二阶线性常微分方程的幂级数解法

二阶线性常微分方程的幂级数解法

从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？

''yxy0的通解

例1、求方程

解：设

ya0a1xa2x2…anxn…

为方程的解，这里ai(i0,1,2,…,n,…)是待定常系数，将它对x微分两次，有

y''21a232a3xn(n1)anxn2(n1)nan1xn1

'yy将，的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到

x21a20，32a3a00, 43a4a10, 54a5a20,

或一般的可推得

a02356(3k1)3k，

a3ka3k1a134673k(3k1)，

a3k20

其中a1，a2是任意的，因而代入设的解中可得：

x3x6ya0[1232356x3n2356(3n1)3nx4x7]a1[x3434673n(3n1)]

这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数a0及a1）便是所要求的通解。

''(0)y''2xy4y0y1的解。 y(0)0例6 求方程的满足初值条件及

解 设级数

ya0a1xa2x2…anxn…为方程的解。首先，利用初值条件，可以得到

a00， a11，

因而

yxa2x2a3x3y'12a2x3a3x2y''2a232a3xanxnnanxn1n(n1)anxn2

'''yyy将，，的表达式带入原方程，合并x的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得

到

2an2,n1a20,a11,a40,,an

因而

a51111,a60,a7,a80,a9,2!63!4!

最后得

111k(k1)!k! , a2k0,

a2k1对一切正整数k成立。

将

ai2n(i0,1,2,)的值代回ya0a1xa2x…anx…就得到

x5yxx2!3x2k1k!

x4x(1x2!2x2kk!)xex,2

这就是方程的满足所给初值条件的解。

是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。

考虑二阶齐次线性微分方程

d2ydyp(x)q(x)y02dxdx

'及初值条件

y(x0)y0'y(x)y00的情况。 及

不失一般性，可设 x00，否则，我们引进新变量txx0，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于xx0的就是t00了，因此，今后我们总认为x00。

d2ydyp(x)q(x)y02dx定理10 若方程dx中系数p(x)和q(x)都能展成x的幂级数，且收

d2ydyp(x)q(x)y02dx敛区间为|x|R，则方程dx有形如

yanxnn0

的特解，也以|x|R为级数的收敛区间。

在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x，2x和4可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。但有些方程，例如n阶贝赛尔方程

d2ydy22xx(xn)y02dxdx

2d2ydy1p(x)q(x)y0p(x)2dxx，这里n为非负常数，不一定是正整数，（dx）在此

2q(x)1nx2，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如

yanxnn0的特解。

但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。

d2ydyp(x)q(x)y02dx定理11 若方程dx中系数p(x)，q(x)具有这样的性质，即xp(x)2x和q(x)均能展成x的幂级数，且收敛区间为|x|R，若a00，则方程

d2ydynyxaxp(x)q(x)y0n2dxdxn0有形如

即

yanxnn0

是一个特定的常数，的特解，级数

yanxnn0也以|x|R为收敛区间。若a00，

a或更一般的，i0(i0,1,2,m1)，但m则

0，则引入记号

m，bkamk，

yxnmanxxnmamkxxkk0kbxkk0，

这里

b0am0，而仍为待定常数。

2d2ydy22xx(xn)y02ndxdx例7 求解阶贝赛尔方程。

解 将方程改写成

d2y1dyx2n2y022dxxdxx，

2xxp(x)易见，它满足定理11的条件（和q(x)均能展成x的幂级数，且收敛区间为

xpx1,x2qxx2n2|x|R），且，按展成的幂级数收敛区间为x，由定理11，

方程有形如

yakxakk0

的解，这里

a00，而

ak和

是待定常数，将

yakxakk0代入：

2dydyx22x(x2n2)y0dxdx中，得

x2ak2(ak)(ak1)axkk1

x(ak)akxak1k1

(xn)akxak022k0，

把

x同幂次项归在一起，上式变为

[(k)(k1)(k)n]akx2k0akakxak20k0

令各项的系数等于0，得一系列的代数方程

a0[2n2]022a[(1)n]0122ak[(k)n]ak20k2,3,因为

a00，故从

a0[2n2]0解得的两个值

n和n

2dydyx22x(x2n2)y0n时方程dxdx的一个特解，这时我们总可以从

先考虑以上方程组中逐个地确定所有的系数

ak。把n代入以上方程组，得到

a10

ak2akk(2nk)，k2,3或按下标为奇数或偶数，我们分别有

a2k1a2k12k12n2k1aa2k22k2k2n2k

从而求得

k1,2,

a2k10

k1,2,

a0a2221n12

a0a41422!n1n23

a0a61623!n1n2n3一般地

a0a2k12k2k!n1n2knk k1,2,2

将

ak各代入

yakxakk0d2ydyxx(x2n2)y02dx得到方程dx的一个解

y1a0xn1a02kx2knk!n1n2nkk12

2kd2ydy22xx(xn)y02dx既然是求dx的特解，我们不妨令

1a0n2n1s

其中函数定义如下：

当

s>0时，

s0xs1exdx；当

s<0且非整数时，由递推公式

1(s)s1s定义。

s具有性质

s1ssn1n!;

n为正整数

1a02kx2knk!n1n2nkk12变为

ky1a0x而

n

1xy1n1n12k0k!nkk2kn

注意到函数的性质，即有

2kn1xy1Jnxk0k!nk1`2

kd2ydy22xx(xn)y02Jnxdxdx是由贝塞尔方程定义的特殊函数，称为

2n阶贝

赛尔函数。

JnxJnxn因此，对于阶贝塞尔方程，它总有一个特解。为了求得另一个与线

性无关的特解，我们自然想到，求形如

and2ydy22xx(xn)y02dxdx时方程的

2y2akxk0nk

的解，我们注意到只要我们总可以求得

n不为非负整数，像以上对于n时的求解过程一样，

a2k10k1,2,

k2k

a2k1a02k!n1n2nkk1,2,,

使之满足

a0[2n2]022a1[(1)n]022ak[(k)n]ak20k2,3,k中的一系列方程，因而

y2a0xn1a02kx2knk!n1n2nkk12

2dydyx22x(x2n2)y0dxdx是的一个特解。此时，若令

1a0n2n1y2a0x则

n

k1a02kx2knk!n1n2nkk12变为

2kn1xy2k!nk12k0kJnx

称

Jnx用

n为阶贝赛尔函数。

利达朗贝尔

k判别法不难验证级数

y1a0x1a02kx2knk!n1n2nkk12和

y2a0xn1a02kx2knk!n1n2nkk12kk（在

y2a0xn1a02kx2knk!n1n2nkk12中x0）都是收敛的，因

2dydyx22x(x2n2)y0dxdx都是方程的

JnxJnxn此，当不为非负整数时，和

解，而且是线性无关的，因为它们可展为由x的不同幂次开始的级数，从而它们的比不可d2ydy22xx(xn)y02dxdx能是常数。于是方程的通解可写为

2yc1Jnxc2Jnx

这里

c1c2，

是任意常数。此情形的

Jnx和

Jnx称为第一类贝塞尔函数。

9x2y''xy'4x2y025例8 求方程的通解。

解 引入新变量t2x，我们有

dydydtdy2dt dxdtdxd2yddydtd2y2422dxdtdtdxdt将上述关系代入院方程，得到

，

2dydy292ttty02dtdt25，

2dydy2932ttty0n2dt255的贝塞尔方程，由例7可知，方程dt这是，的

通解可表为

yc1J3tc2J535t，

代回原来变量，就得到原方程的通解

yc1J32xc2J5352x

其中

c1,c2是任意常数。

第二宇宙速度计算

作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。在这个速度你下,物体将摆脱地球的引力,向地球一样绕着太阳运行,成为人造卫星.

让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程.以M和m分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律,作用于物体的引力F(空气阻力忽略不计)为

mMFk2r

这里

r表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k为万有引力常数。因为，物体运

动规律应满足下面的微分方程

d2rmMm2k2dtr

或

d2rMkdt2r2

这里的负号表示物体的加速度是负的。

5R(R6310m)，物理发射速度为v0，因此，当物体刚刚离开地球表面 设地球半径为

时，我们有

rR,drv0dt，即应取初值条件为

dr当t0时，rR,v0dt

d2rMk22dtr方程不显含自变量t,应用4.3.1（可降阶的一些方程类型）的方法，把方

程降阶成为一阶方程

dvMvk2r dr解得

v21kMc2r

注意到这时初值条件为

v02kMc2R

因而

v02kMv2kM()2r2R

v2kM0因为物体运动速度必须始终保持是正的，即2，而随着r的不断增大，量r变得v02kMv2kMv2()02r2R2任意小。因此，由看到，条件要对所有的

r都成立，只有不等式

v2kM02R ，

或

v02kMR 成立。因而最小的发射速度由下面式子决定:

v02kMR 2g(g9.81m/s)，由此根据rR在地球的表面，即时，重力加速度为

FkmMr2，就

Mv0gk22kMgRR，于是有。以此代入

2kMR得到

v02gR29.816310511.2103ms

我们通常所说的第二宇宙速度指的就是v011.2kms这个速度。