第一类曲面积分的计算方法探讨

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS

Vol.21，No.2Mar. , 2018

doi ： 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2018. 02. 008

第一类曲面积分的计算方法探讨

景慧丽，屈娜

(火箭军工程大学基础部，陕西西安710025)

摘要文中探讨了第一类曲面积分的计算技巧及方法，指出了三种常见的计算思路.关键词第一类曲面积分；对称性\"仑换对称性；二重积分；定积分中图分类号

O172

文献标识码

A

文章编号

1008 - 1399(2018)02 - 0019 - 04

On the Calculation Methods of Surface IntegraSs

JING Huili and QU Na

(Department of Basic Courses，Rocket Force University of Engineering，Xi’an 710025，PRC)

Abstract This paper discusses a variety of approaches for calculating surface integrals. They include sub­stitution method，projection method，using symmetric property，centroid formula of uniform surface，and transformation into definite integral.

Keywords surface integral，symmetry，rotation symmetry，double integral，definite integral

曲线积分和曲面积分的概念及计算是多元函 数微积分学中的重点和难点，众多文献及高等数学 辅导资料关于第二类曲面积分（即对坐标的曲面积 分）的计算方法及技巧进行了研究，但是关于第一 类曲面积分（即对面积的曲面积分）的计算方法研 究的很少.另外，笔者在教学过程中发现，大部分学 员遇到第一类曲面积分的计算问题时，往往感到束 手无策、无从下手.为了帮助学员掌握第一类曲面 积分的计算方法及技巧，并能熟练地计算第一类曲 面积分，笔者就这方面的内容进行了探讨.i

1.1 可以把积分曲面方程代入被积函数中简化

计算

由于曲面积分%/(心力2^3的被积函数2

/(•r，；y，z)是定义在积分曲面2 :F(:c，：y，z) = 0上 的，即被积函数中的自变量^y、是满足曲面2的 方程的，所以，计算曲面积分时首先可以把积分曲 面2的方程代人被积函数/ (：r，y，Z)中来简化曲面 积分的

例1

.

计算曲面积分了 = % (：r2 \" y2 \" z2 ) dS，

计算时须注意的三点

不管用什么方法计算第一类曲面积分，首先应

2其中2是球面P+y2+2：2=记.

分析由于积分曲面2的方程是z2+y2 +

z2=_R2，所以可以把2的方程代人被积函数中，即此

根据曲面积分的定义及其所具有的性质来化难为 易、化繁为简[1].因此，在计算时须注意以下三点：

时曲面积分变为7 = %i?2dS，然后再利用曲面积分

2

的线性性质（即设々为常数，则%/(：r，y，Z)dS =

2

%[/(:r y，z)dS)及被积函数为1的第一类曲面积

收稿日期2017-09-19 修改日期2017-12-08

基金项目2016年高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革

项目（CMC201604Q5)火箭军工程大学2016年度教育教 学立项课题（EPGC2016007)

2

分表示积分曲面的面积（即%dS =积分曲面2的面

2

作者筒介：景慧丽（1983 —），女，副教授，硕士，主要研究方向：最优

化和大学数学教育，Email:jinghuilil214@163. com.

20高等数学研究2018年3月

积），很容易得到了 =圮][dS =只2 • =$Rz = =$R4 .

2

注1

计算第二类曲面积分和两类曲线积分

(即对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分）时，也 可以把积分曲面和积分曲线的方程代人被积函数 中来简化计算，这个性质是曲线积分和曲面积分所 独有的.注意，计算二重积分和三重积分时，千万不 能把积分域的方程代人被积函数中.

1.2可以利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质 简化计算

如果第一类曲面积分[/(^^^dS中的被积函2

数/(:r，；y，Z)和积分曲面2满足下列三个条件，就可 以利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质来简化第 一类曲面积分的计算.三个条件是：1)积分曲面2关 于某个坐标面具有对称性；2)被积函数/(：r，y，Z)关 于变量z或变量^或变量z具有奇偶性；3)积分曲 面的对称性与被积函数的奇偶性相匹配.“相匹配” 是指：若积分曲面2关于:r〇:y面对称，则被积函数 /(：r，y，)关于变量z要具有奇偶性；若积分曲面2 关于；yoz面对称，贝彳被积函数/(•ry，)关于变量^ 要具有奇偶性;若积分曲面2关于z〇:r面对称，则被 积函数/(r，y，z)关于变量y要具有奇偶性.

例2

计算曲面积分J = [rey sinz2 dS，其中2

2

是球面 r2+y2+z2=_R2.

分析因为积分曲面2关于yz面对称，被积 函数/(r，y,z) = reysinz2关于r为奇函数，所以由 对称性可知1 = 0.

注2

利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质

来简化曲面积分的计算时，上述三个条件缺一不可.

注3

遇到第一类曲面积分的计算问题时，应

首先考虑利用对称性来简化计算.需要注意的是， 对称性只是对具有这种特殊性质的积分所用的解 题技巧，并非每个曲面积分都具有这种特殊性质.

注4

当积分曲面不具有对称性，但是把其分

成若干部分曲面，而部分曲面具有对称性，且被积 函数关于相关变量具有奇偶性时，在部分曲面上也 可以利用对称性简化计算.例如，设2是锥面z =

vTTy2及平面z=1所围成的区域的整个边界曲

面，要计算][r2ydS，虽然2整体不具有对称性，但

2

是2可以分成两部分：2i

和22,其中2

i

是z =

槡r2 By2，22是z = 1. 2

i

关于zor面对称，且被积

函数/ (r，y，z) = r2y关于y为奇函数，所以[r2ydS = 0,只需计算[r2ydS即可.2i

2!

1.3可以利用轮换对称性简化计算

利用轮换对称性简化曲面积分的计算时，要求 积分曲面2具有轮换对称性，即交换变量r、y、z的 位置，积分曲面2的方程不变.

例3

计算曲面积分了 = [(r2 \"y2)dS，其

2

中 2 是球面 r2+y2+z2=_R2.

分 !

r 、y 、z 的 置

!积

分曲面r2+y2+z2=12不变化，即积分曲面2具有

性， 以[r2dS = [y2dS ==[z2dS =

2

22

lJ(r2 \" y2 \" z2)dS = y||-R2dS，因此！=

22

a 11 r2 dS \" 81 y2 dS=(a+ b) 1f12dS ：

_ a+ 8^2 &

2

2

2

4$R2 = =3^ (a\"b).

注5

轮换对称性只是对具有这种特殊性质的

积分所用的解题技巧，并非每个曲面积分都具有这 种 殊性质(

2计算方法

计算第一类曲面积分的基本方法是：把曲面积

分直接转化为积分曲面在某坐标面投影区域上的 二重积分来计算，但是根据曲面积分的概念及物理 背景，有时也可以把第一类曲面积分转化成定积分 来计算，还可以利用均勻曲面的质心公式计算，因 此，第一类曲面积分的计算把握住下面三种方法 可(

2.1

直接利用公式来计算（即把曲面积分直接转

化为二重积分来计算）

直接利用公式来计算就是把第一类曲面积分 直接转化为积分曲面在某坐标面投影区域上的二 重积分来计算，具体的解题步骤是：

Stepl.投影，即画出积分曲面2的图形，并将 其投影到坐标面上，确定投影区域.注意，若2在某 个坐标面上的投影不能形成一个封闭的区域，是不

第21卷第2期景慧丽，屈娜：第一类曲面积分的计算方法探讨21

能将2投影到该坐标面上的，需要改变投影坐标 面.所以，需要根据积分曲面2自身的特征，来确定 把它投影到哪个坐标面上.

SteP2.代换，即根据投影区域，将曲面2写成

相应变量的单值显函数（例如，若将曲面2投影到

■Toy面上，则将曲面2的方程写成z = z(:c，：y)的形

式），将被积函数/G，y，Z)三个变量中的两个保留， 另一个用曲面2方程的显函数代换（例如，若曲面 2的方程为z=z(T，y)，则保留T，y，将z用

z

(t，

y)代换），将曲面的面积元素dS代换为投影坐标面

上的面积元素（例如，若将曲面2投影到Toy面上， 贝!J dS=槡 lBzT(x，y)-\\-zly(x，y) d:cd；y ) •注意，若曲 面2不是单值函数，则必须将曲面2分块.

Step3•计算，即计算投影区域上的二重积分.

例如，若将曲面2投影到xoy面上，则

J/(x，y，z)dS =

%/Ty，z(x，y^

l + zTX，y) \" z2 X，y) d_，

Dxy其中是2在xoy面上的投影区域.

类似地，若将曲面2投影到yoz面上，投影区域 为Dzz将2的方程写成x = x(yz)贝[J

J/(x，y，z)dS =

J/[x(y , z), y , z)\"槡1+xy(y，z)+x2(y，z

y

Dyz若将曲面2投影到zox面上，投影区域为Dx， 将2的方程写成y = y(z，x)，则

J/(x，y，z)dS =

J/[x , y(z,x)，zLi+y2(zx)+yX(zx)d—•

Dx例4计算曲面积分%(x + y + z)dS，其中2

2

是xz + yz+zz=圮被z = A (0分析由于积分曲面2关于yoz面对称，被积函数X关于X为奇函数，所以%xdS = 0,类似地，

2

JJydS = 0.所以%X + y + z)dS = JJzdS.

2 2 2

由于2的方程是z =槡R2—x2—y2，且2在

xoy面上的投影区域Dxy是圆域{(x，y) |x2+y2<

R2~h2).以

JJzdS = JJ\\/R2 — x2 — y2 槡1 十 2X(x, y)十

y) dxdy

2 D

=\\\\VRZ —x—y2 槡十 R—xx — y+R—yx — y D,2.2

利用均匀曲面的质心公式计算

如果曲面型构件2的面密度是均勻的，则该曲

面型构件的质心（x，y，z)为：

%xdS

%ydS

%zdS

JdS %S JdS

2 2 2

另一方面，均勻曲面型构件的质心就是这曲面型构 件所分布的空间曲面图形的形心，所以如果2的质 心（y，z)已知，就可以利用质心公式来求曲面积 分了，即

% xdS = —% dS ,贝J ydS = +% dS，2

2

2 2

%zdS = +%dS_

2 2例5 计算曲面积分%zdS，其中2是球面

2

(x — 1) By2 — (z — 2 )2 = 5.

分析由于2的质心（x，y，z) = (l，0,2)，所以%zdS = +JJdS = 2%dS = 2 & =$ & 5 = =0$•2

2

2

27利用元素法转化成定积分来计算

例6计算曲面积分%zdS，其中2是圆柱面

2x2 By2 =a2 (>0)介于z = 0与z = 1之间的部分•

分析如果把该曲面积分直接转化成二重积 分计算的话，需要把该积分曲面2投影到yoz面或

zox面上，具体求解过程这里不再赘述.

注意到积分曲面2是柱面，所以面积元素dS =

2$adz且被积函数z是关于变量z的一元函数，所

以利用元素法可以把该曲面积分转化成定积分来 计算，即

zdS = # z & 2 $adz = $a_2 〇

22高等数学研究2018年3月

注）一般地，当第一类曲面积分的积分曲面 和被积函数同时满足下列两个条件时，可以利用元 素法把曲面积分直接转化成定积分来计算\"

1) 2) 元来表示.

例如，对于曲面积分%(x2 +/)dS，其中2为 2圆锥面2：2=2(x2+3；2)被平面2： = 0与2：=1所截的部分.由于被积函数X2B/可以用2来表示，积分是)关于某个变量的单变量函数,

当然也可以把第一类曲面积分转化成对弧长的曲 线积分[4]来计算，也可以利用两类曲面积分之间 的关系，把第一类曲面积分转化成第二类曲面积

被积函数是（或利用积分曲面方程转化后 来计算，分还可以利用高斯公式把第一类曲面积

分转化成三重积分来计算，只不过这些方法的使

积分曲面的面积元素可以用1)中变量的微 用范围有限，它们只适用于具有特殊性质的积分，

文中所指出的计算技巧和计算方法更具有普遍 性，能解决大部分问题，且能大大简化第一类曲面 积分的计算.

参考文献

[1]景慧丽，张辉.第二类曲面积分的计算方法[J].高等数

曲面2的面积元素可以表示为：dS c槡3於d^3]，所 以该曲面积分就可以用定积分来计算，即

J(x2\" y )ds % % 2ds % #0 2 •槡

[]

学研究，2001，14(4)，87 - 88.

同济大学应用数学系.高等数学（下）[M].第七版.北 京：高等教育出版社，2014: 219 - 220.

[3] 刘值，江顺利，朱晓临等.第一类曲面积分的一类特殊

解法[J]高等数学研究，2016，19(2) 24 - 26.[4]

吕锋.第一类曲面积分的一种解法[J]高等数学研究，

2 2 %槡3$

8 $

〇

以上就是计算第一类曲面积分常用的方法，(上接第1=页）

将矩形区域分为3部分(见图6)，其中，

2011，14(2)，47 - 48.

$/ 2

d\" (r—槡2cos«) r2dr

0

—1 一 $

% 3 —16，

以

)% 2「（丄— ！）\"（！\"丄—槡[)\"(!\"槡[)

3 16 8 6 3 8 3 J% 1 + 3卞8 •

31:0 ,\",$/=，0 ,r , 1，32: $/=,\", $/2,0 ,r , 1

D3 ： $/2 , \" , $，,r , 1.

[1]

参考文献

达芬，郭红霞.被积函数含有绝对值得积分问题[J] 高等数学研究.2016，19(2):43 - 44.

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[]华中科技大学数学系.微积分学：下册[M]. 3版.北

京：高等教育出版社，2008.[4]

毕 志伟，吴洁.微积分学学习辅导[M].武汉：华中科 技大学出版社，2014.[5]

裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]. 2版.北

高等

注意到r —V2c〇S\"在3

i

、33分别为负、正;

在32上有正有负，因此，相对应的

'$/4 \")i %J〇 d\"J〇 (—r\"槡2\"coS\") r2dr% \" — $% 3 — 16；

'$/ 2 槡2~cos\")! %# =d\" (〇 (—r\"V2cos\") r2dr

京：高等教育出版社，2006: 856.

\"# (r —槡2cos«) r2dr]

槡2~cos<\" T% !\"丄—槡2，

勘误

作者订正：2018年第一期P5页右栏第4行应为

ABC= 2 (xAyB BxByc Bxcya ~xAyc ~xByA —xcyB )