高一数学典型例题分析 指数函数

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝312x(2)y＝2x21(3)y＝33x1

解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

∴值域是0≤y＜3．

【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[ ]

A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b

解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 【例3】比较大小：

(1)2、32、、88、916的大小关系是：(2)0.645132()2．

(3)4..1________3.73.6

1213253849解(1)∵22，22，42，82，162，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241又＜＜＜＜，∴32＜88＜＜916＜2．38592

35132解 (2)∵0.6＞1，1＞()，2 413∴0.65＞()2．245解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4..1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴ 4..1＞3.73.6．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4..1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．

【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．n1解ann1naa1n(n1)

当0＜a＜1，∵n＞1，1n(n1)1＞0，n(n1)＜1，∴n1an＜nan11当a＞1时，∵n＞1，＞0，

n(n1)∴a∴a1n(n1)＞1，n1an＞nan1(2)y＝2x－2，

(4)y＝|1

【例5】作出下列函数的图像：

1(1)y＝()x12(3)y＝2|x-1|

－3x|

11解 (1)y＝()x1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．22

1是把函数y＝()x的图像向左平移1个单位得到的．2解 (2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解 (3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解 (4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)

32【例6】求函数y＝()x－5x＋6的单调区间及值域．4

3解 令u＝x2－5x＋6，则y＝()u是关于u的减函数，而u＝x2－5x455＋6在x∈(∞，]上是减函数，在x∈[，∞)上是增函数．∴函数22

3x2－5x＋655y＝()的单调增区间是(∞，]，单调减区间是[，∞)．4225211又∵u＝x－5x＋6＝(x)≥，2443u1函数y＝()，在u∈[，∞)上是减函数，

4443x2－5x＋6108所以函数y＝()的值域是(0，]．432

11【例7】求函数y＝()x()x＋1(x≥0)的单调区间及它的最大值．42111131解 y＝[()x]2()x1[()x]2，令u＝()x，∵x≥0，

22224211∴0＜u≤1，又∵u＝()x是x∈[0，＋∞)上的减函数，函数y＝(u)22231111在u∈(0，]上为减函数，在[，1)上是增函数．但由0＜()x≤422221111得x≥1，由≤()x≤1，得0≤x≤1，∴函数y＝()x()x＋1单调增

2242区间是[1，＋∞)，单调减区间[0，1]当x＝0时，函数y有最大值为1．

ax1【例8】已知f(x)＝x(a＞1)

a1(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；

(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R．

ax1ax1f(－x)＝xx＝－f(x)，

a1a1∴函数f(x)为奇函数．

ax11yy1(2)函数y＝x，∵y≠1，∴有ax＝＞0－1＜y＜1，

y11ya1即f(x)的值域为(－1，1)．

(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)

axl1ax212(axlax2)＝xl1x21＝xl，∵a＞1，x1＜x2，ax1＜ax2，(ax1＋1)xaa(a1)(a21) (ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．