【例1】求下列函数的定义域与值域:
(1)y=312x(2)y=2x21(3)y=33x1
解 (1)定义域为x∈R且x≠2.值域y>0且y≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x≥-2},值域为y≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x≤2},∵0≤3-3x-1<3,
∴值域是0≤y<3.
【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[ ]
A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C. b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b
解 选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】比较大小:
(1)2、32、、88、916的大小关系是:(2)0.645132()2.
(3)4..1________3.73.6
1213253849解(1)∵22,22,42,82,162,函数y=2x,2>1,该函数在(-∞,+∞)上是增函数,13241又<<<<,∴32<88<<916<2.38592
35132解 (2)∵0.6>1,1>(),2 413∴0.65>()2.245解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4..1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6
∴ 4..1>3.73.6.
说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4..1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3).
【例4】比较大小n1an与nan1(a>0且a≠1,n>1).n1解ann1naa1n(n1)
当0<a<1,∵n>1,1n(n1)1>0,n(n1)<1,∴n1an<nan11当a>1时,∵n>1,>0,
n(n1)∴a∴a1n(n1)>1,n1an>nan1(2)y=2x-2,
(4)y=|1
【例5】作出下列函数的图像:
1(1)y=()x12(3)y=2|x-1|
-3x|
11解 (1)y=()x1的图像(如图2.6-4),过点(0,)及(-1,1).22
1是把函数y=()x的图像向左平移1个单位得到的.2解 (2)y=2x-2的图像(如图2.6-5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的.
解 (3)利用翻折变换,先作y=2|x|的图像,再把y=2|x|的图像向右平移1个单位,就得y=2|x-1|的图像(如图2.6-6).
解 (4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)
32【例6】求函数y=()x-5x+6的单调区间及值域.4
3解 令u=x2-5x+6,则y=()u是关于u的减函数,而u=x2-5x455+6在x∈(∞,]上是减函数,在x∈[,∞)上是增函数.∴函数22
3x2-5x+655y=()的单调增区间是(∞,],单调减区间是[,∞).4225211又∵u=x-5x+6=(x)≥,2443u1函数y=(),在u∈[,∞)上是减函数,
4443x2-5x+6108所以函数y=()的值域是(0,].432
11【例7】求函数y=()x()x+1(x≥0)的单调区间及它的最大值.42111131解 y=[()x]2()x1[()x]2,令u=()x,∵x≥0,
22224211∴0<u≤1,又∵u=()x是x∈[0,+∞)上的减函数,函数y=(u)22231111在u∈(0,]上为减函数,在[,1)上是增函数.但由0<()x≤422221111得x≥1,由≤()x≤1,得0≤x≤1,∴函数y=()x()x+1单调增
2242区间是[1,+∞),单调减区间[0,1]当x=0时,函数y有最大值为1.
ax1【例8】已知f(x)=x(a>1)
a1(1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域;
(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数. 解 (1)定义域是R.
ax1ax1f(-x)=xx=-f(x),
a1a1∴函数f(x)为奇函数.
ax11yy1(2)函数y=x,∵y≠1,∴有ax=>0-1<y<1,
y11ya1即f(x)的值域为(-1,1).
(3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1<x2.f(x1)-f(x2)
axl1ax212(axlax2)=xl1x21=xl,∵a>1,x1<x2,ax1<ax2,(ax1+1)xaa(a1)(a21) (ax2+1)>0,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.
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