四则运算，求得z得到结论． 【详解】 由题意z31+i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限

13i，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可222i2i1i13i13i， 21i1i1i1i22则z131310z

，的共轭复数为zi， ()2()222222复数z的实部与虚部之和为2，z在复平面内对应点位于第一象限，故选D． 【点睛】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为

b、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为abi．

9．欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，

eiei4表示的复数在复平面中位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】 根据欧拉公式计算【详解】

eiei4，再根据复数几何意义确定象限.

ei因为

e4icosisincos4isin4122i2222i22，在第（，）22，所以对应点

22二象限，选B. 【点睛】

本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.

10．在复平面内与复数z（ ） A．1i 【答案】D 【解析】 【分析】

根据复数的运算法则求出z1i，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题zB．1i

C．1i

D．1i

2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为1i2i1i2i2i21i，在复平面对应的点为（1,1）， 1i1i1i2关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i. 故选：D 【点睛】

此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.

11．设zA．i 【答案】A 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：Qz34i2，fxxx1，则fz（ ） 43iB．i

C．1i

D．1i

34i 43iz34i34i43ii 43i43i43iQfxx2x1

fzii1i

2故选：A 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

12．已知z是复数，则“z2为纯虚数”是“z的实部和虚部相等”的（ ） A．充分必要条件 C．必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】

设zabi，z2为纯虚数得到ab0，得到答案. 【详解】

设zabi，a,bR，则zab2B．充分不必要条 D．既不充分也不必要条件

222abi，

22ab02ab0，z的实部和虚部相等ab. z为纯虚数2ab0故选：D. 【点睛】

本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.

7i13．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）

34iA．第一象限 【答案】D 【解析】 因为

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

(7i)(34i)2525i7i=1i，

2534i(34i)(34i)所以所对应的点为(1,1)，位于第四象限，选D.

14．若复数z34sinA．

 6212cosi为纯虚数，0,，则（ ）

 3C．

B．

2 3D．

2或 33【答案】B 【解析】

分析：由题意得到关于sin,cos的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数z34sin12cosi为纯虚数，则：

232sin34sin204，即：， 112cos0cos23sin2，故. 结合0,，可知：3cos12本题选择B选项.

点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．若复数z满足z(12i)10,则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

化简复数，求得z24i，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【详解】

由题意，复数z满足z(12i)10，可得zB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

1012i1024i， 12i12i12i所以复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

16．设zA．12i 【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数的运算法则，求得z12i，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】

由题意，可得复数z所以z12i．

2i2i，则复数z（ ） 1iB．12i

C．2i

D．2i

2i1i2i2i2i12i， 1i1i1i故选：A． 【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．

17．已知复数zA．－1 【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案． 【详解】

12i （i为虚数单位），则z的虚部为（ ） 2iB．0

C．1

D．i

12i12i2i5ii，所以复数z的虚部为1，故选C． 复数z2i2i2i5【点睛】

本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

18．若复数满足A． 【答案】B 【解析】

分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为因此复数的虚部为

，所以，选B.

，

B．

，则复数的虚部为（ ）

C．

D．

点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

. 其次要熟悉复数相关基本概念，

如复数

的实部为、虚部为、模为

、对应点为

、共轭为

19．在复平面内，复数z满足z1i12i，则z对应的点位于 （ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12i12i1i1i2i2i213i13i，∵z1i12i，∴z21i1i2221i1i∴z13i，故对应的点在第二象限．故选B． 22

20．复数z满足|zi||z3i|，则|z|( ) A．恒等于1

C．最小值为1，无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】

设复数zxyi，其中x，yR，由题意求出y1，再计算|z|的值． 【详解】

解：设复数zxyi，其中x，yR， 由|zi||z3i|，得|x(y1)i||x(y3)i|，

B．最大值为1，无最小值 D．无最大值，也无最小值

x2(y1)2x2(y3)2， 解得y1；

|z|x2y2x21…1，

即|z|有最小值为1，没有最大值． 故选：C． 【点睛】

本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．