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课时素养评价
十九 数学归纳法
(15分钟 30分)
1.对于不等式程如下: (1)当n=1时,
<1+1,不等式成立.
= 所以当n=k+1时,不等式成立. 则上述证法 ( ) A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理过程中未用到(2)中假设,所以不 =(k+1)+1, < 则当n=k+1时, 正确. 2.某个与正整数有关的命题:如果当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得 ( ) A.当n=4时命题不成立 B.当n=6时命题不成立 C.当n=4时命题成立 D.当n=6时命题成立 【解析】选A.因为当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立,所以假设当n=4时命题成立,那么n=5时命题也成立,这与已知矛盾,所以当n=4时命题不成立. 3.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得. 4.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)= ________. 【解析】因为假设n=k时,f(2k)=1+++…+,当n=k+1时, f(2k+1)=1+++…++ +…+ , +…+ - 所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…++ =++…++ . 答案:+…+ 5.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*). 求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论. 【解析】由已知得2bn=an+an+1, =bnbn+1,a1=2,b1=4, 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20, b4=25.猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明如下: ①当n=1时,可得结论成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立, 即ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么当n=k+1时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2), bk+1= = =(k+2)2. 所以当n=k+1时,结论也成立. 由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数n都成立. (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.设f(n)=1++…+(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于 ( ) A. B.-C.- D. 【解析】选D.因为f(n+1)=1++…++f(n)=1++…+,所以f(n+1)-f(n)= . , 2.下面四个判断中,正确的是 ( ) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1+k C.式子1+++…+D.设f(n)= + (n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1++ +…+ (n∈N*),则f(k+1)=f(k)+ + + 【解析】选C.A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子=1++;D中,f(k+1)=f(k)+3.用数学归纳法证明不等式 + + + -. +…+<(n≥2,n∈N*)的过程中, 由n=k递推到n=k+1时不等式左边 ( ) A.增加了一项B.增加了两项 , C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对 【解析】选C.因为n=k时,左边== + +…++ + ++…+, ,n=k+1时,左边,少了一项 . ,所以增加了两项 4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为 ( ) A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k 【解析】选A.假设n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除.当n=k+1时, 5k+1-2k+1=5×5k-2×2k =5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k. 5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是 ( ) A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)>k2成立 D.若f(4)=16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 【解析】选D.对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C错误.对于D,f(4)=16≥42,由题设的递推关系,可知结论成立. 二、填空题(每小题5分,共15分) 6.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+ ________. 【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域. 答案:k+1 7.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________. 答案:1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 8.观察下列等式,照此规律,第n个等式为________. 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 【解析】将原等式变形如下: 1=1=12 2+3+4=9=32 3+4+5+6+7=25=52 4+5+6+7+8+9+10=49=72 … 由图知,第n个等式的左边有2n-1项,第一个数是n,是2n-1个连续整数的和,则最后一个数为n+(2n-1)-1=3n-2,右边是左边项数2n-1的平方, 故有n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 三、解答题(每小题10分,共20分) 9.用数学归纳法证明:1+≤1+++…+≤+n(n∈N*). 【证明】(1)当n=1时,≤1+≤,命题成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即1+≤1+++…+≤+k, 则当n=k+1时,1+++…++又1+++…++ + +…+ + +…+ >1++2k· =1+ . <+k+2k·=+(k+1), 即n=k+1时,命题成立. 由(1)和(2)可知,命题对所有n∈N*都成立. 10.设a>0,f(x)= ,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. 【解析】(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=a3=f(a2)=猜想an= ;a4=f(a3)=(n∈N*). . ; (2)①易知,n=1时正确. ②假设n=k时正确,即ak=则ak+1=f(ak)== = = . , 这说明,n=k+1时也正确. 由①②知,对于任意n∈N*,都有an= 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当 . x∈时,f(x)≥. (1)求a的值. (2)设0 【解析】(1)由题意,知f(x)=ax-x2 =-所以f +.又f(x)max≤, =≤. 时,f(x)≥, 所以a2≤1.又当x∈ 所以即解得a≥1. 又因为a2≤1,所以a=1. (2)用数学归纳法证明:①当n=1时,0 . + -= -< .所以 成立.因为f(x)=ax-x2 时,f(x)为增函数.所以由 于是,0 关闭Word文档返回原板块 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容